[LeetCode]Unique Binary Search Trees

Question
Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

本题难度Medium。

DP

【复杂度】
时间 O(N) 空间 O(N)

【思路】
可以参照​​（复习）[LeetCode]Unique Binary Search Trees II​​，设n的BST的个数为​​f(1,n)​​，则可以看到：

f(1,n)=∑i=1nf(1,i−1)∗f(i+1,n)

实际上，

f(i+1,n)=f(1,n−i)

因此可以进一步地化简，我们用

​​f(n)​​表示BST的个数，则：

f(n)=∑i=1nf(i−1)∗f(n−i)

然后我们利用DP对

​​f(0)​​到

​​f(n)​​的值依次进行计算即可。

【代码】

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //require
        int[] f=new int[n+1];
        if(n<1)
            f=new int[2];
        f[0]=1;f[1]=1;
        //invariant
        for(int k=2;k<=n;k++)
            for(int i=1;i<=k;i++)
                f[k]+=f[i-1]*f[k-i];
        //ensure
        return f[n];
    }
}