字典

python中的dict，STL中的map。另外还提供了multimap，支持相同的关键词，被称为多重字典。

插入insert、删除erase，会自动按照字典序排列好。

另外还有专属map的下标操作。

find、count、lower_bound、upper_bound、equal_bound这些专属于关联容器的访问操作。

哈希表/散列表

理想散列

字典的另一种表示方法是散列。

概述可以参考散列表。

理想的散列的长度是固定的，就像预先知道了有多少球，只要按序号用哈希函数映射到对应的桶中即可。所以说其查找、插入、删除操作的时间都是 $\Theta(1)$ 。

但是由于关键字的变化范围很大，所以使得散列表没有意义或不切实际。

散列函数和散列表

桶

关键字范围太大，不能用理想方法表示时，可以采用不理想的散列表和散列函数。散列表位置的数量比关键字个数少时，散列函数把若干个不同的关键字映射到散列表的同一位置。

此时，散列表的每个位置叫一个桶。桶的数量等于散列表的长度或大小。

除法散列函数

在多种散列函数中，最常见的是除法散列函数： $f(k)=k\%D$
k是关键字，D是散列表的长度。

严格来说散列函数分为散列码和压缩函数两部分，哈希码就是把一些符号转化为一个值，压缩函数实现值与桶号的映射。

冲突和溢出

当两个不同的关键字所对应的起始桶相同时，冲突发生。

如果存储桶没有空间存储一个新数对，就是溢出发生。

如果每个桶只能存储一个数对，那么碰撞和溢出会同时发生。

一个好的散列函数

冲突并不可怕，可怕的是溢出。当映射到散列表中任何一个桶里的关键字数量大致相等时，冲突和溢出的平均数最少。均匀散列函数便是这样的函数。在实际应用中表现良好的均匀散列函数又被称为良好散列函数。

C++STL中的哈希表

C11采用unordered_map代替了原来的hash_map，其底层实现正是散列表。

一些功能参考无序容器。

关于unordered_map和map的区别可以参考这个。

C++STL中的压缩函数是值模上桶数。我们需要该写的是哈希码。

线性探查

方法描述

如果桶f(k)已经被填满，那么顺序找下一个可用的桶，这一方法被称为线性探查。

在寻找下一个可用的桶时，散列表被视为环形表。

明白了怎么用线性探查法插入，就可以设计散列表的搜索方法。假设要查找关键字为k 的数对，首先搜索起始桶f(k)，然后把散列表当做环表继续搜索下一个桶，直到以下情况之一发生为止：

存在关键字k的桶已经找到；
到达一个空桶；
回到起始桶f(k)。

后面两种情况表示桶并不存在。

删除一个桶时，不能仅仅把桶置空，这样会影响继续搜索下一个桶（删除后就是一个空桶，阻断了之后的数的查找）。合理的做法是从删除位置的下一个位置开始，逐个检查每个桶，直到到达一个空桶或者回到要删除的位置。

常见的做法是为每个桶增加一个域neverUsed，起始时被设置为true，一旦被填入数对，就变成false，再也不改变（即使数对被删除，这是避免影响后续搜索或者移动）。当很多空桶的neverUsed变为false时，需要重新组织这个散列表。比如，可以把余下的数对都插到一个空的散列表中。

性能分析

设b为散列表的桶数，D为散列函数的除数，且b=D。散列表初始化的时间为O(b)。

当表中有n个记录时，最坏情况下插入和查找的时间均为 $\Theta(n)$ ，这是出现在所有关键字都对应同一个起始桶。

令 $U_n$ 和 $S_n$ 分别表示在一次成功搜索和不成功搜索中平均搜索的桶数，对于线性探查有以下近似公式：
$U_n=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{(1-\alpha)^2})$
$S_n=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{1-\alpha})$
其中 $\alpha=\frac{n}{b}$ 为负载因子。