数字计算机傅里叶变换电路
下面介绍一种使用傅里叶变换进行AD信号转换的计算机端口电路。相关资料下载网址如下：
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数字计算机傅里叶变换电路
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第一部分傅里叶级数勒让得多项式解法
下面的资料可参见《高等微积分》，赵访熊著，商务印书馆1946年出版。
[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cosnx,sinmx}，n,m=1,2,...。
设f(x)在(-π，π)间节可积，则其正交系数为：
π
∫ 1 f(x)dx
-π 2 1 π
a = = ∫ f(x)dx
π 2 π -π
∫ （ 1 ） dx
-π 2
y=f(x)=πa （1）
0
π
∫ f(x)cosnxdx
-π 1 π
a = = ∫ f(x)cosnxdx
n π 2 π -π
∫ cos nxdx
-π
y`cosnx-nysinnx=πa
n
2
y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx=πa (2)
N
π
∫ f(x)sinnxdx
-π 1 π
b = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π -π
∫ sin nxdx
-π
y`sinnx+nycosnx=πb
n
2
y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx=πb (3)
n
其正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fourier`s series),a ,a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数”
0 n
(Cosine coefficient),b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。合称富氏级数之系
n
数a ,a ,b 为f(x)z之“富氏系数”(Fourier coefficients)。
0 n n
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
(1)+(2)+(3)得
y=f(x)=πa (1)
0
2
y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx=πa (2)
n
2
y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx=πb (3)
n
2 2
y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx+y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx+y
=πb +πa +πa
n n 0
2 2
y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx+y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx+y
-πb -πa -πa =0
n n 0
2
(sinnx+cosnx)y``+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0
0 n n
因为
2
(1-x )y``-2xy`+n(n+1)y=0
设 x=t
2
(1-t )y``-2ty`+n(n+1)y=0
根据勒让得多项式求解微分方程，上面方程的解是：
∞ 2k ∞ 2k+1
y=∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
所以
2
(1-t )y``-2ty`+n(n+1)y=s (5)
上面方程的解是：
∞ 2k ∞ 2k+1
y=s+∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
假设(4)和(5)是同一个方程，得
sinkx+coskx=1-t
2n(coskx-sinkx)=-2t
2
n (sinkx+coskx+1)=n(n+1)
πa +πa +πb =s
0 n n
所以
t=1-sinkx-coskx,
-t=n(coskx-sinkx),
n(sinkx+coskx+1)=n+1,
n(sinkx+coskx)=1,
n=1/(sinkx+coskx),
所以
∞ 2k ∞ 2k+1
y=s+∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
∞ 2k ∞ 2k+1
y=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinkx-coskx) +∑ a [-k(coskx+sinkx)]
0 n n k=0 2k k=0 2k+1
因为,
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
所以so
a
0 ∞
+ ∑ (a coskx+b sinkx)=
2 k-1 k k
∞ 2k ∞ 2k+1
=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinnx-cosnx) +∑ a [-n(cosnx+sinnx)]
0 n n k=0 2k k=0 2k+1
所以
2k
a (1-sinkx-coskx) =a coskx
2k k
2
a =coskx/2(1-sinkx-coskx)
k
2k+1
b [-n(cosnx+sinnx)] = b sinkx
2k+1 k
3
b =sinkx/3[-n(cosnx+sinnx)]
K
所以傅里叶变换(6)可写为，
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
∞ 2 2 3
y=2πx+ ∑ {cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }
k=1
当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y,那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y，
9-1勒氏多项式，即勒让德多项式
兹求勒(Legendre)氏微分方程：
2
(1-x )y``-2xy`+n(n+1)y=0
之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解：
∞ k
y= ∑ a x
k=0 k
则可逐项微分一次及二次，依次得：
∞ k-1
y`= ∑ ka x
k=1 k
及
∞ k-2
y``= ∑ k(k-1)a x
k=2 k
代入勒氏微分方程即得
2 2 ∞
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x
0 1 2 1 2 k=1 k
∞ k ∞ k-1
+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0
k=2 k k=1 k
2
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)
0 1 2 1 2
∞ 2 k-2 k-i k
+ ∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0
k=2 k k k
∞ k
[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0
2 0 3 1 k=2 k+2 k
故必有
n(n+1)
a =- a
2 2 0
n(n+1) -2
a =- a
3 3*2 0
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,...
k+2 (k+2)(k+1) 2
亦即
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,... (1)
k+2 (k+2)(k+1) 2
此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,......a ......均为a 及此循环公式所定，
k 0 2 4 2k 0
并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,...a ...均为a 及此循环公式所定，
0 1 2 3 2k+1 1
并均为a 之常数倍数，写y作：
1
∞ 2k ∞ 2k+1
y= ∑ a x + ∑ a x
k=0 2k k=0 2k+1
傅里叶级数的反级数, 因为傅里叶级数如下：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)
2 k-1 k k
根据反函数的相关性质，可推导出
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)
2 k-1 k k
利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。因为级数
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)
k=1
根据反函数的相关性质，可推导出
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (3)
k=1
利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。将(2)代入(3),得
∞ 2 2 3
z=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (5)
k=1
上式中,
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)
2 k-1 k k
这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。
将(4)代入(1),得
a
0 ∞
z= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
上式中,
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)
k=1
这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。上面的情况是正交函数的情况，如果是非正交函数，则要乘以空间的夹角的正弦. 所以,
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)
2 k-1 k k
可改写为
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx)sinβ
2 k-1 k k
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)
2 k-1 k k
可改写为
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)arc sinβ
2 k-1 k k
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)
k=1
可改写为
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }sinβ
k=1
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)
k=1
可改写为
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] }arc sinβ
k=1
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间。
9-7.白氏函数，即贝塞尔函数
试求“白氏微分方程：(Bessel`s differential equation):
2 2 2
x y``+xy`+(x -n )y=0
之幂级数解，设有一收敛幂级数解：
∞ m+k
y= ∑ (m+k)a x
k=0 k
则,
∞ m+k-1
y`= ∑ (m+k)a x
k=0 k
∞ x+k-2
y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x
k=0 k
代入白氏微分方程，即得
2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k
(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0
0 1 k=2 k k-2
故必有
2 2
(m -n )a =0
0
2 2
[(m+1) -n ]a =0
1
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
2 2
(m+k) -n
兹令m=n，则第一次并不限制a ,因
0
2 2 2 2
(m+1) -n =(n+1) -n ≠0
故第二式限制a =0，因
1
2 2 2 2
(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)
故第三式为：
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
k k(k+2n)
因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,......,给定a ≠0并给定n非负整数，
1 2k+2 0
则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,......,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故
0 2k 2k 0
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
因,
│a │
k 1
Lim = Lim =0
k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│
k-2
此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。
由上面的推导可知
2
(sinnx+cosnx)y``+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0 (4)
0 n n
因为,
2 2 2
x y``+xy`+(x -n )y=0
设 x=t
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=0
根据贝赛尔多项式求解微分方程，上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
所以,
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=s (5)
上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=s+t ∑ a x
k=0 2k
假设(4)和(5)是同一个方程，得
2
sinkx+coskx=t
2n(coskx-sinkx)=t
2 2 2
n (sinkx+coskx+1)=t -n
πa +πa +πb =s
0 n n
所以,
t= sinkx+coskx
2n(coskx-sinkx)=t,
2 2
n (sinkx+coskx+2)=t
n=t/ (sinkx+coskx+2)
所以,
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=s
2 2
4n (coskx-sinkx) y``+ (sinkx+coskx) y`+{(sinkx+coskx)-[(sinkx+coskx)/(sinkx+coskx+2)]}y=s
上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=s+t ∑ a x
k=0 2k
∞ k
y=πa +πa +πb + ∑ a (sinkx+coskx)
0 n n k=0 k
或
∞ 2k+1
y=πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)
0 n n k=0 2k+1
因为，
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
a
0 ∞ ∞ 2k+1
+ ∑ (a coskx+b sinkx) =πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)
2 k-1 k k 0 n n k=0 2k+1
所以傅里叶变换(6)可写为，
. a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
∞ 2k+1
y=2πx+ ∑ a 2n(coskx-sinkx)
k=1 2k+1
当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y, 那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y。
第八章富氏级数及富氏积分.
8-1.正交函数集
1 2 3
设a ,a a 为三个空间相互垂直非零矢量，则
i j
a +a =0,i≠j,i,j=1,2,3
设b为空间随意矢量，则b恒可写为：
1 2 3
b=c a +c a +c a
1 2 3
i i i
其中c ,c ,c 为数量，因b*a =c a *a ，故其值为：
1 2 3
i
b*n
c = ,i=1,2,3
i i i
a *a
兹讨论一类似问题，问题为给定一在(a,b)间节之函数集(φ,(x)),n=0,1,2,......,及一在(a,b)间节之随意函数f(x).
(1)是否可展开f(x)为函数集(φ,(x))之函数级数：
∞
f(x)∽ ∑ c φ (x)？
k=0 k k
(2)在何种条件下，
∞
f(x)= ∑ c φ (x)？
k=0 k k
在讨论问题前，先证明于二级平直微分方程之下列二定理：
定理8-1，给定a (x)y``+a (x)y`+a (x)y，则恒有函数p(x),q(x),及r(x)使
2 1 0
d
r(x)[a (x)y``+a (x)y`+a (x)y]= [p(x)y`]+q(x)y
2 1 0 dx
[证]所求三函数p,q,r之必要及充分条件为：
ra =p (1)
2
ra =p (2)
1 q
ra =p (3)
0 a
自(1)及(2)即得
a
d p` 1
logp= =
dx p a
2
即,
a
1
∫ dx
a
p=ce 2
兹选：
a
1
∫ dx
a
p=ce 2
a
1
∫ dx
1 a
r= e 2
a
2
a
1
a ∫ dx
0 a
q= e 2
a
2
则(1),(2)，及(3)均满足,
[例1]
2 d 2
y``+n y= y`+n y,
dx
2
r=1,p=1,q=n
[例2]
2 d 2
(1-x )y``-2xy`+m(m+1)y= [1-x )y`]+m(m+1)y,
dx
2
r=1,p=(1-x ),q=m(m+1)
[例3]
2 d 2
xy``+y`+k xy= [xy`]+k xy,
dx
2
r=1,p=z,q=k z,
定理8-2，设y (x)及y (x)依次为
1 2
d
[py` ]+q y =0
dx 1 1 1
d
[py` ]+q y =0
dx 2 2 2
之解，则
b b
∫ (q -q )y y dx=p(y` y -y y` )
a 2 1 1 2 1 2 1 2 a
[证]以y 乘第一微分方程，以y 乘第二微分方程，相减即得
2 1
d d d
y [py` ]-y [py` ]= [p(y` y -y y` )]=(q -q )y y
2 dx 1 dx dx 1 2 1 2 2 1 1 2
自a至b积分，即证此定理
正交函数集定义：设y (x)及y (x)为在间节(a,b)可积函数集{y },n=0,1,2,......,之任何两
i j n
个不同函数，即有
b
∫ y (x)y (x)dx=0,
a I j
则称此函数值为在间节(a,b)之“正交函数集”(Set of orthogonal functions)。
[例1]{sinnx},n=1,2,......,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。
因y =sin nx及y =sin mz依次满足：
n m
d 2
[y` ]+n y =0
dx n n
d 2
[y` ]+m y =0
dx m m
标定理8-2即得
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0
0 n m n m n m 0
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0
-π n m n m n m -π
2 2
故设m≠n,则m -n ≠0，即有
π π
∫ y y dx=0,及∫ y y dx=0,
0 n m -π n m
[例2]{1/2,cos nx},n=1,2,......,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。
因y =cosnx,y =cos mx依次满足例1之微分方程，
n m
准定理8-2并注意y` =-ksinkx在x=0,π,-π之值均为零，不论k为何数，即得：
k
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0
0 n m n m n m 0
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0
-π n m n m n m -π
函数1/2可写为
1
y (x)= cos0x
0 2
其微商恒等于零。故设m≠n,m,n=0,1,2,......,则
π π
∫ y y dx=0, ∫ y y dx=0,
0 n m -π n m
[例3]{1/2,cos nx,sin nx},m,n=1,2,......,为(-π,π)间节之正交函数集。
f(x)=cos nx sin nx,n=0,1,2,......,m=1,2,......为奇函数，故
π
∫ cos nx sin mx dx=0,n=0,1,2,......,m=1,2,......,
-π
自例1及2已知
π
∫ cos nx cos mx dx=0,m≠n,
-π
π
∫ sin nx sin mx dx=0,m≠n,
-π
故已证此函数集为(-π,π)间节之正交函数集。
[例4]名“勒氏方程”(Legendre`s equation):
d 2
[(1-x )y`]+n(n+1)y=0,n=0,1,2,......
