第10章因子分析(FA)-CFANZ编程社区

1 简介

2 基本思想

3 数学模型

$X_{i} = μ_{i} + α_{i 1} F_{1} + . . . + α_{i m} F_{m} + ε_{i} (m \leq p) {X_i} = {\mu _i} + {\alpha _{i1}}{F_1} + ... + {\alpha _{im}}{F_m} + {\varepsilon _i}{\rm{ (}}m \le p)$

$\left\{ {\begin{array}{cc} {{X_1} = {\mu _1} + {\alpha _{11}}{F_1} + ... + {\alpha _{1m}}{F_m} + {\varepsilon _1}}\\ {{X_2} = {\mu _2} + {\alpha _{21}}{F_1} + ... + {\alpha _{2m}}{F_m} + {\varepsilon _2}}\\ {......}\\ {{X_p} = {\mu _p} + {\alpha _{p1}}{F_1} + ... + {\alpha _{pm}}{F_m} + {\varepsilon _p}} \end{array}} \right.$

则称此式的模型为因子模型，用矩阵形式简记为： $X = \mu + AF + \varepsilon$

其中， $F_i$ 为公共因子，是不可观测的变量，它们的系数 ${\alpha _{ij}}$ 称为载荷因子； $A = {({\alpha _{ij}})_{p \times m}}$ 为因子载荷矩阵； ${\varepsilon _i}$ 是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分

因子分析的可行性分析：

相关系数矩阵【大部分相关系数都>0.3时可进行因子分析】
KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)检验：检验变量之间的偏相关系数是否过小【此值>0.5时可进行因子分析】
Bartlett's检验：检验显著性水平(Sig.)【此值<0.05时可进行因子分析】
变量共同度【较高时可进行因子分析】

因子分析模型的性质：载荷矩阵不是唯一的

3.1 公共因子及载荷矩阵

公共因子数目的两种确定依据：

碎石图
累积方差贡献率

因子载荷矩阵的统计性质：

因子载荷 $α_{i j} {\alpha _{ij}}$ ： ${\mathop{\rm cov}} ({X_i},{F_j}) = {\alpha _{ij}}$ ，即 $a_{ij}$ 是 $X_i$ 和 $F_j$ 的协方差(相关系数)
变量共同度 ${h_i}^2$ ：因子载荷矩阵A中第i行元素的平方哈，记为 ${h_i}^2 = \sum\limits_{j = 1}^m {\alpha _{ij}^2} {\rm{ (i=1,2,...,p)}}$
公共因子 $F_j$ 方差贡献和 $S_j$

因子载荷矩阵的三种估计方法：

主成分分析法
主因子法
最大似然估计法

3.2 因子旋转(正交变换)

方差最大法：从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大
四次方最大法：使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大
等量最大法：把方差最大法和四次方最大法结合起来，求它们的加权平均最大

3.3 因子得分

因子得分函数 $F_{j} = c_{j} + β_{j 1} X_{1} + . . . + β_{j p} X_{p}, j = 1, 2, . . ., m {F_j} = {c_j} + {\beta _{j1}}{X_1} + ... + {\beta _{jp}}{X_p},j = 1,2,...,m$