推导部分和
问题描述
对于一个长度为 N N N 的整数数列 A 1 , A 2 , ⋯ A N A_{1}, A_{2}, \cdots A_{N} A1,A2,⋯AN, 小蓝想知道下标 l l l 到 r r r 的部 分和 ∑ i = l r = A l + A l + 1 + ⋯ + A r \sum_{i=l}^{r}=A_{l}+A_{l+1}+\cdots+A_{r} ∑i=lr=Al+Al+1+⋯+Ar 是多少?
然而, 小蓝并不知道数列中每个数的值是多少, 他只知道它的 M M M 个部分和 的值。其中第 i i i 个部分和是下标 l i l_{i} li 到 r i r_{i} ri 的部分和 ∑ j = l i r i = A l i + A l i + 1 + ⋯ + A r i \sum_{j=l_{i}}^{r_{i}}=A_{l_{i}}+A_{l_{i}+1}+\cdots+A_{r_{i}} ∑j=liri=Ali+Ali+1+⋯+Ari, 值是 S i S_{i} Si 。
输入格式
第一行包含 3 个整数 N 、 M N 、 M N、M 和 Q Q Q 。分别代表数组长度、已知的部分和数量 和询问的部分和数量。
接下来 M M M 行, 每行包含 3 个整数 l i , r i , S i l_{i}, r_{i}, S_{i} li,ri,Si 。
接下来 Q Q Q 行, 每行包含 2 个整数 l l l 和 r r r, 代表一个小蓝想知道的部分和。
输出格式
对于每个询问, 输出一行包含一个整数表示答案。如果答案无法确定, 输出 UNKNOWN。
样例输入
5 3 3
1 5 15
4 5 9
2 3 5
1 5
1 3
1 2
样例输出
15
6
UNKNOWN
评测用例规模与约定
对于 10 10 \\% 10 的评测用例, 1 ≤ N , M , Q ≤ 10 , − 100 ≤ S i ≤ 100 1 \leq N, M, Q \leq 10,-100 \leq S_{i} \leq 100 1≤N,M,Q≤10,−100≤Si≤100 。
对于 20 20 \\% 20 的评测用例, 1 ≤ N , M , Q ≤ 20 , − 1000 ≤ S i ≤ 1000 1 \leq N, M, Q \leq 20,-1000 \leq S_{i} \leq 1000 1≤N,M,Q≤20,−1000≤Si≤1000 。
对于 30 30 \\% 30 的评测用例, 1 ≤ N , M , Q ≤ 50 , − 10000 ≤ S i ≤ 10000 1 \leq N, M, Q \leq 50,-10000 \leq S_{i} \leq 10000 1≤N,M,Q≤50,−10000≤Si≤10000 。
对于 40 40 \\% 40 的评测用例, 1 ≤ N , M , Q ≤ 1000 , − 1 0 6 ≤ S i ≤ 1 0 6 1 \leq N, M, Q \leq 1000,-10^{6} \leq S_{i} \leq 10^{6} 1≤N,M,Q≤1000,−106≤Si≤106 。
对于 60 60 \\% 60 的评测用例, 1 ≤ N , M , Q ≤ 10000 , − 1 0 9 ≤ S i ≤ 1 0 9 1 \leq N, M, Q \leq 10000,-10^{9} \leq S_{i} \leq 10^{9} 1≤N,M,Q≤10000,−109≤Si≤109 。
对于所有评测用例, 1 ≤ N , M , Q ≤ 1 0 5 , − 1 0 12 ≤ S i ≤ 1 0 12 , 1 ≤ l i ≤ r i ≤ N 1 \leq N, M, Q \leq 10^{5},-10^{12} \leq S_{i} \leq 10^{12}, 1 \leq l_{i} \leq r_{i} \leq N 1≤N,M,Q≤105,−1012≤Si≤1012,1≤li≤ri≤N, 1 ≤ l ≤ r ≤ N 1 \leq l \leq r \leq N 1≤l≤r≤N 。数据保证没有矛盾。
解题思路一 加权并查集
灵光一闪：部分和+重复
（多次求部分和最快方法——前缀和）
给出指定区间
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r] 的部分和，根据前缀和的思想，若下标
l
,
r
l,r
l,r 处的前缀和分别为
S
l
,
S
r
S_{l},S_{r}
Sl,Sr ,那么区间
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r] 的部分和可表示为
S
r
−
S
l
−
1
S_{r}-S_{l-1}
Sr−Sl−1.