dx
之多项式解之满足y(1)=1者为“n级勒氏多项式”(Legendre poly-nomial),
以P (x)表之，则{P (x)},n=0,1,2,......为(-1,1)间节之正交函数集。
n n
准定理8-2，知
1 1
[m(m+1)-n(n+1)] ∫ P P dx=(1-x )(P` P -P P` ) =0
-1 n m n m n m -1
故设m≠n，则
1
m(m+1)-n(n+1)≠0,故 ∫ P P dx=0
-1 n m
[例5]名“白氏方程”（Bessel`s equation):
d 2
(xy`)+k xy=0
dx n
之幂级数解为J (k x)。
0 0
设J (k a)=0,n=1,2,......,0<k <k <k ......，则
0 n 1 2 3
b
∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。
a 0 n 0 m
亦称(J (k x)),n=1,2,......,为(0,a)间节之“广义正交函数集”(Generalized orthogonal set)。
0 x
准定理8-2，知
2 2 b
(k -k )∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。
m n a 0 n 0 m
π
=x[J` (k x)J (k x)-J (k x)J` (k x)] =0
0 n 0 m 0 n 0 m 0
2 2
设n≠m，则k -k ≠0,故得所欲证。
m n
8-2.正交函数级数之展开公式
设f(x)为在(a,b)间节可积之随意函数，{φ (x)},n=0,1,2,......, 为(a,b)区间之正交函数集。
设f(x)已展开成一收敛f(x)之正交函数级数：
∞
f(x)= ∑ a φ (x)
k=0 k k
并在(c,b)间节可逐项积分，则
b ∞ b b
∫ fφ dx= ∑ a ∫ φ φ dx=a∫ φ dx=a
a n k=0 k a k n a n
故必有
b
∫ fφ dx
a n
a = ,n=0,1,2,......, (1)
b 2
∫ φ dx
a n
兹名a 为f(x)之“正交系数”，
n
∞
∑ a φ (x) 为于f(x)相当之“正交函数级数”而以
k=0 k k
∞
f(x)∽ ∑ a φ (x)
k=0 k k
表之，并读符号∽作“相当于”。设f(x)为在(a,b)间节可积函数，则其正交系数可自公式(1)求出，故与f(x)相当于正交函数级数亦已定。惟求出与f(x)相当于之正交函数级数在间节(a,b)是否收敛，即收敛其值是否即f(x)，尚待将来讨论之。
π
∫ f(x)sinnxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a sinnx
k=0 n
名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s sine series)。
n
名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fourier`s sine series)。
例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为
4 1
,n=1,2,......
2 2 1 n π n
a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {
n π π n 0,n为变数
其富氏正弦级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
1∽ ∑ ,0<x<π
π k=0 2k+1
[例1]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,......
设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：
π
∫ f(x)sinnxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a sinnx
n=1 n
名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s sine series)。
n
名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fourier`s sine series)。
例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为
4 1
,n=1,2,......
2 2 1 n π n
a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {
n π π n 0,n为变数
其富氏正弦级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
1∽ ∑ ,0<x<π
π k=0 2k+1
[例2]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,......
设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：
π 1
∫ f(x)dx
0 2 2 π
a = = ∫ f(x)dx
n π 1 2 π 0
∫ ( ) dx
0 2
π
∫ f(x)cosxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)cos nxdx,n=1,2,......
n π 2 π 0
∫ cos nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ a sinnx
2 n=1 n
名a ,n=0,1,2,.......为f(x)之“富氏余弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s cosine series)。
n
[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx,sin nx},n,m=1,2,.....
设f(x)在(-π,π)间节可积，则其正交系数为：
π 1
∫ f(x)dx
-π 2 1 π
a = = ∫ f(x)dx
n π 1 2 π -π
∫ ( ) dx
-π 2
π
∫ f(x)cosnxdx
-π 1 π
a = = ∫ f(x)cos nxdx,
n π 2 π 0
∫ cos nxdx
-π
π
∫ f(x)sinnxdx
-π 1 π
b = = ∫ f(x)sin nxdx,
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
-π
其正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a cos kx+b sin kx)
2 n=1 k k
名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fourier`s series),a , a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数”
0 n
(Cosine coefficient)，b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。
n
合称富氏级数之系数a ,a ,b 为f(x)之“富氏系数”
0 n n
(Fourier coefficients of Fourier`s cosine series)。名其相当正交函数级数为f(x)之“富氏余弦级数”(Fourier`s cosine series)。
自富氏系数定义知设f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，则f(x)之富氏级数之正弦系数均为零，其余弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏余弦级数系数。设f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则f(x)之富氏级数之余弦系数均为零，其正弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数系数。
例如:
2,0<x<π
f(x)={
0,-π<x<0
作
1,0<x<π
g(x)=f(x)-1={
-1,-π<x<0
g(x)为奇函数，其富氏级数即g(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数：
4 ∞ sin(2k+1)x
f(x)∽ + ∑
π k=1 2k+1
故f(x)之富氏级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
f(x)∽1+ ∑
π k=1 2k+1
[例4]给定在(-1,1)间节之正交函数集{P (x)},n=0,1,2,......,
n
设f(x)在(-1,1)间节可积，则其正交系数为：
1
∫ f(x)P (x)dx
-1 n
a =
n 1 2
∫ P (x)dx
-1 n
名为“勒氏系数”(Legendre conefficients)。其正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a P (x)
n=1 k k
名为f(x)之：勒氏级数(Legendre`s series)
9-1勒氏多项式，即勒让德多项式
兹求勒(Legendre)氏微分方程：
2
(1-x )y``-2xy`+n(n+1)y=0
之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解：
∞ k
y= ∑ a x
k=0 k
则可逐项微分一次及二次，依次得：
∞ k-1
y`= ∑ ka x
k=1 k
及
∞ k-2
y``= ∑ k(k-1)a x
k=2 k
代入勒氏微分方程即得
2 2 ∞
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x
0 1 2 1 2 k=1 k
∞ k ∞ k-1
+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0
k=2 k k=1 k
2
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)
0 1 2 1 2
∞ 2 k-2 k-i k
+ ∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0
k=2 k k k
∞ k
[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0
2 0 3 1 k=2 k+2 k
故必有
n(n+1)
a =- a
2 2 0
n(n+1) -2
a =- a
3 3*2 0
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,...
k+2 (k+2)(k+1) 2
亦即
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,... (1)
k+2 (k+2)(k+1) 2
此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,......a ......均为a 及此循环公式所定，
k 0 2 4 2k 0
并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,...a ...均为a 及此循环公式所定，
0 1 2 3 2k+1 1
并均为a 之常数倍数，写y作：
1
∞ 2k ∞ 2k+1
y= ∑ a x + ∑ a x
k=0 2k k=0 2k+1
设n非零及正整数，a 及a 为两个随意常数，则上式表示二无穷级数（非多项式）。
0 1
因
│a │ │n(n+1)-k(k+1)│
k-2
Lim = Lim =1
k→∞ │a │ k→∞ (k+2)(k+1)
k
故上式两个幂级数之收敛半径均为1，其和y之收敛半径亦为1.
因此幂级数解已含a 及a 两个随意常数，故此即勒氏方程之全解。
0 1
设n=2m,m=0,1,2,.......,使a =0，则a =0,k=0,1,2,....., 使a ≠0,
0 2k 0
则a ,a ,......,a 均不等于零，而a ,a ,......,均等于零，故得一多项式解：
2 4 2m 2m+2 2m+4
m 2k
y (x)=α ∑ a x
2m 0 k=0 2k
定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)
0 2m 2m
设n=2m+1,m=0,1,2,.......,使a =0，则a =0,k=0,1,2,.....
