动态规划之背包问题（三）

01背包，完全背包，多重背包的个人总结

有了一定的基础理解起来就比以前容易多了。

首先，先分清楚这三个背包问题。

1.01背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品只有一件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

2.完全背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有无限多件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

3.多重背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有有限件num[i]，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

三种背包就是三个约束条件不一样而已。那么针对不同的约束条件，开始解决问题。

（一）关于01背包

呐，为什么叫它01背包呢，因为装进去就是1，不装进去就是0.所以针对每个物品就两种状态，装，不装（请允许我用这么老套的开篇，相信听过很多次背包讲解的人，大多都是这个开篇的）所以咯，我这个背包啊，只要有足够大的空间，这个物品是有可能被装进去的咯。

所以有状态转移方程

dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )

然后二维数组的代码写法分分钟就出来了，反正都是跟前一个状态去转移，也没有什么写法上的限制。

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace
3. int
4. int
5. int
6. int
7. {  
8. int
9.     cin>>m>>n;  
10. sizeof(dp));//数组清空,其实同时就把边界给做了清理
11. for(int
12.         cin>>weight[i]>>value[i];  
13. //从1开始有讲究的因为涉及到dp[i-1][j],从0开始会越界
14. for(int i=1; i<=n; i++)//判断每个物品能否放进
15.     {  
16. for(int j=0; j<=m; j++)//对每个状态进行判断
17. //这边两重for都可以倒着写，只是需要处理最边界的情况，滚动数组不一样
18.         {  
19. if(j>=weight[i])//能放进
20.                 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  
21.   
22. else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放进
23.         }  
24.     }  
25.     cout<<dp[n][m]<<endl;  
26. return
27. }  

然后啊，我们来仔细分析分析就会发现，这个数组开销还是很大的，因为是二维的，万一哪个数据一大，分分钟内存超限，因此有了下边的解法

传说中的---------------滚动数组！！！

啊？什么是滚动数组。

说白了二维数组只是把每个物品都跑一遍，然后到最后一个物品的时候输出答案，那么过程值只是计算的时候用一次，我没必要存下来。所以用一个数组去滚动存储，然后用后一个状态的值去覆盖前面一个状态。然后形象的叫它：滚动数组（ma！dan！一点都不形象，我理解了好久）

好吧，假装很形象。

那么问题来了，怎么样用一维的去代替二维的工作，或者说怎么去思考。这是一个难点。

那么我们想，遍历物品的那个for肯定不能省去，然后里边的for也不能省。。。。那么。就把那个i给他删了吧，好像确实没啥用哦。

然后就出现了这样的代码

1. for(int
2.    {  
3. for(int
4.        {  
5.            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);  
6.        }  
7.    }  

看上去好像很厉害的样子,但是这个绝对是错的，因为第二个for里存在某个dp[j]被改动过，然后再次影响到更大的j。就像我们再对一个数组进行移位操作，一不小心就全部成了一样的数。（别笑，你们以前肯定碰到过|||- -）

额。。回到正题，上边的代码会有重复影响，确实歪打正着的碰上了另一个背包。这个另说，现在附上正确的思路。

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace
3. int dp[1005];//滚动数组的写法，省下空间省不去时间
4. int
5. int
6. int
7. {  
8. int
9.     cin>>m>>n;  
10. sizeof(dp));  
11. for(int
12.         cin>>weight[i]>>value[i];  
13. for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断，可反
14.     {  
15. for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//这里这个循环定死，不能反,反了就是完全背包
16.         {  
17. //其实不断在判断最优解，一层一层的
18.         }  
19.     }  
20.     cout<<dp[m]<<endl;  
21. return
22. }  

其实就是规定从m开始循环，保证了选择这个物品时，肯定不会重复使用状态。

（二）关于完全背包

就像先前讲的，完全背包是每个物品都无限，那么我只要对着一个性价比最高的物品狂选就是了啊。？？

是吗？有瑕疵啊！

反例一批一批的啊，认死了选性价比最高的，不一定是完全填满背包的啊，万一最后一个是刚好填满背包的，而且价格凑起来刚好比全选性价比最高的物品高的情况比比皆是啊。

啊？什么，特判最后一个状态？

你在搞笑吗|||- -，那我再往前推到倒数第二件，第三件咋办。总不能对每个物品都特判吧。

所以正解就是动态规划。状态转移方程如下：

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] )     0<=k*weight[i]<=m

这样看是不是还要多一重for去算k（既放入这个物品的个数）

那么这里二维数组就不如一维的了。

上代码：

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace
3. int dp[100005];//m
4. struct
5. int
6. }node[1005];//n
7.   
8. int
9. int
10. while(~scanf("%d",&n)){  
11. for(int
12. "%d%d",&node[i].a,&node[i].b);  
13.         }  
14. int
15. "%d",&m);  
16. sizeof(dp));  
17. for(int
18. for(int j=node[i].b;j<=m;j++){//这样就是完全背包
19.                 dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].b]+node[i].a);  
20.             }  
21.         }  
22. "%d\n",dp[m]);  
23.     }  
24. return
25. }  

特意换了一种写法让整体的代码结构看上去更像背包一点。

其中第二个for中是从小到大遍历的。这样就是要利用这种影响（因为物品不知道取几个呀，能取就减咯，这种影响正好就是这个题目的意思）

（三）关于多重背包

理解了前面两种背包，那么第三种背包理解起来就毫不费力了

首先这种可以把物品拆开，把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那么！！是不是就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了。对不对！！对不对！！

No BB， show me the code！！

哦， 客官，您要的代码：

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace
3. int
4. int
5. int
6. {  
7. int
8.     cin>>n>>m;  
9. sizeof(dp));  
10. for(int
11.         cin>>weight[i]>>value[i]>>num[i];  
12.           
13. for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品
14.           
15. for(int k=0; k<num[i]; k++)//其实就是把这类物品展开，调用num[i]次01背包代码
16.           
17. for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代码
18.               
19.                 dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);  
20.       
21.     cout<<dp[m]<<endl;  
22. return
23. }  

那只是一种理解方法，其实正规的应该是这样的

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] )     0<=k<=num[i]（这个跟完全背包差点就一毛一样了啊喂|||- -）

那么还是用滚动数组来写，而且还又优化了下

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace
3. const int
4.   
5. int
6. int
7. int
8.   
9. void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数
10. {  
11. for(int
12.         dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
13. }  
14.   
15. void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数
16. {  
17. for(int
18.         dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
19. }  
20.   
21. int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包
22. {  
23. sizeof(dp));  
24. for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品
25.     {  
26. if(num[i]*c[i] > m)  
27.             Complete_Pack(c[i],w[i],m);  
28. //如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的
29. //因为是取不光的。那么就用完全背包去套
30. else
31.         {  
32. int
33. //取得光的话，去遍历每种取法
34. //这里用到是二进制思想，降低了复杂度
35. //为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品
36. //这样足够凑出了从0-k个该物品取法
37. //把复杂度从k变成了logk
38. //如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法
39. while(k < num[i])  
40.             {  
41.                 ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);  
42.                 num[i] -= k;  
43.                 k <<= 1;  
44.             }  
45.             ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);  
46.         }  
47.     }  
48. return
49. }  
50.   
51. int
52. {  
53. int
54.     cin>>t;  
55. while(t--)  
56.     {  
57.         cin>>m>>n;  
58. for(int
59.             cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];  
60.         cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;  
61.     }  
62. return
63. }