最近我们被客户要求撰写关于广义线性模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。
考虑简单的泊松回归
。给定的样本
，其中
，目标是导出用于一个95％的置信区间
给出
，其中
是预测。
因此，我们要导出预测的置信区间，而不是观测值，即下图的点
> r=glm(dist~speed,data=cars,family=poisson)
> P=predict(r,type="response",
+ newdata=data.frame(speed=seq(-1,35,by=.2)))
> plot(cars,xlim=c(0,31),ylim=c(0,170))
> abline(v=30,lty=2)
> lines(seq(-1,35,by=.2),P,lwd=2,col="red")
> P0=predict(r,type="response",se.fit=TRUE,
+ newdata=data.frame(speed=30))
> points(30,P1$fit,pch=4,lwd=3)
即
最大似然估计
。
，Fisher信息来自标准最大似然理论。
这些值的计算基于以下计算
在对数泊松回归的情况下，
让我们回到最初的问题。
- 线性组合的置信区间
获得置信区间的第一个想法是获得置信区间
（通过取边界的指数值）。渐近地，我们知道
因此，方差矩阵的近似将基于通过插入参数的估计量而获得。
然后，由于作为渐近多元分布，参数的任何线性组合也将是正态的，即具有正态分布。所有这些数量都可以轻松计算。首先，我们可以得到估计量的方差
因此，如果我们与回归的输出进行比较，
> summary(reg)$cov.unscaled
(Intercept) speed
(Intercept) 0.0066870446 -3.474479e-04
speed -0.0003474479 1.940302e-05
> V
[,1] [,2]
[1,] 0.0066871228 -3.474515e-04
[2,] -0.0003474515 1.940318e-05
根据这些值，很容易得出线性组合的标准偏差，
一旦我们有了标准偏差和正态性，就得出了置信区间，然后，取边界的指数，就得到了置信区间
> segments(30,exp(P2$fit-1.96*P2$se.fit),
+ 30,exp(P2$fit+1.96*P2$se.fit),col="blue",lwd=3)
基于该技术，置信区间不再以预测为中心。
01
02
03
04
- 增量法
实际上，使用表达式作为置信区间不会喜欢非中心区间。因此，一种替代方法是使用增量方法。我们可以使用一个程序包来计算该方法，而不是在理论上再次写一些东西，
> P1
$fit
1
155.4048
$se.fit
1
8.931232
$residual.scale
[1] 1
增量法使我们具有（渐近）正态性，因此一旦有了标准偏差，便可以得到置信区间。
通过两种不同的方法获得的数量在这里非常接近
> exp(P2$fit-1.96*P2$se.fit)
1
138.8495
> P1$fit-1.96*P1$se.fit
1
137.8996
> exp(P2$fit+1.96*P2$se.fit)
1
173.9341
> P1$fit+1.96*P1$se.fit
1
172.9101
- bootstrap技术
第三种方法是使用bootstrap技术基于渐近正态性（仅50个观测值）得出这些结果。我们的想法是从数据集中取样，并对这些新样本进行log-Poisson回归，并重复很多次数，