0 2k
使a ≠0,则a ,a ,......,a 均不等于零，
1 3 5 2m+1
而a ,a ,......,均等于零，故得一多项式解：
2m+3 2m+5
m 2k+1
y (x)=α ∑ a x
2m+1 1 k=0 2k+1
定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)
1 2m+1 2m+1
名P (x),n=0,1,2,......,为n次“勒氏多项式”(Legendre polynomials)。
n
例如：
P (x)=1
0
P (x)=x
1
3 3 1
P (x)= x -
2 2 2
5 3 3
P (x)= x - x
3 2 2
7*5 4 5*3 2 3*1
P (x)= x -2 x +
4 4*2 4*2 4*2
9*7 5 7*5 3 5*3
P (x)= x -2 x + x
5 4*2 4*2 4*2
9-2.勒氏多项式之特性
设P点之极坐标为(r,θ)，Q点之极坐标为(1,0)，
P
π
ρ
θ
O 1 Q
PQ之长为ρ，则
2 2
ρ =1-2rx+r =1+y，
1 1 1 1*3 2
= =1- y+ y -……
ρ 2 2*4
1+y
2
令1/ρ之y幂级数之收敛半径为1，y之r幂级数y=-2xr+r 无常数项，
2
准定理4-16知以y=-2xr+r 代入1/ρ之y幂级数后必得一收敛r幂级数。
1 ∞
= ∑ f(x)r
ρ n=0
兹讨论f (x)之特性
n
1.设x=1,则
2 2
ρ =(1-r) ,
1 1 ∞ n ∞ n
= = ∑ r = ∑ f (1)r
ρ 1-r n=0 n=0 n
故有：
f (1)=1,n=0,1,2,...... (1)
n
2.设x=-1,则
2 2
ρ =(1-r) ,
1 1 ∞ n n ∞ n
= = ∑ (-1) r = ∑ f (-1)r
ρ 1-r n=0 n=0 n
故有：
n
f (-1)=(-1) ,n=0,1,2,...... (2)
n
2 2
3.设x=0,则ρ =1+r
1 1 k 1*3*5……(2k-1) 2k ∞ n
= =∑(-1) r = ∑ f (0)r
ρ 2*4*6……(2k) n=0
1+y
故有：
0,设n为单正整数
f (0)={ n/2 1*3*5......(n-1)
n (-1) ,设n为双正整数
2*4*6......n
9-7.白氏函数，即贝塞尔函数
试求“白氏微分方程：(Bessel`s differential equation):
2 2 2
x y``+xy`+(x -n )y=0
之幂级数解，设有一收敛幂级数解：
∞ m+k
y= ∑ (m+k)a x
k=0 k
则,
∞ m+k-1
y`= ∑ (m+k)a x
k=0 k
∞ x+k-2
y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x
k=0 k
代入白氏微分方程，即得
2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k
(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0
0 1 k=2 k k-2
故必有
2 2
(m -n )a =0
0
2 2
[(m+1) -n ]a =0
1
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
2 2
(m+k) -n
兹令m=n，则第一次并不限制a ,因
0
2 2 2 2
(m+1) -n =(n+1) -n ≠0
故第二式限制a =0，因
1
2 2 2 2
(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)
故第三式为：
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
k k(k+2n)
因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,......,给定a ≠0并给定n非负整数，
1 2k+2 0
则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,......,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故
0 2k 2k 0
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
因,
│a │
k 1
Lim = Lim =0
k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│
k-2
此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。
设n非负整数，令
1
a =
0 n
2 Γ(n+1)
准循环公式
a
2(k-1)
a =
2k 2
2 k(k+n)
即得
1 1 1
a = =-
2 2 n n+2
2 (1+n) 2 Γ(n+1) 2 Γ(n+2)
1 1 1
a = =
4 2 n+2 n+4
2 2(2+n) 2 Γ(n+2) 2 2!Γ(n+3)
k
(-1)
a =
2k n+2k
2 k!Γ(n+k+1)
注：Γ(n+1)表示(n+1)!，Γ(n+2)表示(n+2)!，Γ(n+k+1)表示(n+k+1)!
名此解为“n级白氏函数”(Bessel`s function of order n),以J (x)表之，则
n
k
x n ∞ (-1) x 2k
J (x)=( ) ∑ ( )
n 2 k=0 k!Γ(n+k+1) 2
设m=0,1,2,.......,则Γ(m+k+1)=(m+k)!
k
x m ∞ (-1) x 2k
J (x)=( ) ∑ ( )
m 2 k=0 k!(m+k)! 2
例如：
2 4 6
x x x
J (x)=1- + - +……
m 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 4 6
定理9-4.设已知y (x)≠0为
0
y``+a (x)y`+a (x)y=0
1 0
之一解，则其全解为：
x
-∫ a dx
x e 1
y=c y +c y ∫ dx
1 0 2 0 2
y
0
[证]令y=y v
0
则, y`=y` v+y v`
0 0
y``=y`` v+2y v`+y v``
0 0 0
故,
y``+a y`+a y=(y`` +a y` +a y )v+(a y +2y` )v`+y v``
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
因y 为此微分方程之解，故v之系数为零。
0
y=y v为此微分方程之解之必要及充分条件为v满足：
0
y v``+(a y +2y` )v`=0
0 1 0 0
即,
y`
v`` 0
+a +2 =0
v` 1 y
0
即,
d 2
[logv`+logy ]+a =0
dx 0 1
故
x
-∫ a dx
e 1
v`=c
2 2
y
0
-∫ a dx
x e 1
y=c +c ∫
1 0 2
y
0
x
-∫ a dx
x e 1
y=c y +c y ∫ dx
1 0 2 0 2
y
0
[例]今已知y =J (x)为白氏微分方程：
0 m
2
1 m
y``+ y`+(1- )y=0
x 2
之一解，故白氏微分方程之全解为：
x dx
y=c J (x)+c J (x) ∫
1 m 2 m 2
xJ (x)
m
在x=0之邻区，设m=1,2,.....,则J (x)趋近于
m
m
x
m
2 m!
故
x dx
J ∫
m 2
xJ
m
趋近于
m m
m m x dx 2 m! -m
2 m!x ∫ = x
2m+1
x -2m
此解在x=0时趋向无穷大。设m=0,则J (x)在x=0趋近于1，
0
x dx
J ∫
m 2
xJ
m
在x=0趋近于logx，故亦趋向无穷大。
故设m=0,1,2,......,则白氏微分方程之解在x=0不趋向无穷大仅有c J (x)
1 m
兹求白氏函数之母函数。设
x 1
(t- )
2 t
x(x,t)=e
则,
ǝz 1 1
x = (t- )xz
ǝx 2 t
ǝz 1 1
-t = (t+ )xz
ǝx 2 t
2
2 ǝ z 1 1 2
x = (t- ) x z
2 4 t 2
ǝx
2 2
2 ǝ z 1 1 2 1
-t = (t+ ) x z+ xz
2 4 t 2 t
ǝt
2 2
x z=x z
相加即得此函数满足之偏微分方程：
2 2
2 ǝ z ǝz 2 ǝ z ǝz
x +x +x z-t -t =0
2 2
ǝx ǝx ǝt ǝx
兹展开z(x，t)为t之幂级数：
∞ m
z(x,t)= ∑ f (x)t
m=-∞ m
第二部分傅里叶级数数字计算机AD采样电路
下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版。
例2.设函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为
-1,-π≤x<0
f(x)=
1,0≤π<x
试将函数f(x)展开成傅里叶级数.
解，函数f(x)的图形如图12-3所示，这是一个矩形波，它的傅里叶级数是
4 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 2n-1
4 1 1 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 5 7 2n-1
用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线电矩形波。
用数字电路乘法器，除法器，加法器，减法器像上面等式一样把变换的数字x，数字3，5，7连接成电路。就会形成一个计算f(x)的电路。
被物体发射后，用端口02接收反射的信号z，就会重新形成一个自变量为t的傅里叶级数z
z=a+b+c+d，
4
a= sint
π
4 1
b= sin3t
π 3
4 1
c= sin5t
π 5
4 1
d= sin7t
π 7
4 1 1 1 1
z= [sint+ sin3t+ sin5t+ sin7t+...+ sin(2n-1)t+...]
π 3 5 7 2n-1
根据泰勒展开，得
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
sin x=x- + -...+(-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
3 5 7
x x x
sin x=x- + -
3! 5! 7!
所以,
3 5 7
4 t t t
a= (t- + + )
π 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 27t 243t 2187t
b= (3t- + - )
π 3 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 125t 3125t 78125t
c= (5t- + - )
π 5 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 343t 16807t 823543t
d= (7t- + - )
π 7 3! 5! 7!
所以,
z=a+b+c+d
3 5 7
4 t t t
= (t- + + )
π 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 27t 243t 2187t
+ (3t- + - )
π 3 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 125t 3125t 78125t
+ (5t- + - )
π 5 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 343t 16807t 823543t
+ (7t- + - )
π 7 3! 5! 7!
可以利用一元多次方程求根公式计算上面关于t的方程的解，
简化上式得到关于t的一元三次方程时，并求解
3
4 t
z≈ (t- )
π 3!
3
4 1 27t
+ (3t- )
π 3 3!
3
4 1 125t
+ (5t- )
π 5 3!
3
4 1 343t
+ (7t- )
π 7 3!
3
π t
z≈ (t- )
4 3!
3
1 27t
+ (3t- )
3 3!
3
1 125t
+ (5t- )
5 3!
3
1 343t
+ (7t- )
7 3!
3
π 496t
z≈3t-
4 3!
3
496t π
-3t- z=0
3! 4
3
248t π
-3t- z=0
3 4
3 9t 3πz
t - - =0
248 992
解上面关于t的一元三次方程,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,
2
f(u)=u -x0u-p/3,
它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,
α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5)
以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：
3
(α+β) +p(α+β)+q=0,
或,
3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,
但由(5)得3αβ+p，故有,
3 3
α +β =-q (6)
另一方面，由(5)推得,
3 3 3
α β =-p /27 (7)
3 3
等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,
3
2 p
z +qz- =0 (8)
27
的根,
解方程(8)，我们得到：
2 3
q q p
z =- ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.
即,
3
2 3
q q p
β= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± + (9)
2 4 27
或,
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x0=α+β= + + + - - +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根
解方程
3 9t 3πz
t - - =0
248 992
9 3πz
p=- q=-
248 992
方程的解为：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
t= + + + - - +
2 4 27 2 4 27
3 3
2 2 2 2
3πz 9π z 729 3πz 9π z 729
t= + + + - - +
1984 3968 27 1984 3968 27
利用上面的函数采集方波信号，如果计算得到的t是程线性变化的则证明方波是标准方波，反之，则说明采集得到的方波不是标准方波。把这个t和上面的x相互比较，如果两者相等，则证明发射的信号就是接收的信号，
x的函数为
4 1 1 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 5 7 2n-1
计算机采集得到的信号为z，t为自变量，从上面的推导得到下面的方程
3 9t 3πz
t - - =0
248 992
9 3πz
p=- q=-
248 992
解方程，得
3 3
2 2 2 2
3πz 9π z 729 3πz 9π z 729
t= + + + - - +
1984 3968 27 1984 3968 27
用数字电路表示上式
方波的傅里叶级数是
4 1
f(x)= [sinx+ sin3x]
π 3
4 1 1 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 5 7 2n-1
用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线电矩形波。
用数字电路表示上式
当x与w相等时，或门输出1与门输出1，采集信号状态寄存器CJXH1存储1, 将采集得到的信号t和线性信号源w相互比较，如果相等则证明信号t是线性信号, 同时说明采集得到的是标准方波
当x与t相等时，或门输出1与门输出1，采集信号状态寄存器CJXH2存储1, 将采集得到的信号t和x相互比较，如果相等则证明信号没有损失。
下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版。
例3，设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为
-π,-π≤x＜0
f(x)={
x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解，上面函数的傅里叶级数如下
4 2 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)
π π 2 2
3 5
1 1 1
+(3sinx- sin2x+ sin3x- sin4x+...)
2 3 4
(-∞<x<+∞,x≠kx,k=0,±1,±2,...)
