文章目录

• 3.1 历史回顾
• 3.2 线性时不变系统对复指数信号的响应

3.1 历史回顾

欧拉提出，如果一个线性时不变系统的输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式；并且输出线性组合中的加权系数直接与输入中对应的系数有关。
而傅里叶提出，任何周期信号，都可以用正弦函数级数进行表示。

3.2 线性时不变系统对复指数信号的响应

在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是非常有利的，但这些信号需要满足两个性质：
1.由这些基本信号可以构成相当广泛的实用信号。
2.线性时不变系统对每个基本信号的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应应有一个方便的表示式。

复指数信号的重要性在于，一个线性时不变系统对复指数信号的响应也同样是一个复指数信号，不同的只是在于幅度上的变化，连续时间和离散时间情况的公式表示如下：
$$e^{st}\to H(s)e^{st}$$
$$z^n\to H(z)z^n$$
一个信号的系统对该信号响应仅为一个常数乘以输入，则该信号为系统的特征函数（eigenfunction），幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。

证明过程，考虑一个单位冲激响应为$h(t)$的连续时间线性时不变系统。
$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau =e^{st}{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau =H(s)e^{st}$$
离散时间情况同理。
该性质与叠加性质结合可以得到，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合。公式表达如下：
$$x(t)=\sum _k{a}_k{e}^{s_{k}t}$$
$$y(t)=\sum _k{a}_{k}H(s_k)e^{s_{k}t}$$