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二、萤火虫优化算法（FA）简介
1 介绍
萤火虫（firefly）种类繁多，主要分布在热带地区。大多数萤火虫在短时间内产生有节奏的闪光。这种闪光是由于生物发光的一种化学反应，萤火虫的闪光模式因种类而异。萤火虫算法(FA)是基于萤火虫的闪光行为，它是一种用于全局优化问题的智能随机算法，由Yang Xin-She（2009）[1]提出。萤火虫通过下腹的一种化学反应-生物发（bioluminescence）发光。这种生物发光是萤火虫求偶仪式的重要组成部分，也是雄性萤火虫和雌性萤火虫交流的主要媒介，发出光也可用来引诱配偶或猎物，同时这种闪光也有助于保护萤火虫的领地，并警告捕食者远离栖息地。在FA中，认为所有的萤火虫都是雌雄同体的，无论性别如何，它们都互相吸引。该算法的建立基于两个关键的概念：发出的光的强度和两个萤火虫之间产生的吸引力的程度。
2 天然萤火虫的行为
天然萤火虫在寻找猎物、吸引配偶和保护领地时表现出惊人的闪光行为，萤火虫大多生活在热带环境中。一般来说，它们产生冷光，如绿色、黄色或淡红色。萤火虫的吸引力取决于它的光照强度，对于任何一对萤火虫来说，较亮的萤火虫会吸引另一只萤火虫。所以，亮度较低的个体移向较亮的个体，同时光的亮度随着距离的增加而降低。萤火虫的闪光模式可能因物种而异，在一些萤火虫物种中，雌性会利用这种现象猎食其他物种；有些萤火虫在一大群萤火虫中表现出同步闪光的行为来吸引猎物，雌萤火虫从静止的位置观察雄萤火虫发出的闪光，在发现一个感兴趣趣的闪光后，雌性萤火虫会做出反应，发出闪光，求偶仪式就这样开始了。一些雌性萤火虫会产生其他种类萤火虫的闪光模式，来诱捕雄性萤火虫并吃掉它们。
3 萤火虫算法
萤火虫算法模拟了萤火虫的自然现象。真实的萤火虫自然地呈现出一种离散的闪烁模式，而萤火虫算法假设它们总是在发光。为了模拟萤火虫的这种闪烁行为，Yang Xin-She提出了了三条规则（Yang，2009）：
（1）假设所有萤火虫都是雌雄同体的，因此一只萤火虫可能会被其他任何萤火虫吸引。
（2）萤火虫的亮度决定其吸引力的大小，较亮的萤火虫吸引较暗的萤火虫。如果没有萤火虫比被考虑的萤火虫更亮，它就会随机移动。
（3）函数的最优值与萤火虫的亮度成正比。
光强(I)与光源距离（r）服从平方反比定律，因此由于空气的吸收，光的强度(I)随着与光源距离的增加而减小，这种现象将萤火虫的可见性限定在了非常有限的半径内：
萤火虫算法的主要实现步骤如下：
其中I0为距离r=0时的光强（最亮），即自身亮度，与目标函数值有关，目标值越优，亮度越亮；γ为吸收系数，因为荧光会随着距离的增加和传播媒介的吸收逐渐减弱，所以设置光强吸收系数以体现此特性，可设置为常数；r表示两个萤火虫之间的距离。有时也使用单调递减函数，如下式所示。
第二步为种群初始化：
其中t表示代数，xt表示个体的当前位置，β0exp(-γr2)是吸引度，αε是随机项。下一步将会计算萤火虫之间的吸引度：
其中β0表示r=0时的最大吸引度。
下一步，低亮度萤火虫向较亮萤火虫运动：
最后一个阶段，更新光照强度，并对所有萤火虫进行排序，以确定当前的最佳解决方案。萤火虫算法的主要步骤如下所示。
Begin
初始化算法基本参数：设置萤火虫数目n，最大吸引度β0，光强吸收系数γ，步长因子α，最大迭代次数MaxGeneration或搜索精度ε；
初始化：随机初始化萤火虫的位置，计算萤火虫的目标函数值作为各自最大荧光亮度I0；
t=1
while(t<=MaxGeneration || 精度>ε)
计算群体中萤火虫的相对亮度I(式2)和吸引度β（式5），根据相对亮度决定萤火虫的移动方向；
更新萤火虫的空间位置，对处在最佳位置的萤火虫进行随机移动（式6）；
根据更新后萤火虫的位置，重新计算萤火虫的亮度I0；
t=t+1
end while
输出全局极值点和最优个体值。
end萤火虫算法与粒子群算法(PSO)和细菌觅食算法(BFA)有相似之处。在位置更新方程中，FA和PSO都有两个主要分量：一个是确定性的，另一个是随机性的。在FA中，吸引力由两个组成部分决定：目标函数和距离，而在BFA中，细菌之间的吸引力也有两个组成部分：适应度和距离。萤火虫算法实现时，整个种群(如n)需要两个内循环，特定迭代需要一个外循环(如I)，因此最坏情况下FA的计算复杂度为O(n2I)。
三、部分源代码
% ===新兴元启发式优化算法==== %
% ======================================================== %
% -------------------------------------------------------- %
function fa_ndim
% parameters [n N_iteration alpha betamin gamma]
para=[20 500 0.5 0.2 1];
% Simple bounds/limits
disp('Solve the simple spring design problem ...');
% 定义问题维度
d=15;
Lb=zeros(1,d);
Ub=2*ones(1,d);
u0=Lb+(Ub-Lb).*rand(1,d);
[u,fval,NumEval]=ffa_mincon(@cost,u0,Lb,Ub,para);
% Display results
bestsolution=u
bestojb=fval
total_number_of_function_evaluations=NumEval
%%% Put your own cost/objective function here --------%%%
%% Cost or Objective function 代价函数或目标函数
function z=cost(x)
%准确的结果应该是(1,1,1,1,1,...,1,1)
z=sum((x-1).^2)
% Start FA 开始执行萤火虫算法
function [nbest,fbest,NumEval]=ffa_mincon(fhandle,u0, Lb, Ub, para)
