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问题 H: a^b

诗与泡面 2022-01-20 阅读 48

题目描述
求 a 的 b 次方对 p 取模的值,其中 0≤a,b≤10^9 0<p≤10^9
输入格式
三个用空格隔开的整数a,b和p。
输出格式
一个整数,表示a^b mod p的值。
输入样例
2 3 9
输出样例
8

此题部分数论知识
a ≡ b a\equiv b ab modm ⇒ \Rightarrow a k ≡ b k a^k \equiv b^k akbkmodm

此处进行简要证明:

∵ \because a ≡ b a\equiv b ab modm
∴ \therefore a = b + m k a=b+ mk a=b+mk
∴ \therefore a k = ( b + m k ) k a^k={(b+mk)}^k ak=(b+mk)k = b k + ∑ i = 1 k C k i b k − i ( m k ) i = b^k + \sum_{i=1}^{k}C_k^ib^{k-i}{(mk)}^i =bk+i=1kCkibki(mk)i

∑ i = 1 k C k i b k − i ( m k ) i m o d m = 0 \sum_{i=1}^{k}C_k^ib^{k-i}{(mk)}^imodm=0 i=1kCkibki(mk)imodm=0
∴ \therefore a k ≡ b k a^k \equiv b^k akbkmodm
即:
a m o d m = a n s a mod m = ans amodm=ans ⇒ \Rightarrow a k m o d b = a n s k a^kmodb=ans^k akmodb=ansk
观察b的取值 10^9 导致暴力解法会超时,所以需要用快速幂的算法进行求幂

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	long long a, b, p,ans = 1;
	cin >> a >> b >> p;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = ans * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1 ;
	}
	cout << ans % p;
}
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