次小生成树

前言

$在亲爱的马基佬的要求下没有贴代码$ （（（

额 我也不知道为什么要发出来以及为什么要起这个标题 大概是因为好玩吧。

总码长 3.5k。然而在码到 3.2k 的时候 cindy 走过来顺手把我电脑关了。

曾经我也想过一了百了，但是好在我在码了 2.7k 的时候顺手备份了一下。

正文

Description

给定 $N$ 个点，$M$ 条边，求 严格 次小生成树。

严格次小生成树的定义：边权和最小的满足边权和 严格大于 最小生成树边权和的生成树。

Solution

我们来捋一下整道题的思路。

1. 最小生成树

   看到次小生成树，许多人都会联想到最小生成树。

   相信大家都会用 Kruskal 算法求解最小生成树。所以这一步我们跳过。

2. 不严格次小生成树

   如何把最小生成树 $M$ 转换为不严格次小生成树 $M^{\prime }$？

   对于任意一条 不存在于 $M$ 中的 边 $(u,v,w)$，我们将其加入最小生成树。

   此时的最小生成树已经不是树了，因为它有 $n$ 个点，$n$ 条边。也就是说，图中一定存在至少一个环。删除这个环上的任意一条边，图还原为树。

   这个环是在加入边 $(u,v,w)$ 后产生的，所以点 $u$ 和点 $v$ 一定在环上。

   显然，令 $t=\mathrm{lca}(u,v)$，则这个环由原生成树上两条简单路径 $u\to t$、$v\to t$ 和边 $(u,v,w)$ 组成。

   为了让图还原为树，我们需要删除这个环上的边。这条边不能是我们刚刚加入最小生成树的边 $(u,v,w)$，因为我们要用它尝试让最小生成树的权值变大；所以我们就只能在 $u\to t$ 和 $v\to t$ 中选择。

   我们找到 $u\to t$ 和 $v\to t$ 上权值最大的边，用 $(u,v,w)$ 替换，就能得到不严格次小生成树。

   在使用倍增法维护最小生成树的 LCA 的同时，我们维护一个最大值数组 $p$，其定义与倍增祖先数组 $f$ 的定义类似：p[i][j] 表示点 $i$ 向上（树根方向）的 $2^j$ 条边中，边权的最大值。

   其转移则类似于 ST 表求 RMQ：

   for(int j = 1; j <= 20; ++j) {
       f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
       p[i][j] = max (p[i][j-1], p[f[i][j-1]][j-1]);
   }
   

   于是我们可以轻松地得到路径上的最大边权 $w^{\prime }$，则最后的答案为 $M^{\prime }=M-w^{\prime }+w$。

   比较对于所有边生成的 $M^{\prime }$，取其最小值为答案，因为 $M^{\prime }$ 必须满足在所有可生成的树中，除了 $M$ 权值最小。

3. 严格次小生成树

   我们思考，不严格次小生成树操作过程中的哪一步使得其不严格？其实就是因为 $w^{\prime }$ 可能与 $w$ 相等。

   我们专门针对这个问题处理，同时记录 $u\to t$ 和 $v\to t$ 中的最大值和 严格 次大值，当最大值与 $w$ 相等时，就弃用最大值，使用次大值。严格次大值的维护方法与最大值类似。

以及，我绝对没有模仿某个帖子。绝对没有。