% Check input parameters (otherwise set as default values)
if nargin<5, para=[20 500 0.25 0.20 1]; end
if nargin<4, Ub=[]; end
if nargin<3, Lb=[]; end
if nargin<2,
disp('Usuage: FA_mincon(@cost,u0,Lb,Ub,para)');
end
% n=number of fireflies
% MaxGeneration=number of pseudo time steps
% ------------------------------------------------
% alpha=0.25; % Randomness 0--1 (highly random)
% betamn=0.20; % minimum value of beta
% gamma=1; % Absorption coefficient
% ------------------------------------------------
n=para(1); MaxGeneration=para(2);
alpha=para(3); betamin=para(4); gamma=para(5);%beta0取1，alpha取[0,1],光吸收系数，取[0.01,100]
% Total number of function evaluations 函数运算总次数
NumEval=n*MaxGeneration;
% Check if the upper bound & lower bound are the same size 检查是否越过上下限
if length(Lb) ~=length(Ub),%~=为不等于
disp('Simple bounds/limits are improper!');
return
end
% Calcualte dimension 计算维度
d=length(u0);
% Initial values of an array 初始化向量
zn=ones(n,1)*10^100;
% ------------------------------------------------
% generating the initial locations of n fireflies 生成萤火虫位置
[ns,Lightn]=init_ffa(n,d,Lb,Ub,u0);
% Iterations or pseudo time marching
for k=1:MaxGeneration, %%%%% start iterations 开始迭代
% This line of reducing alpha is optional
alpha=alpha_new(alpha,MaxGeneration);
% Evaluate new solutions (for all n fireflies) 评估新解
for i=1:n,
zn(i)=fhandle(ns(i,:));
Lightn(i)=zn(i);
end
% Ranking fireflies by their light intensity/objectives 根据亮度强弱排列萤火虫
[Lightn,Index]=sort(zn);
ns_tmp=ns;
for i=1:n,
ns(i,:)=ns_tmp(Index(i),:);
end
%% Find the current best 找到当前最优
nso=ns; Lighto=Lightn;
nbest=ns(1,:); Lightbest=Lightn(1);
% For output only
fbest=Lightbest;
% Move all fireflies to the better locations 所有的萤火虫飞向亮度更高的萤火虫
[ns]=ffa_move(n,d,ns,Lightn,nso,Lighto,nbest,Lightbest,alpha,betamin,gamma,Lb,Ub);
end %%%%% end of iterations迭代结束
% -------------------------------------------------------
% ----- All the subfunctions are listed here ------------ 子函数
% The initial locations of n fireflies 萤火虫位置初始化
function [ns,Lightn]=init_ffa(n,d,Lb,Ub,u0)
% if there are bounds/limits,
if length(Lb)>0,
for i=1:n,
ns(i,:)=Lb+(Ub-Lb).*rand(1,d);
end
else
% generate solutions around the random guess
for i=1:n,
ns(i,:)=u0+randn(1,d);
end
end
% initial value before function evaluations 初始化亮度值
Lightn=ones(n,1)*10^100;
% Move all fireflies toward brighter ones 所有的萤火虫飞向最亮的萤火虫
function [ns]=ffa_move(n,d,ns,Lightn,nso,Lighto,nbest,Lightbest,alpha,betamin,gamma,Lb,Ub)
% Scaling of the system测量系统
scale=abs(Ub-Lb);四、运行结果
五、matlab版本及参考文献
1 matlab版本
2014a
2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
[3]群体智能优化算法之萤火虫算法(Firefly Algorithm，FA)