当x=2kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛与-π/2。当x=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0，图12-7给出了它的和函数的图形。
4 2 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)
π π 2 2
3 5
用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线杂波。用数字电路表示上式
例4、设周期系数f(x)在其一个周期上的表达式
π+x,-π≤x＜0
f(x)={
π-x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解、函数f(x)的图形如图1·2-8所示，
上面函数的傅里叶级数是
π 4 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...) (-∞<x<+∞)
2 π 2 2
3 5
用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个三角波。用数字电路表示上式 例2.试将图12-9中周期性锯齿波展开成傅里叶级数
解：显然首先应当给出这个锯齿波的解析表达式。根据解析几何的知识，我们不难得出周期函数φ(t)在一个周期内的表达式
2At
φ(t)=
T
由于φ(t)在(-T/2,T/2)内是奇函数，因此只需用式(12.8.3)来计算b
4 T/2 2nπ 4 T/2 2A 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt= ∫ tsin tdt
n T 0 T T 0 T T
4A 2nπ T/2 4A T/2 2nπ
= [-tcos t] + ∫ cos tdt
nπT T 0 nπT 0 T
2A n+1
= (-1) (n=1,2,3...)
nπ
所以，所求的展开式为
2A 2π 1 4π 1 6π
φ(t)= (sin t- sin -t+ sin t-...)
π T 2 T 3 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)
当t=(2k+1T/2,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0.
在科技问题中，人们常将傅里叶级数用频率ω表示。这只需将ω=2π/T换入，于是上式可改写成
2A 1 1
φ(t)= (sinωt- sin2ωt+ sin3ωt-...),(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)π/ω，k=0,±1,±2,...)
π 2 3
上面锯齿波函数的傅里叶级数为
2A 2π 1 4π 1 6π
φ(t)= (sin t- sin -t+ sin t-...)
π T 2 T 3 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)
第三部分傅里叶级数
下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版
第七节傅里叶(Fourier)级数
在物理学及电工学等学科中经常会用到函数项级数
∞
a + ∑ (a cos nx+b sin nx)
0 n=1 n n
例1设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数，电源电动E=E(t)(图12-2)。
例1设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数，电源电动势E=D(t)(图12-2)。设电路中的电流为i(t)，电容两极板上的电压为u ，那么根据
c
回路定律，就得到一个二阶线性常系数非齐次微分方程
2
d u du 2
+2β c +ω u =f(t)
2 0 c
dt dt
其中
R 1 E(t)
β= ,ω = ,f(t)=
2L 0 LC LC
这就是串联电路的振荡方程。如果电源电动势E(t)非正弦变化，也就是说f(x)不是正弦函数，那么求解这个非齐次微分方程就变得十分复杂。在电学中解决这类问题的方法，是将自由项近似的表示成许多不同周期的正弦型函数的迭加，即
n
f(t)= ∑ A sin(kωt+φ )
k=0 k k
这样，串联电路的振荡方程的解u (t),
c
就化成了n+1自由项为正弦型函数的方程解uc (t)的迭加，
k
于是可求原方程解u (t)的近似解当n→∞，就得精确解：
c
n
u (t)= ∑ u (t)
c k=0 c
k
这种方法称为谐波分析法，它是将一个非正弦型的信号，分解成一系列不同频率的正弦信号的迭加，即
n n
f(t)= ∑ A sin(kωt+φ )= A + ∑ A sin(kωt+φ ) (12.7.1)
n=0 k k 0 n=1 n n
(设φ =π/2)其中，A 称为直流分量，A sin(ωt+φ )称为一次谐波（基波），
0 0 1 1
A sin(2ωt+φ )称为二次谐波，以下依次为三次谐波，四次谐波等等。
1 1
一个非正弦型的函数f(t)，为何可以展开成(12.7.1)式？原因之一是三角函数系具有正交性，由1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cos nx,sin nx,... 组成的函数序列叫做三角函数系，三角函数系的正交性是指：
如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，在区间[-π,π]上做定积分，其值都为零。这实际上只需证明以下五个等式成立：
π π
∫ cos nxdx=0; ∫ sin nxdx=0;
-π -π
π
∫ cos mxcos nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,m≠n)
-π
π
∫ sin mxsin nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,m≠n)
-π
π
∫ sin mxcos nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,)
-π
任何一个熟悉定积分的读者都很容易推得以上结果，这里就不证明了。
二、傅里叶级数
改写(12.7.1)式
n
A + ∑ A sin(kωt+φ )
0 n=1 n n
n
=A + ∑ (A sinφ cosnωt+A cosφ sinnωt)
0 n=1 n n n n
A
0 n
= + ∑ (a cosnt+b sinnt) (12.7.2)
2 n=1 n n
其中,
a =2A ,a =A sinφ ,b =A cosφ ,x=ωt
0 0 n n n n n n
与幂级数的讨论相类似，这里我们也要研究三个问题：
一是函数f(x)满足什么条件时方能展开(12.7.2)式？
二是若f(x)能展开(12.7.2)式，那么系数a 、a 、b 怎么求？
0 n n
三是展开后级数在那些点上收敛于f(x).
为了求得系数a ，a ，b 的计算公式，我们先假定
0 n n
a
0 n
f(x) = + ∑ (a cosnx+b sinnx) (12.7.3)
2 n=1 n n
且可逐项积分，于是有
a
π π 0 ∞ π π
∫ f(x)dx= ∫ dx+ ∑ [∫ a cosnxdx+ ∫ b sinnxdx]
-π -π 2 n=1 -π n -π n
因为a ,a ,b (n=1,2,3,...)均为常数，注意到三角函数系的正交性，即有
0 n n
a
π π 0
∫ f(x)dx= ∫ dx=πa
-π -π 2 0
所以,
1 π
a = ∫ f(x)dx
0 π -π
为了求出系数a ，我们用coskx乘级数（12.7.3），然后在逐项积分
n
a
π π 0 ∞ π π
∫ f(x)coskxdx= ∫ coskxdx+ ∑ [∫ a coskxcosnxdx+ ∫ b coskxsinnxdx]
-π -π 2 n=1 -π n -π n
由三角函数系的正交性可知，等式右端各项中，只有当k=n时，
π π 2 π 1+cosnx
∫ a coskxcosnxdx= ∫ a cos nxdx =a ∫ dx=a π
-π n -π n n -π n n
而其余各项均为零，因此
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
用类似的方法，可得到
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
注意到在求系数a 的公式中，令n=0就得到a 的表达式，
n 0
因此求系数a 、b 的公式可以归并为
n n
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
{ (12.7.4)
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
a 、b 称为傅里叶系数，由傅里叶系数组成的(12.7.2)式称为傅里叶级数。
n n
关于函数展开成傅里叶级数的条件及其收敛性问题，我们不加证明的给出如下定理：
收敛定理（狄利克雷（Dirichlet)充分条件）
设函数f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足条件：
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且
（1）当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；
（2）当x是f(x)的间断点时，级数收敛于
f(x-0)+f(x+0)
2
其中f(x-0)表示f(x)在x处的左极限，f(x+0)表示f(x)在x处的右极限。这个收敛定理说明，以2π为周期的函数f(x)，只要是在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，即可以把一个周期分为有限多个单调区间，那么按式（12.7.4）计算出傅里叶系数，得到傅里叶级数，在f(x)的连续点处收敛于函数f(x)。定理中所要求的条件，一般的初等函数与分段函数都能满足，这就保证了傅里叶级数广泛的应用性。
例2.设函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为
-1,-π≤x<0
f(x)=
1,0≤π<x
试将函数f(x)展开成傅里叶级数
解，函数f(x)的图形如图12-3所示，这是一个矩形波，它显然满足收敛定理的条件，由式（12.7.4）
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx
0 π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)cosnxdx+ ∫ cosnxdx
π -π π 0
1 1 0 1 1 π
= [ sin nx] + [ sin nx]
π n -π π n 0
=0 (n=1,2,3,...)
因为在计算a 中n≠0，所以a 需另计算：
n 0
1 π
a = ∫ f(x)dx
0 π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)dx+ ∫ dx
π -π π 0
又
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx
n π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)sinnxdx+ ∫ sinnxdx
π -π π 0
1 1 0 1 1 π
= [ cos nx] + [ cos nx]
π n -π π n 0
1 n
= [1-(-1) ]
nπ
4
,n=1,3,5,...
nπ
={
0,n=2,4,6,...
根据收敛定理可知，当x≠kπ(k=0,±1,±2,...)时，傅里叶级数收敛于f(x)，即
2A 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 2n-1
当x=kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于
f(x-0)+f(x+0) =0
2
所求傅里叶级数和函数的图形如图12-4所示。细心的读者会发现这个图形在x=kπ(k=0,±1,±2,...)各点处与图12-3不同。如果将f(x)看成是矩形波，那么傅里叶级数表明，它可以用无穷多奇次谐波的去替代。在实际计算中，我们只可能取有限多个奇次谐波迭加。图12-5给出了当n=1,2,3,4时，傅里叶级数部分和逼近和函数f(x)的情况。
例3，设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为
-π,-π≤x＜0
f(x)={
x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解，因为f(x)满足收敛定理的条件（其图形见图12-6），计算傅里叶系数
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx
n π -π
1 0 1 π
= ∫ (-π)cosnxdx+ ∫ xcosnxdx
π -π π 0
1 0 1 π 1
=- [sin nx] + [ xsin nx] - ∫sin nxdx
n -π nπ 0 nπ
1 n
= [(-1) -1]
2
n π
-2
,n=1,3,5,...
2
n π
={
0,n=2,4,6,...
1 π
a = ∫ f(x)dx
0 π -π
1 0 1 π
= ∫ (-π)dx+ ∫ xdx
π -π π 0
π
=-
2
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx
n π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)sinnxdx+ ∫ sinnxdx
π -π π 0
1 0 1 1 π 1
= [ cos nx] - [xcos nx] + ∫cos nxdx
n -π nπ n 0 nπ
1 n
= [1-2(-1) ]
n
3
,n=1,3,5,...
n
={
-1
,n=2,4,6,...
n
因此所求的傅里叶级数在连续点处收敛于f(x)，即
4 2 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)
π π 2 2
3 5
1 3 1
+(3sinx- sin2x+ sin3x- sin4x+...)
2 3 4
(-∞<x<+∞,x≠kx,k=0,±1,±2,...)
