416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

 

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
 

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

分析

这题因为数据规模比较小，所以我们可以抽象为01背包。
首先分割成两个子集，每个数肯定只能选一次，对于其中一个子集，这个数要么选要么不选，这不就很像01背包吗？
当我们把每个数当成是物品的价值和质量时，背包容量为总和的一半加1时，01背包的要素不就完整了吗？
我们这里为了省空间，直接使用一维滚动数组dp[j],表示容量为j的最大价值。
那我们可以思考一下，当背包装满时，我们必定会返回True，背包不满时，我们返回False,不会出现溢出现象，因为我每次取的数（物品）质量和价值相等，即最后填满重量，相当于填满价值。
当然，nuns的总和如果为奇数，肯定是没办法分割的。
抽象为01背包后，之后的事情就简单了。

代码

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        # 抽象为01背包问题
        # nums[i] 即是重量也是价值
        # Sum(nums)总和的一半：背包的最大承重
        # dp[j] : 容量为j的背包最大价值

        Sum = sum(nums)
        if Sum % 2 == 1:
            return False
        palf = Sum // 2
        dp = [0] * int(palf+1) # 容量为j的背包的最大价值

        for i in range(len(nums)): # 遍历物品
            for j in range(palf,nums[i]-1,-1): # 、反向遍历背包
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i])

        return dp[palf] == Sum/2

通过截图

在这里插入图片描述

1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

 

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
示例 3：

输入：stones = [1,2]
输出：1
 

提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 100

分析

这题看上去很复杂，其实就是上题的升级版。两块石头碰一起，剩下（大质量石头减小质量石头）
其实不就相当于，两堆质量最为相近的石头碰撞在一起，剩下石头吗？
首先将石头分为两堆，每个石头肯定只能选一次，对于其中一堆石头，这个石头要么选要么不选，这不就很像01背包吗？
dp[j]表示j块石头的最大值（有些人可能疑惑：不是要两堆质量相近吗？为什么这里拿最大价值，不着急，先看后面）
我们和刚才一样，由于数据规模较小，我们将石头重量等同于价值。我们先算出重量总和的一半，我们开辟重量总和一半+1个空间，背包要素不就完整了吗？当然，其实不说价值这个概念也没事，主要是根据01背包的基本模板来讲而已。
dp数组最后一个值，相当于容量为和一半的背包所能承受的最大石头价值（重量）相当于他是在<=2/sum中最逼近总和中值的数，所以另一堆的质量和也与他最相近Sum-dp[一半加一]

代码

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        # 抽象为01背包
        # dp[j]表示容量为j的背包里面石头的最大价值（重量）
        # 背包大小为石头的个数

        dp = [100]*(len(stones)+1)

        Sum = sum(stones) # 总重量
        weight = Sum // 2
        dp = [0] * int(weight+1) # 容量为j的背包的最大价值

        for i in range(len(stones)): # 遍历物品
            for j in range(weight,stones[i]-1,-1): # 反向遍历背包
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i])

        return Sum-dp[weight]-dp[weight]