问题：
不知道数组全貌，没办法求完整的前缀和
基本情况
给出指定区间
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r] 的部分和，问我们区间
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r]的部分和
简单延申
给出指定区间
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r] 和
[
r
,
r
+
k
]
[r,r+k]
[r,r+k]的部分和，问我们区间
[
l
,
r
+
k
]
[l,r+k]
[l,r+k]的部分和
发现
l指向r，r指向r+k，结果两两组合都可以求出来部分和——并查集
注意：由于部分和的值始终为编号较小的结点
d
i
s
[
l
]
dis[l]
dis[l] 与编号较大的结点
d
i
s
[
r
]
dis[r]
dis[r] 间的差值，因此对于一个结点
i
i
i ,若其并查集祖宗结点
j
j
j 的编号大于
i
i
i ,那么
d
i
s
[
i
]
dis[i]
dis[i] 记录的距离为
s
s
s ,否则，记录的是
s
s
s 的负数。例如，结点 4 到 5 的距离为 6 ，那么结点 5 到结点 4 的距离为 -6 。
步骤：
1、初始化：需要将并查集数组有效部分的长度初始化为
n
+
1
n+1
n+1 ,
2、合并：对于每个输入的区间端点
l
,
r
l,r
l,r 和部分和
s
s
s ，并查集结点
l
−
1
l-1
l−1 与
r
r
r 之间的距离为
s
s
s, 结点合并时，并查集的权数组
d
i
s
dis
dis 维护
s
s
s.
3、将所有的区间和进行并查集连通后，对输入的需要求解的区间和
[
q
l
,
q
r
]
[ql,qr]
[ql,qr] 进行判断，如果
q
l
,
q
r
ql,qr
ql,qr 有相同的祖宗结点，那么
d
i
s
[
q
l
]
−
d
i
s
[
q
r
]
dis[ql]-dis[qr]
dis[ql]−dis[qr] 即为区间和。否则，说明
q
l
,
q
r
ql,qr
ql,qr 并不连通，此时无法求出区间和。
AC Code(Python3)
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author : BYW-yuwei
# @Software: python3.8.6
N=int(1e5)+10
father=[0]*N
dis=[0]*N
def init(n:int):
for i in range(1,n+1):
father[i]=i
def find_father(x:int):
if father[x]==x:return x
t=father[x]
father[x]=find_father(father[x])
dis[x]+=dis[t] #权重数组dis维护两个结点间的距离，此题为区间和
return father[x]
def unite(x:int,y:int,w:int):
fx=find_father(x); fy=find_father(y)
if fx==fy:return
father[fx]=fy
dis[fx]=dis[y]-dis[x]+w #合并时维护节点间的区间和(fx>fy则为负值，fx<fy则为正值)
if __name__=='__main__':
n,m,q=map(int,input().split())
init(n) #对加权并查集初始化
for i in range(m):
l,r,s=map(int,input().split())
l-=1 #类似前缀和，[l,r]的和为l-1到r的距离
unite(l,r,s) #合并结点l与r
res=[] #存放结果的列表
for i in range(q):
ql,qr=map(int,input().split())
ql-=1 #与l情况相同
faql=find_father(ql); faqr=find_father(qr)
if(faql!=faqr):res.append("UNKNOWN") #两个结点不连通，此时的和不可求解
else:res.append(dis[ql]-dis[qr]) #部分和为两结点间dis的差值(由前缀和性质，部分和一定是左边区间减右边区间)
for item in res:
print(item)