当x=2kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛与-π/2。当x=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0，图12-7给出了它的和函数的图形。
三、奇函数与偶函数的傅里叶级数
从例2和例3可以看出，一个函数展开成傅里叶级数的结果，可能既含有余弦项又含有正弦项（如例3），也可能仅含有正弦函数，
即系数a =0(n=0,1,2,...)(如例3)。我们还可以举出只含有余弦函数，
n
即系数b =0(n=1,2,3,...)的例子。展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为正弦级数，
n
只含有余弦函数或常数项的称为余弦级数。
∞
f(x)= ∑ b sin nx
n=1 n
此时傅氏系数
a =0(n0,1,2,...)
n
2 π
b = ∫ f(x)sin nxdx (n=1,2,3,...) (12.7.5)
n π 0
这是因为
1 π
a = ∫ f(x)cos nxdx
n π -π
中cosnx是偶函数，于是在区间(-π,π)内f(x)cosnx为奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为零（见（5.3.4）式），所以
1 π
a = ∫ f(x)cos nxdx (n=0,1,2,3,...)
n π -π
又因f(x)sin nx在区间(-π,π)内是偶函数，故有
2 π
b = ∫ f(x)sin nxdx (n=1,2,3,...)
n π 0
同理可以推出，当函数f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，即
a
0 ∞
f(x)= + ∑ a cos nx
2 n=1 n
此时傅里叶级数为
2 π
a = ∫ f(x)cos nxdx (n=0,1,2,3,...)
n π 0
b =0 (n=1,2,3,...)
n
根据以上结果，在展开函数f(x)成傅里叶级数时，应当首先判断一下f(x)在(-π,π)内的奇偶性，据此选择相应的公式计算傅里叶系数，使计算尽量简化。
例4、设周期系数f(x)在其一个周期上的表达式
π+x,-π≤x＜0
f(x)={
π-x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解、函数f(x)的图形如图1·2-8所示，
由图形的对称性可知f(x)是偶函数，因此我们应根据(12.7.6)式计算傅里叶系数。
2 π
a = ∫ f(x)cos nxdx
n π 0
2 π
= ∫ (π-x)cosnxdx
π 0
2 π-x π 2 π
= [ sinnx] + ∫ sinnxdx
π nπ 0 nπ 0
1 n
= [1-(-1) ]
2
n π
4
,n=1,3,5,...
2
n π
={
0,n=2,4,6,...
2 π
a = ∫ f(x)dx
0 π 0
2 π
= ∫ (π-x)dx=x
π 0
b =0 (n=1,2,3,...)
0
又因为f(x)处处连续，故所求的傅里叶级数收敛于f(x)，即
π 4 1 1
f(x)= + (cosx+ cos3x+ cos5x+...) (-∞<x<+∞)
2 π 2 2
3 5
习题12-7
79.证明三角函数系：
1、cosωx、sinωx、cos2ωr、sin2ωr、...cosωr、sinωx，...，在[-T/2,T/2]上具有正交性，其中T=2π/ω.
将80-87题中周期为2π的周期函数f(x)展开成傅里叶级数，其中f(x)在[-π,π]上的表达式为：
80.f(x)=x
解：
n+1
∞ (-1)
x=2 ∑ sin nx (-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π,k=0,±1,±2,...)
n=1 n
π,-π≤x＜0
81.f(x)={
x,0≤x＜π
解：
3π 2 ∞ cos(2n-1)x ∞ 1
f(x)= - ∑ - ∑ sinnx
4 π n=1 2 n=1 n
(2n-1)
(-∞<x<+∞,x≠kπ,k=0,±1,±2,...)
2
82.f(x)=3x +1
解：
n
2 2 ∞ (-1) cosnx
3x +1=π +1+12 ∑ (-∞<x<+∞)
n=1 2
n
x
83.f(x)=2sin
3
解：
n
x 18√3 ∞ (-1) n
2sin = ∑ sinnx
3 π n=1 n
(-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π,k=0,±1,±2,...)
85.f(x)=│x│
解：
π 4 ∞ cos(2n+1)x
│x│= - ∑ (-∞<x<+∞)
2 π n=1 2
(2n-1)
ax,-π≤x＜0
86.f(x)={ (a,b为不等于零的常数，且a≠b)
bx,0≤x＜π
解：
n+1
π 2(b-a) ∞ cos(2n+1)x (-1)
f(x)= (b-a)- ∑ +(b+a) ∑ *sin nx
4 π n=1 2 n
(2n-1)
(-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π,k=0,±1,±2,...)
0,-π≤x<-π/2
87.f(x)={ 1,-π/2≤x<π/2
0,π/2≤x<π
解：
1 2 ∞ 1 nπ
f(x)= + ∑ sin cosnx
2 π n=1 n 2
(-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π/2,k=0,±1,±2,...)
第八节、周期为T的周期函数的展开
上一节着重研究了将以2π为周期的周期函数展开成傅里叶级数的方法，它有比较普遍的应用价值，下面我们介绍以T(T为任意非零正常数)为周期的周期函数φ(t)，在区间[-T/2,T/2)上展开成傅里叶级数问题。为了能按第七节的方法把它展成傅里叶级数，显然首先应当将φ(t)变换成以2π为周期，区间[-T/2,T/2)变换成[-π,π)，为此我们作变量代换，令x=2πt/T,即t=Tx/2π，于是φ(t)=φ(Tx/2π)=f(x), 这时，函数f(x)就是以2π为周期的周期函数，假设在区间[-π,π]上满足收敛定理的条件。因此可以将它展成傅里叶级数，并且在连续点上有：
a
0 n
f(x)= + ∑ (a cosnt+b sinnt)
2 n=1 n n
其中傅里叶系数
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx (n=0,1,2,...)
n π -π
{
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)
n π -π
将变量x再换回成变量t，就得到周期为T的周期函数的傅里叶级数，并且在连续点上有
a
0 n 2nπt 2nπt
f(x)= + ∑ (a cos +b sin ) ,(12.8.1)
2 n=1 n T n T
其中傅里叶系数为
2 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt (n=0,1,2,...)
n T -T/2 T
{ (12.8.2)
1 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt (n=1,2,3,...)
n π -T/2 T
在连续点处收敛于φ(t)，在间断点处收敛于
φ(t-0)+φ(t+0)
2
如果以T为周期的周期函数φ(t)，在(-T/2,T/2)内是奇函数，那么其傅里叶级数一定是正弦级数，且在连续点处有
n 2nπt
φ(t)= ∑ b sin
n=1 n T
这时
a =0 (n=0,1,2,...,)
n
{ (12.8.3)
4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt (n=1,2,3,...)
n T 0 T
同样，以T为周期的周期函数φ(t)，在(-T/2,T/2)内是偶函数，那么它的展开式必然是余弦级数，且在连续点处有
a
0 n 2nπt
φ(t)= + ∑ a cos
2 n=1 n T
这时
4 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt (n=1,2,3,...)
n T 0 T
{ (12.8.4)
b =0 (n=0,1,2,...,)
n
例1，若函数φ(t)以2为周期，在区间[-1,1)上的表达式为
1，-1≤t<0
φ(t)={
2，0≤t<1
试将其展开成傅里叶级数
解、因为函数φ(t)满足收敛定理条件，且注意到T=2，故可由式(12.8.2)得
2 1 0 1
a = ∫ φ(t)cosnπtdt=∫ cosnπtdt+∫ 2cosnπtdt
n 2 -1 -1 0
1 0 2 1
= [sinnπt] + [sinnπt]
nπ -1 nπ 0
=0 (n=1,2,3,...,)
2 1 0 1
a = ∫ φ(t) dt=∫ dt+∫ 2dt=3
0 2 -1 -1 0
2 1 0 1
b = ∫ φ(t)sinnπtdt=∫ sinnπtdt+∫ 2sinnπtdt
n 2 -1 -1 0
1 0 2 1
=- [cosnπt] - [cosnπt]
nπ -1 nπ 0
2
,n=1,3,5,...
1 n nπ
=- [1-(-1) ]={
nπ 0,n=2,4,6,...
因此函数φ(t)的展开式为
3 2 1 1
φ(t)= + (sinπt+ sin3πt+ sin5πt+...)
2 π 3 5
(-∞<t<+∞,t≠k，k=0,±1,±2,...)
例2.试将图12-9中周期性锯齿波展开成傅里叶级数
解：显然首先应当给出这个锯齿波的解析表达式。根据解析几何的知识，我们不难得出周期函数φ(t)在一个周期内的表达式
2At
φ(t)=
T
由于φ(t)在(-T/2,T/2)内是奇函数，因此只需用式(12.8.3)来计算b
n
4 T/2 2nπ 4 T/2 2A 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt= ∫ tsin tdt
n T 0 T T 0 T T
4T 2nπ T/2 4A T/2 2nπ
= [-tcos t] + ∫ cos tdt
nπT T 0 nπT 0 T
2A n+1
= (-1) (n=1,2,3...)
nπ
所以，所求的展开式为
2A 2π 1 4π 1 6π
φ(t)= (sin t- sin t+ sin t-...)
π T 2 T 3 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)
当t=(2k+1T/2,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0. 在科技问题中，人们常将傅里叶级数用频率ω表示。这只需将ω=2π/T换入，于是上式可改写成
2A 1 1
φ(t)= (sinωt- sin2ωt+ sin3ωt-...)
π 2 3
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)π/ω，k=0,±1,±2,...)
例3.若矩形波以T为周期，且在[-T/2,T/2)上表达式为
0,-T/2≤t<-T/4
φ(t)={ A,-T/4≤t<T/4
0,T/4≤t<T/2
试写出前五次谐波
解：这个函数的图形如图12-10所示，φ(t)是偶函数，
所以应利用(12.8.4)式计算傅里叶系数。
4 T/2 2nπ 4 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt= ∫ Acos tdt
n T 0 T T 0 T
2A 2nπ T/4
= [sin ]
nπ T 0
2A nπ
= sin (n=1,2,3,...)
nπ 2
4 T/2 4 T/4
a = ∫ φ(t) dt= ∫ Adt=A
0 T 0 T 0
因此，所求的傅里叶级数为：
A 2A 2πt 1 6πt 1 10πt
φ(t)= + (cos - cos + cos - ……)
2 π T 3 T 5 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k-1)T/4，k=0,±1,±2,...)
当t=(2k-t)T/4，(k=0,±1,±2,...)时，该级数收敛于A/2. 令ω=2π/T，利用三角函数公式，则可将φ(t)的傅里叶级数改成谐波的形式。
A 2A π 2A 3π 2A 5π
φ(t)= + sin(ωt+ )+ sin(3ωt+ ) + sin(5ωt+ )+…
2 π 2 3π 2 5π 2
如果取五次谐波则有
A 2A π 2A 3π 2A 5π
φ(t)≈ + sin(ωt+ )+ sin(3ωt+ ) + sin(5ωt+ )
2 π 2 3π 2 5π 2
若令ωt=0，即t=0，则
A 2A 2A 2A
φ(t)≈ + - +
2 π 3π 5π
这是一个满足莱布尼兹审敛法条件的交错级数的前四项和，显然它的误差
2A
│r │< ≈0.09A
4 7π
实际上，由已知的φ(t)表达式知φ(0)=A，因此可以计算出，当取五次谐波时φ(0)≈1.05A，实际误差为0.05A，若想要减小误差，提高精度，就再多取几次谐波。
习题12-8
已知第88-93题中各周期函数在一个周期内的表达式，试将它们展开成傅里叶级数。
2
88.φ(t)=1-t ,(-1/2≤t<1/2)
解：
n+1
2 11 1 ∞ (-1)
1-t = + ∑ cos2nπt
12 2 n=1 2
π n
(-∞<t<+∞,)
t+T/4,-T/2≤t<-T/4
89.φ(t)={ 0,-T/4≤t<T/4
t-T/4,T/4≤t<T/2
解：
n+1 nπ
nπ(-1) -2sin
T ∞ 2 2nπt
φ(t)= ∑ sin
2 n=1 2 T
2π n
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2,k=0,±1,±2,...)
