最近在思考导数的定义，这一思考不要紧，脑子更混乱了，一下子冒出很多问题，比如：
以上问题我想了半天，在知乎上找到一篇文章，读完之后豁然开朗，在些记录一二。引用框里是我的思考，外面是作者的原文。在此感谢原文作者齐昱的分享。
导数的定义，通俗的讲，很简单，是曲线的切线的斜率
问题来了，什么是切线？
圆的切线我们都知道，垂直于半径就行了。一般的曲线呢？我们无法定义出一个类似“半径”的东西，然后做垂直。要知道，曲率半径是由导数定义的啊。先有了导数才有了曲率半径这种东西。
于是我们回到最原始的“切线”的定义。
曲线上两个点确定一条割线。当两个点足够靠近的时候，割线变成了切线。
好，什么叫足够靠近？足够靠近的两个点，是一个点还是两个点？
如果是两个点，这还是割线。如果是一个点，那直线是怎么画出来的？
于是人们陷入了困惑。然而，“极限”思想出现了。这时候人们从另一条路去考虑切线的问题。
人们慢慢接受了用ε-δ语言，去理解“无穷小”，“无限接近”等概念。
这是人类数学史上伟大的进步。
我们可以理解成这样：
一条曲线的割线，总是有斜率的。
固定住一个点，让另一个点去靠近它，这时候斜率在发生变化。
但是这些斜率有一个特点，就是它们可以在两个点越来越近的时候，越来越接近一个数值。
诶，这个值，就叫做【导数】了。
当然我们可以严格的用ε-δ语言写出它，此处就略了吧。
原先我们想，严格的画出曲线的切线，测出它的斜率，把它叫做导数。
可是实际上，我们画不出切线，但是我们却先求出了导数。
可见极限，是个好东西啊。
【各位记着我这句话，切线是算出来的，不是画出来的。 】
导数定义完了。
......
芝诺悖论（飞矢不动悖论）：一个飞出去的箭，让时间停止，这时候箭有速度么？
按常识（当时的常识），没有。
下一时刻再让时间停止，箭有速度么？
还是没有。
每一时刻箭都没有速度，那它是怎么走的呢？
那岂不是飞矢不动？
牛顿对这个问题进行了深入的研究。研究的第一步，是问了自己这样的问题：
什么是一个物体在某一时刻的瞬间的速度？
这个时候牛顿用已经定义好的极限概念（当然是ε-δ语言），去定义瞬间的速度（后来叫做瞬时速度），发现这个定义意外的好用。
它定义了以前未定义的量，并且求出了值！
这时候芝诺悖论被攻破了。我能算出某一瞬间的速度值，你还能说它是静止的吗？
注意，极限是用ε-δ语言定义的，在这个定义中，并没有真正的去测一个凝固时间的速度。而是用极短时间的速度来逼近。
换句话说，瞬时速度不是测出来的，是算出来的。
用工具去测瞬时速度，就陷入了芝诺悖论。
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