假设我们面临一个问题
题目
题目描述
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数据范围
分析
假设有三个物品：吉他（价值15 重量1），笔记本（价值20 重量3），音响（价值30 重量4）
并且背包容量是4
贪心算法
按照贪心的想法，要获得最大价值应该先拿价值最大的物品，也就是音响，价值30，但是如果这样一拿，背包就直接装满了，也就是说最终得到价值30的东西，但我们可以很快构造出价值35的组合：吉他+笔记本。所以，贪心算法是难以解决此问题的。
那有没有一种算法能快速解决此问题呢？
动态规划算法
我们可以创建一个数组F
//f[i][j]表示前i个物品,背包容量不超过j时的最大价值用图像说明的话就是：
那接下来的任务就是如何填充此表格了
首先看第一行，我们知道吉他的重量是1，价值是15，所以选取吉他并且重量不超过1的最大价值就是吉他的价值15。接下来一想，显然，这一行都是15
再来看第二行，我们知道笔记本的重量是3，价值是20，那么看这一行的第一格，它的意义是前2个物品中，背包容量不超过1的最大价值。因为容量限制在1以内，所以只能是一个吉他，价值15
第二格，表示前2个物品中，背包容量不超过2的最大价值。这时候我们有两个选择：
- 不选择笔记本，最大价值就是前1个物品中背包容量不超过2的最大价值，就是15
- 选择笔记本，最大价值就是前1个物品中（因为已经选了笔记本）背包容量不超过2-笔记本重量的最大价值
但是笔记本的重量是大于2的，所以只能选择方案1，价值还是15
接下来看第三格，同样，两个选择：
- 不选择笔记本，最大价值就是前1个物品中背包容量不超过3的最大价值，就是15
- 选择笔记本，最大价值就是前1个物品中（因为已经选了笔记本）背包容量不超过3-笔记本重量的最大价值
这是方案2就可行，因为笔记本重量=3，所以方案2所得的价值是20+前0个……，也就是20嘛
欸，那这时，20 > 15，所以这时方案2会优于方案1，选择方案2
因此，我们可以得到递推式
f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);其中，f[i - 1][j]为不选第i件物品的最大价值，f[i - 1][j - w[i]] + v[i]为选第i件物品的最大价值
我们就是在这两个值中取较大的
所以表格剩下的也就按照这个递推式来进行即可
最终答案是表格的右下角也就是 f[n][m]，最大价值35
但在递推式中，需要注意的是，如果j < w[i]时，就只能是 f[i - 1][j]
我们还需要考虑初始值，其实这很容易，如果这一上来体积就大于背包容量了，那所拿的价值就是0，所以 f 数组中每一项初始值为0
此时，算法原理已经讲完了，而代码实现难度并不高，我们直接来看代码
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int w[1010],v[1010];
//w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的价值
int f[1010][1010];
//f[i][j]表示前i个物品重量不超过j的最大价值
int main()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
for(int j = 1;j <= m;j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j - w[i] >= 0)
f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}最后，如果你没有理解这个算法的话，我强烈建议你手动模拟一下整个过程，这样，你的理解程度会更深一些。