2,-2≤t<0
90.φ(t)={
2-t,0≤t<2
解： n
3 4 ∞ 1 (2n-1)πt 2 ∞ (-1) nπt
φ(t)= + ∑ cos + ∑ sin
2 2 n=1 2 2 π n=1 n 2
π (2n-1)
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)2,k=0,±1,±2,...)
91.φ(t)=t+│t│,(-T/2≤t<T/2)
解： n+1
T 2T ∞ 1 2(2n-1)πt T ∞ (-1) 2πxt
t+│t│= - ∑ cos + ∑ +sin
4 2 n=1 2 T π n=1 n T
π (2n-1)
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)2,k=0,±1,±2,...)
A,-T/2≤t<0
92.φ(t)={
-A,0≤t<T/2
解：
4A ∞ 1 2(2n-1)πt
φ(t)= ∑ sin
π n=1 2n-1 T
(-∞<t<+∞,t≠kT/2,k=0,±1,±2,...)
T/4,-T/2≤t<-T/4
93.φ(t)={ -t,-T/4≤t<0
t,0≤t<T/4
T/4,T/4≤t<T/2
解：
nπ
cos -1
3T T ∞ 2 2nπt
φ(t)= + ∑ cos
16 2 n=1 2 T
π n
(-∞<t<+∞)
94将图12-11所示周期性三角波展开为傅里叶级数。
解：
A 4A ∞ 1 2(2n-1)πt
φ(t)= + ∑ cos
2 2 n=1 2 T
π (2n-1)
(-∞<t<+∞)
95.若锯齿波在一个周期内的函数表达式为
-2At
-A -T/2≤t<0
T
93.φ(t)={
-2At
+A 0≤t<T/2
T
试写出其他前五次谐波。
解：
2A 2πt 2A 4πt 2A 6πt 2A 8πt 2A 10πt
φ(t)≈ sin + sin + sin + sin + sin
π T 2π T 3π T 4π T 5π T
第九节、定义在有限区间上的函数的展开
在有些实际问题中，我们还会遇到定义在有限区间[a,b]上的函数φ(t)展开成傅里叶级数的问题。为了解决这类非周期函数的展开问题，我们根据定义区间[a,b]的不同情况来研究。
一、定义在对称区间[-T/2,T/2]上的情形
假设函数φ(t)仅定义在有限的对称区间[-T/2,T/2]上，而在此区间外无意义。为了能够利用第八节的方法将φ(t)展开成傅里叶级数，我们首先将φ(t)在区间(-∞,+∞)上做周期性延拓，也就是构造一个周期为T的周期函数φ`(t)，使得φ`(t)与函数φ(t)在区间[-T/2,T/2]上有φ(t)=φ`(t), 假设φ`(t)满足收敛定理的条件，那么即可按(12.8.1)式将它展开成傅里叶级数，并在连续点上有
a
0 ∞ 2nπt 2nπt
φ`(t)= + ∑ (a cos +b sin )
2 n=1 n T n T
如果函数φ(t)在区间[-T/2,T/2]上连续，则在此[-T/2,T/2]上就有
a
0 ∞ 2nπt 2nπt
φ(t)=φ*(t)= + ∑ (a cos +b sin ) (12.9.1)
2 n=1 n T n T
在t=±T/2时，收敛于
1
[φ(T/2-0)+φ(-T/2+0)]
2
在对称区间[-T/2,T/2]上的函数φ(t)的傅里叶展开式，其中的傅里叶系数仍用公式
2 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt (n=0,1,2,...,)
n T -T/2 T
(12.9.2)
2 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt (n=1,2,3,...,)
n T -T/2 T
如果函数φ(t)在[-T/2,T/2]内有第一类间断点，在间断点处级数同样收敛于
φ(t-0)+φ(t+0)
2
读者不难看出，定义在对称区间[-T/2,T/2]上的函数φ(t)的展开式的计算，与周期为T的周期函数φ`(t)的展开式的计算完全相同，它们的区别主要在收敛域的确定上，周期函数φ`(t)的收敛域要在整个(-∞,+∞)内考虑，而函数φ(t)仅在有限区间[-T/2,T/2]上来研究。
2
例1.试将定义在[-π，π]上的函数f(x)=x 展开成傅里叶级数。
解.将f(x)在整个数轴上作延拓，如图12-12所示。由于在[-π,π]上f(x)为偶函数，因此
2 π 2 π 2
a = ∫ f(x)cosnxdx= ∫ x cosnxdx=
n π 0 π 0
2 2 π 4 π
= [x sinx] - ∫ xsinxdx
nπ 0 nπ 0
2 2 π 4 π
= [x sinx] - ∫ cosxdx
2 0 2 0
n π n π
2 n
= (-1) (n=1,2,3,...)
2
n
2
2 π 2 π 2 2π
a = ∫ f(x)dx= ∫ x dx=
0 π 0 π 0 3
b =0 (n=1,2,3,...)
0
于是f(x)的展开式(在连续点处)为
2
2 π 1 1
x = -4(cosx- cos2x+ cos3x-...)
3 2 2
2 3
由于f(x)在[-π,π]上连续，经延拓后x=±π为连续点，
2
因此傅里叶级数在收敛域[-π,π]上收敛于x
例2.试求函数φ(t)的傅里叶展开式，设其表达式为
At
+A, -T/2≤x<0
T
φ(t)={
At
-A, 0≤x<T/2
T
其中T与A均为常数。
解.作出φ(t)延拓后的图形，如图12-13所示。当t=(2π+1)T/2时，函数为双值，可以取定其一值使之符合我们的要求，例如取定一值φ(t)为奇函数，但不管取得一值均不影响结果。由于φ(t)是奇函数，因此
a =0 (n=0,1,2,...)
n
4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin -tdt=
n T 0 T
4 T/2 At 2nπ
= ∫ ( -A)sin tdt
T 0 T T
2 At 2nπ T/2 2A T/2 2nπ
= [-( -A)cos ] + ∫ cos tdt
nπ T T 0 nπT 0 T
A n 2A
= (-1) -
nπ nπ
3A
- ,n=1,3,5,...
nπ
={
A
- ,n=2,4,6,...
nπ
又因为函数φ(t)在[-T/2,T/2]内，当t=0时间断，并且φ(-T/2)≠φ(T/2)，即沿拓后t=±T/2为间断点，所以傅里叶展开式为
A 2πt 1 4πt 3 6πt 1 8πt
φ(t)= (3sin + sin + sin + sin +…)
π T 2 T 3 T 4 T
(-T/2<t<0,0<t<T/2)
当t=0和t=±T/2时，级数收敛于0
二、定义在区间[0,T/2]上的情形
如果需要将仅定义在区间[0,T/2]上的函数φ(x)展开成傅里叶级数，
则首先要构造一个定义在对称区间[-T/2,T/2]上的函数Φ(t)，使用Φ(t)在区间[0,T/2]上有Φ(t)=φ(t)。然后按照上述的办法，将φ(t)在整个实数轴上周期延拓，再展成傅里叶级数。为了使计算简单，常常是将定义在区间[0,T/2]上的函数φ(t)在区间[-T/2,0]上进行奇延拓或偶延拓。奇延拓是指构造函数Φ(t)，使之在区间[-T/2,T/2]上成为奇函数，这只需令
φ(t),0≤t≤T/2
Φ (t)={
s -φ(-t),-T/2≤t≤0
这时函数Φ (t)的展开式为正弦级数，其傅里叶系数为
s
a =0,(n=0,1,2,...)
n
{ 4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt, (n=1,2,3,...)
n T 0 T
在收敛域上确定收敛于什么时，仍用狄利克雷定理来判定
φ(t),0≤t≤T/2
Φ (t)={
s -φ(-t),-T/2≤t≤0
这时展开式为余弦级数，其傅立叶系数为
4 T/2 2nπ 4 2nπ
a = ∫ Φ (t)cos tdt= ∫φ(t)cos tdt
n T 0 c T T T
{ (n=0,1,2,...)
b =0 (n=1,2,3,...)
n
偶延拓的图形12-15，由于是偶函数，所以延拓出去后在端点处都连续，因此如果函数φ(t)在[0,T/2]内连续，展开成余弦级数的收敛域0≤t≤T/2上收敛于φ(t)。
例3.试将函数
2
x πx
f(x)= -
4 2
在区间[0,π]上展开成余弦函数。解.按式(12.9.4)计算傅立叶级数，注意T=2π。
2
2 π x π
a = ∫ ( - ) cosnxdx
n π 0 4 2
2
2 x πx π 2 x π π
= [( - ) sinnxdx] + [( - )cosnx]
nπ 4 2 0 2 2 2 0
n π
2 π
- -[sinnxdx]
2 0
n π
2
= -
2
n
2 2
2 π x πx x
a = ∫ ( - )=- (n=1,2,3,...)
0 π 0 4 2 3
由于f(x)在(0,π)上连续，且延拓的函数在x=0,π处连续，因此
2 2
x πx π 1 1
- =- +cosx+ cos2x+ cos3x+… (0≤x≤π)
4 2 6 4 9
例4.试将函数
t,0≤t<T/4
φ(t)={
t-T/4,T/4≤t<T/2
展开成正弦级数
解.按式(12.9.3)计算傅立叶系数如下：
4 T/2 2nπ 4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)cos tdt= ∫ tsin tdt
n T 0 T T 0 T
4 T/2 T 2nπ
+ ∫ (t- )sin tdt
T 0 4 T
2 2nπt T/4 2 2nπt T/2
= [-tcos ] + [sin ]
nπ T 0 2 2 T 0
n π
T T 2nπ T/2 2 2nπt T/2
+ [-(t- )cos ] + [sin ]
2nπ 4 T -T/2 2 2 T T/4
n π
T nπ T nπ T n+1 T nπ
=- cos + sin + (-1) - sin
2nπ 2 2 2 2 2nπ 2 2 2
n π n π
T n+1 nπ
= [(-1) -cos ] (n=1,2,3,...)
2nπ 2
所以,
T 2πt 1 6πt 2 8πt
φ(t)= (sin + sin - sin +...)
2nπ T 3 T 4 T
因为当t=T/4时，函数φ(t)间断，且延拓后的函数在x=T/2处间断，故该级数在0≤t<T/4，T/4<t<T/2收敛于φ(t)，而当t=T/4时收敛于T/8，当t=T/2时收敛于0.
习题12-9
将第95-99题中所给函数在定义区间内展开成傅立叶级数.
