一、背景知识

1.1 GCN的作用

欧几里得结构：CNN处理的数据是矩阵形式，就是以像素点排列成的矩阵为基础。称为Euclidean Structure，欧几里得结构。

拓扑结构(图结构)：GCN处理的数据是图结构，即Non Euclidean Structure非欧几里得结构，拓扑结构。如社交网络连接，信息网络等等。对于Non euclidean structure的数据，卷积神经网络就没有用了。

对于卷积神经网络CNN，图片中提取特征，可以采用卷积的方式提取特征。但是对于拓扑结构，只能用其他方法来提取特征。因此使用GCN来提取拓扑结构图中的特征。

1.2 傅立叶变换

傅立叶变换：将一个域的信号转换到另一个域，便于我们分析与运算。

傅立叶变换的性质：原域进行卷积，相当于频域进行相乘，即：
f ∗ g = F − 1 { F { f } ⋅ F { g } } f * g=\mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}\} f∗g=F−1{F{f}⋅F{g}}
即一个域相乘，相当于另一个域卷积；一个域卷积，相当于另一个域相乘。

算图域卷积相当于傅立叶域相乘，那先对图和卷积核做傅立叶变换后相乘，再傅立叶反变换回来，就得到了图域卷积。

1.3 图的拉普拉斯矩阵

图的拉普拉斯矩阵定义为：L = D - A
L为拉普拉斯矩阵Laplacian matrix；
D为对角度矩阵Degree matrix，对角线上的元素是顶点的度，即该元素链接的元素的个数；
A为邻接矩阵 Adjacency matrix ,即表示任意两个顶点之间的邻接关系，邻接则为1，不邻接则为0。

1.4 傅立叶变换与拉普拉斯矩阵的关系

传统傅立叶变换的基，就是拉普拉斯矩阵的一组特征向量。
$$L=U\Lambda U^T=U\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)U^{-1}$$
U就是L的特征向量，也是傅立叶变换的基。$U=\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)$，也是正交矩阵$U{U}^T=E$

$\Lambda$是L的特征值组成的对角矩阵

问题的转换：傅立叶变换的基 -> 拉普拉斯矩阵的特征向量 -> 拉普拉斯矩阵的特征分解

图的傅里叶变换的矩阵形式：
G F { x } = U T x \mathcal{G} \mathcal{F}\{x\}=U^{T} x GF{x}=UTx

反傅立叶变换的矩阵形式：
I G F { x } = U x \mathcal{I} \mathcal{G} \mathcal{F}\{x\}=U x IGF{x}=Ux

二、图卷积网络

将傅里叶变换应用于图的卷积，有如下公式：
f ∗ g = F − 1 { F { f } ⋅ F { g } } f * g=\mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}\} f∗g=F−1{F{f}⋅F{g}}
即一域卷积，相当于另一域相乘。其中的逻辑关系等价：图域卷积——频域相乘。中间的桥梁就是傅立叶变换与反傅立叶变换。

结合上面的结论，我们可以得出：
$$g\ast x=U\left(U^{T}g\cdot U^{T}x\right)$$
g就是 filter函数，也就是卷积核.

经历一系列简化后的公式如下：
$$g_{{\theta }^{\prime }}\ast x=\theta \left({\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\right)x$$
再加上激活层:
$$H^{(l+1)}=\sigma \left({\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}{H}^{(l)}{W}^{(l)}\right)$$

三、GCN的Pytorch实现

def normalize(A , symmetric=True):
    A = A+torch.eye(A.size(0))
    d = A.sum(1)
    if symmetric:
        D = torch.diag(torch.pow(d, -0.5))
        return D.mm(A).mm(D)
        # D^(-1/2)AD^(-1/2)
    else:
        D = torch.diag(torch.pow(d, -1))
        return D.mm(A)


class GCN(nn.Module):
	'''
	Z = AXW
	'''
	def __init__(self, options, A, dim_in, dim_out):
		super().__init__()
        self.options = options
		self.A = A
		self.fc1 = nn.Linear(dim_in, dim_in, bias=False)
		self.fc2 = nn.Linear(dim_in, dim_in//2, bias=False)
		self.fc3 = nn.Linear(dim_in//2, dim_out, bias=False)

	def forward(self,X):
		'''
		计算三层gcn
		'''
		X = F.relu(self.fc1(self.A.mm(X)))
		# X就是公式中的H
		X = F.relu(self.fc2(self.A.mm(X)))
		return self.fc3(self.A.mm(X))

# 初始化图和添加边
G=nx.Graph()
G.add_edge(1,2)
G.add_edge(2,3)
G.add_edge(3,4)

# 得到邻接矩阵
A = nx.adjacency_matrix(G).todense()

A_normed = normalize(torch.FloatTensor(A),True)

N = len(A)
X_dim = N

...

gcn = GCN(self.options, A_normed, X_dim, self.options['d_model']).to(self.options['device'])

参考资料

1. 从Graph Convolutional Networks for Text Classification看图卷积网络
2. GCN (Graph Convolutional Network) 图卷积网络解析