-x,-π≤x<0
96.f(x)={
0,0≤x<π
解：
n
π 2 ∞ 1 ∞ (-1)
f(x)= - ∑ cos(2π-1)x+∑ sinnx x∈(-π,π)
4 π n=1 2 n=1 n
(2n-1)
-E,-T≤T<0,
97.u(t)={ (E为常量)
E,0≤T≤T/2
解：
4E ∞ 1 2(2n-1)πt
u(t)= ∑ sin ,t∈(-T/2,0),(0,T/2)
π n=1 2n-1 T
x,-1≤x<0,
98.f(x)={ 1,0≤x≤1/2
-1,1/2≤x≤1
解：
nπ
n 1-2cos
1 1 ∞ 1-(-1) 2π nπ 1 ∞ 2
f(x)=- + ∑ { + sin } cosnπx+ ∑ sinnπx
4 2 n=1 2 n 2 π n=1 n
π n
x∈[-1,0),(0,1/2),(1/2,1]
πt
99.φ(t)=cos ,-T/2≤t≤T/2
T
解：
n
πt 2 4 ∞ (-1) 2nπt
cos = + ∑ cos t∈[-T/2,T/2]
T π π n=1 2 T
1-4n
将第100、101题中函数展开成正弦级数。
1,0≤x<h
100.f(x)={ 1/2,x=h, (h为常量）
0,h<x≤π
解：
2 ∞ 1-cosnh
f(x)= ∑ sinnx, x∈(0,π)
π n=1 n
101.φ(t)=(T/4)-t,0≤t≤T/2
解：
4 T ∞ 1 4nπt
-t= ∑ sin t∈(0,T/2)
T π n=1 2n T
将102、103题中函数展开成余弦级数
-t,0≤t<T/4
102.φ(t)={
-T/4,T/4≤t<T/2
解：
nπ
1-cos
3T T ∞ 2 2nπt
φ(t)=- + ∑ cos t∈[0,T/2]
16 2 n=1 2 T
n
x,0≤x<L/2
103.f(t)={ (L为常数)
L-x,L/2≤x<L
解：
L 2L ∞ 1 nπ n nπx
f(x)= + ∑ [2cos -1-(-1) ]cos x∈[0,L]
4 2 n=1 2 2 L
π n
2
104.将函数f(x)=1-x (0≤x≤1/2)分别展开成正弦级数和余弦级数
解：
2 ∞ 7 2 1 ∞ 1
1-x = ∑ [ + ] sin2(2π-1)x+ ∑ sin4nx, x∈(0,1/2)
n=1 2(2n-1)π 3 2π n=1 2n
(2n-1) π
n+1
2 11 1 ∞ (-1)
1-x = + ∑ cos2nπx, x∈[0,1/2]
12 2 n=1 2
π n
-π/4,-π≤x<0
105.把函数f(x)={
π/4,0≤x≤π
展成傅立叶级数，并由它推出：
π 1 1 1
(1) =1- + - +…
4 3 5 7
√3π 1 1 1 1
(2) =1- + - + -…
6 5 7 11 13
解：
∞ 1
f(x)= ∑ sin(2n-1)x
n=1 2n-1
令x=π/2及x=π/3
第四部分拉普拉斯变换
下面内容可参见《工程数学》，林益主编，何涛，杨殿生，卢强编，高等教育出版2003年出版。
第三章，拉普拉斯变换
拉普拉斯(Laplace)变换是一种积分变换，它通过无限区间上的广义积分，实现在不同类函数之间的转换，从而达到简化问题，解决问题的目的。变换是数学中常用的方法，拉普拉斯变换在对信号处理，求解微分方程方面是强有力的工具。它被广泛应用到电学、声学、振动力学等学科中去。本章内容涉及到有关复变函数论中的概念与理论，在这里不做深究，对本章出现的运算，只需按一元函数微分、积分的法则进行即可。
3.1拉普拉斯变换
首先给出函数拉普拉斯变换与逆变换的概念。
定义：设函数f(t)在区间[0,+∞]上有定义，如果含复变量s的无穷积分
+∞ -st +∞ -st
∫ e f(t)dt= lim ∫ e f(t)dt,
0 T→+∞ 0
对s的某一取值范围是收敛的，则称
+∞ -st
F(t)=￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt,
0
为函数f(t)的拉普拉斯变换，f(t)称为象原函数，F(t)成为象函数(其中x是复数，s=β+iω)。
-1
记住F(s)=￡[f(t)];相应的称f(t)为F(t)的拉普拉斯逆变换，记作f(t)=￡ [F(s)];
注意：为研究方便，本章中讨论的函数f(t)总认为t<0时,f(t)=0。
定理：如果f(t)满足下列条件：
（1）在t≥0的任一有限区间上分段连续。
（2）存在实常数a≥0和A>0，使得t充分大时，有
ut
│f(t)│≤Ae
则f(t)的拉普拉斯变换在半平面Re(s)>a上存在。这里a称为f(t)的增长指数，当f(t)是有界函数时，可取a=0。
证：设s=β+iω,则Re(s)=β，当β>a时，
+∞ -st +∞ -st +∞ -st
∫ │e f(t)│dt=∫ │e │*│f(t)│dt≤∫ e *Ae dt
0 0 0
+∞ -st A
=A∫ e dt=
0 β-a
因广义积分
+∞ -st
∫ e f(t)dt
0
绝对收敛，从而收敛，故F(s)存在。
例1，求函数f(t)=1的拉普拉斯变换
解：由拉普拉斯变换的定义，有
+∞ -st
F(t)=￡[1]= ∫ e f(t)dt
0
1 -st +∞
=- e
s 0
1
=- (Re(t)>0)
s
例2.求函数f(t)=t的拉普拉斯变换
解：由拉普拉斯变换的定义有
+∞ -st
F(t)=￡[1]= ∫ e tdt
0
1 +∞ -st
=- ∫ tde
s 0
1 -st +∞ +∞ -st
=- [te - ∫ e dt]
s 0 0
1
= (Re(t)>0)
2
s
n
例3.求函数f(t)=t 的拉普拉斯变换，其中n是正整数，Re(s)>0
解：
n +∞ -st n
F(t)=￡[t ]= ∫ e t dt
0
1 n -st +∞ n +∞ -st n-1
=- t e - ∫ e t dt
s 0 s 0
n n-1 n n-1 n-2
= ￡[t ]= * ￡[t ]=...
s s s
n! n!
= ￡[1]=
n n+1
s s
at
例4.求函数f(t)=e 的拉普拉斯变换
at +∞ -st at
F(t)=￡[e ]= ∫ e e dt
0
+∞ -(s-a)t
= ∫ e dt
0
t
1 -(s-a) +∞
=- e
s-a 0
1 -(β-a)t -iωt
= [1- lim (e *e ) ]
s-a t→+∞
1
= (Re(s)>a)
s-a
通过上述几个例子的讨论，我们可以看出，对于整个区间[0,+∞]上有定义的不同的函数f(t)，
n
它们的拉普拉斯变换很可能在s的不同区域上存在，例如f(t)=1,f(t)=t (n是正整数)等函数
2
at t
只对Re(s)>0有定义；而f(t)=e 只对Re(s)>a有定义，此外，对于某些函数，例如f(t)=e 不满足定理的条件，它的拉普拉斯变换对于一切s值都不存在，由此可见，F(s)的定义域是随f(t)而定的。另外，若x为实数，F(s)的定义域可把上述结论中的Re(s)换为s即可，比如，若s为实数，则
+∞ -st
F(t)=￡[1]= ∫ e dt,
0
的定义域即为s>0。我们通常接触到的函数大部分都能满足定理的条件，其拉普拉斯变换存在，且存在域通常是某个半平面，因此进行拉普拉斯变换时，常常不表出其存在域，只有非常必要时才特别加以注明。一般常用函数的拉普拉斯变换可查拉普拉斯变换简表（见附表5），请读者查表重新计算上述各题。
习题3.1
1.利用拉普拉斯变换的定义，求下列函数的拉普拉斯变换。
2 3
（1）f(t)=t ,解：F(s)=6/s
t tln4
(2)f(t)=e-4 =e-e ,解：F(s)=s-1/(s-ln4)
-t 2
(3)f(t)=te ,解：F(s)=2/(s+1)
3，当0≤t≤2时
(4)f(t)={ -1，当2≤t≤4时
0，当t≥4时
3，当t≤π/2时
(5)f(t)={
cost，当t>π/2时
2.设f(t)是以2τ为周期的函数，且在一个周期内的表达式为
h，当0≤t<γ时
f(t)={
-h，当γ≤t<2γ时
求f(t)的拉普拉斯变换
3.2拉普拉斯变换的性质
利用定义直接借助于积分的计算来求一个函数的 象函数，在大多数情况下是极其困难的。为了简化各种函数的象函数的求解过程，就有必要介绍拉普拉斯变换的性质，利用这些性质，拉普拉斯变换才能称为解决实际问题的有力工具。
性质1（线性性质）设函数f (t),f (t)满足定理的条件，
1 1
则在它们的象函数的定义域的共同部分上有：
￡[C f (t)+C f (t)]=C ￡[f (t)]+C ￡[f (t)]
1 1 2 2 1 1 2 2
其中，C ,C 是任意常数。
1 2
证：由定义
+∞ -st
￡[C f (t)+C f (t)]= ∫ e [C f (t)+C f (t)]dt
1 1 2 2 0 1 1 2 2
+∞ -st +∞ -st
=∫ e C f (t)dt+∫ e C f (t)dt
0 1 1 2 2
+∞ -st +∞ -st
=C ∫ e f (t)dt+C ∫ e f (t)dt
1 0 1 2 0 2
=C ￡[f (t)]+C ￡[f (t)]
1 1 2 2
性质1表明：函数的线性组合的拉普拉斯变换，等于各函数拉普拉斯变换的线性组合。
例1：求函数cosωt+isinωt的拉普拉斯变换。
α+iβ α
解：由性质1及欧拉公式[e =e (cosβ+isinβ)，得
iωt
￡[cosωt+isinωt]=￡[cosωt]+i￡[sinωt]=￡[e ]
1 s+iω
= =
s-iω 2 2
s +ω
再由复数相等的定义，得
s
￡[cosωt]=
2 2
s +ω
ω
￡[sinωt]=
2 2
s +ω
例2：求f (t)=sht,f (t)=cht的拉普拉斯变换。
1 2
解：由性质1，有
t -t 1 t 1 -t
￡[sht]=￡[(e -e )/2]= ￡[e ]- ￡[e ]
2 2
1 1 1 1 1
= - =
2 s-1 2 s-1 2
s +1
t -t 1 t 1 -t
￡[cht]=￡[(e -e )/2]= ￡[e ]+ ￡[e ]
2 2
1 1 1 1 1
= + =
2 s-1 2 s-1 2
s -1
n
性质2（原函数的微分性质）如果f`(t),f``(t),...,f (t)均满足定理的条件，则
￡[f`(t)]=s￡[f(t)]-f(0)
一般地，有
(n) n n-1 n-2 (n-1)
￡[f (t)]=s ￡[f(t)]-s f(0)-s f(0)-...-f (0)
证：用数学归纳法证明
当n=1时
+∞ -st +∞ -st -st +∞ +∞ -st
￡[f`(t)]= ∫ e f`(t)dt=∫ e df(t)=e f(t) +s∫ e f`(t)dt
0 0 0 0
=S￡[f`(t)]-f(0)
设n=k时，有
(k) k k-1 k-2 (k-1)
￡[f (t)]=s ￡[f(t)]-s f(0)-s f(0)-...-f (0)
成立，现看n=k+1时
(k+1) (k) (k) (k)
￡[f (t)]=￡{[f (t)]`}=s￡[f (t)]-f (0)
k k-1 (k-1) (k)
=s{s ￡[f(t)]-s f(0)-...-f (0)}-f (0)
k+1 k (k-1) (k)
=s ￡[f(t)]-s f(0)-...-sf (0)-f (0)
因此，由数学归纳法，得
(n) n n-1 n-2 (n-1)
￡[f (t)]=s ￡[f(t)]-s f(0)-s f`(0)-...-f (0)
性质2表明一个函数导数的拉普拉斯变换等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参数，再减去函数的初值。
例3已知f(t)=cost,f(0)=1,f`(0)=0,试求它的二阶导函数的拉普拉斯变换。
解：由性质2知
2
￡[f``(t)]=s ￡[cost]-sf(0)-f`(0)
2 s s
=s -s*1-0=-
2 2
s +1 s +1
性质3（象函数的微分性质）如果￡[f(t)]=F(s)，则
d
F(s)=-￡[tf(t)]
ds
一般地有
n
d n n
F(s)=(-1) ￡[t f(t)]
n
ds
事实上
d d +∞ -st +∞ Ә -st
F(s)= ∫ e f(t)dt=∫ e f(t)dt
ds ds 0 Әs
+∞ -st
=∫ e f(t)dt=-￡[tf(t)]
0
应用数学归纳法，可得
n
d n n
F(s)=(-1) ￡[t f(t)]
n
ds
n n
性质3表明一个函数与t 的乘积的拉普拉斯变换等于其象函数的n阶导数与(-1) 的乘积。
n at
例4，求函数f(t)=t e 的拉普拉斯变换
解：由性质3知
n n
n at n d n d at
￡[t e ]=(-1) F(s)=(-1) ￡[e ]
n n
ds ds
n
d 1
=(-1) ( )
n
ds s-a
n!
=
n+1
(s-a)
例5，求￡[tcosωt]及￡[tsinωt]
解：由性质3知
2 2
d d s s +ω
￡[tcosωt]=- ￡[cosωt]=- ( )=
2 2 2 2 2
ds ds s +ω (s +ω )
d ω -2ωs 2ωs
￡[tsinωt]=- ( )=- =
2 2 2 2 2 2 2 2
ds s +ω (s +ω ) (s +ω )
性质4（积分性质），如果￡[f(t)]=F(s)，则
t 1
￡[∫ f(t)dt]= F(s)
0 s
证：由于
t +∞ t -st
￡[∫ f(t)dt]= ∫ [∫ f(τ)dτ]e dt
0 0 0
分部积分，得
-st
t e t +∞ 1 t -st
￡[∫ f(t)dt]= ∫ f(τ)dτ + ∫ f(t)e dt
0 s 0 0 s 0
1
= F(s)
s
重复应用性质4，得
t t t 1
￡[∫ dt ∫ dt ∫ f(t)dt]= F(s)
0 0 0 n
s
性质4表明，一个函数积分后再取拉普拉斯变换，等于这个函数的拉普拉斯变换除以参数s
例6求
t
f(t)= ∫ tsin2tdt
0
的拉普拉斯变换
解：由例5知
4s
￡[tsin2t]=
2 2
(s +4)
再由性质4，得
4
￡[f(t)]=
2 2
(s +4)
性质5（象函数的积分性质），若￡[f(t)]=F(s)，则
+∞ f(t)
∫ F(s)ds=￡[ ]
s t
一般地，有
+∞ +∞ +∞ f(t)
∫ ds ∫ ds ∫ F(s)ds=￡[ ]
s s s n
t
n次
证：
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
∫ F(s)ds=∫ [∫ f(t)e dt]ds=∫ f(t)[ ∫ e ds]dt
s s 0 0 s
+∞ 1 -st +∞ +∞ f(t) -st
=∫ (f(t)[- e ] )dt=∫ e dt
t s t
f(t)
=￡[ ]
t
反复利用上式可得到
+∞ +∞ +∞ f(t)
∫ ds ∫ ds ∫ F(s)ds=￡[ ]
s s s n
t
n次
例7，求
sint
f(t)=
t
的拉普拉斯变换
解：由
1
￡[sint]=
2
1+s
及象函数的积分性质，得
sint +∞ 1
￡[ ]= ∫ ds=arccots
t s 2
1+s
性质6（位移性质），如果F(s)=￡[f(t)]，则
at
￡[e f(t)]=F(s-a)
证：由定义，有
at +∞ -st at
￡[e f(t)]= ∫ e e f(t)dt
s
+∞ -(s-a)t
= ∫ e f(t)dt=F(s-a)
s
at
性质6表明，一个函数乘以e 的拉普拉斯变换等于其象函数作位移a,
at at
例8，求￡[e cosωt]及￡[e sinωt]
解：因
s
￡[cosωt]=
2 2
s +ω
ω
￡[cosωt]=
2 2
s +ω
故由性质6，有
at s-a
￡[e cosωt]=
2 2
(s-a) +ω
at s-a
￡[e cosωt]=
2 2
(s-a) +ω
性质7（延迟性质），设F(s)=￡[f(t)],t<0时，f(t)=0，则对任一非负实数τ，有。
-rs
￡[f(t-τ)]=e F(s)
证：由定义，有
+∞ -st
￡[f(t-τ)]= ∫ f(t-τ)e dt
s
τ -st +∞ -st
= ∫ f(t-τ)e dt+∫ f(t-τ)e dt
0 τ
=I +I
1 2
因为t<τ时，f(t-τ)=0，故
τ -st
I =∫ f(t-τ)e dt
1 s
对I 作变换t-τ=u,则
2
+∞ -s(u+τ) -sτ +∞ -su -sτ
I = ∫ f(u)e du=e ∫ f(u)e du=e F(s)
2 0 0
因此
-rs
￡[f(t-τ)]=e F(s)
从几何上看，f(t-τ)的图形是f(t)的图形沿t轴向右平移τ个单位所得。
性质7表明，时间函数延迟τ的拉普拉斯变换，等于它的象函数乘以指数因子e.
例9，求函数
u(t)-u(t-a)
f(t)=
a
的拉普拉斯变换，其中u(t)为单位阶跃函数，即
0,当t<0时
u(t)={
1,当t≥0时
解：由拉普拉斯变换简表得知
￡[u(t)]=1/s
根据性质7，有
-as
￡[u(t-a)]=e /s
故
1
￡[f(t)]= [￡(u(t))]-￡[(u(t-a)]
a
-as
1 1 -as 1 1-e
= ( -e )=
a s s as
例10，求
sint,当0≤t≤π时
f(t)={
0,其它
的拉普拉斯变换。
解，设
sint,当t≥0时
f(t)={
0,当t<π时
因此,
f(t)=f (t)+f (t-π)
1 1
于是
￡[f(t)]=￡[sint]+￡[sin(t-π)]
1 1 -πt
= + e
2 2
s +1 s +1
1 -πt
= (1+e )
2
s +1
对于性质7，要特别强调t<0时，f(t)=0的这一约定，因此在利用本性质求逆变换时，应为
-rs
￡ [e F(s)]=f(t-τ)u(t-τ)
例11，求
t -3t
f(t)=t∫ e sin2tdt
0
的拉普拉斯变换。
解：因
2
￡[sin2t]=
2
s +4
故
-3t 2
￡[e sin2t]=
2
(s+3) +4
t -3t 2
￡[∫ e sin2tdt]=
0 2
s[(s+3) +4]
2
t -3t d 2 6s +24s+26
￡[t∫ e sin2tdt]= ( )=
0 2 2
ds s[(s+3) +4] s[(s+3) +4]
性质8，
￡[f(t)*g(t)]=￡[f(t)]*￡[g(t)]
式中
t t
f(t)*g(t)= ∫ f(u)g(t-u)du=∫ f(t-u)g(u)du
0 0
称为函数f(t)和g(t)的褶积（或卷积）
性质9，
n
n d F(s)
￡[t f(t)]=(-1)
n
ds
习题3.2
利用拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换：
2
（1）f(t)=t +6t-3 (2)f(t)=5sin2t-3cos2t
t 3t
(3)f(t)=1+te (4)f(t)=e sin4t
-4t
(5)f(t)=e cos(2t+π/4) (6)f(t)=u(2t-1)
t 2 2
(7)f(t)=(sint)te (8)f(t)=sin tcos t
2
(9)f(t)=tcosat (10)f(t)=sin t
2 n at
(11)f(t)=cos t (12)f(t)=t e (n为正整数)
3.3拉普拉斯逆变换
前面主要介绍由已知函数f(t)求其象函数￡[f(t)]=F(s)。但在很多实际应用中常常遇到与此相反的问题，即已知象函数F(s)，要求象原函数f(t)。对此类问题常借助于拉普拉斯变换简表以及拉普拉斯变换的性质来解决.
例1，求
-1 k
￡ [ ]
2 2
s +k
-1 s
和￡ [ ](k≠0]
2 2
s +k
解：根据拉普拉斯变换表中公式(5),(6)，令k=a，得
-1 k
￡ [ ]=sinkt
2 2
s +k
同理
-1 s
￡ [ ]=coskt
2 2
s +k
例2，求
2s-5
F(s)= 的象函数
2
s -5s+6
解：因
2s-5 (s-3)+(s-2) 1 1
F(s)= = = -
2
s -5s+6 (s-3)(s-2) s-3 s-2
故由拉普拉斯变换公式（2）及拉普拉斯变换的线性性质，得
-1 -1 1 -1 1 3t 2t
f(t)=￡ [F(s)]=￡ [ ]+￡ [ ] =e +e
s-3 s-2
例3，求
2
s
F(s)=
2
(s+2)(s +s+2)
的拉普拉斯逆变换
解：因
2 2
s (s +s+2)+(s-2) 1 1
F(s)= = = -
2 2 2
(s+2)(s +s+2) (s+2)(s +s+2) s+2 s +s+2
4
1 1 1 4 7
= - = -
2 7 2
s+2 (s+1/2) +7/4 s+2 (s+1/2) +7/4
故由拉普拉斯变换公式（2）及（15），得
4
-1 -1 1 4 -1 7
f(t)=￡ [F(s)]=￡ [ ]- ￡ [ ]
7 2
s+2 (s+1/2) +7/4
-2t 4 -t/2 4
=e - e sin t
7 7
当象函数化成部分分式比较复杂时，可以采用待定系数法求解。
例4，求
s+2
F(s)= 的象函数
2 2
s +6s +9s
解：因
s+2 s+2
F(s)= =
2 2 2
s +6s +9s s(s+3)
A B C
F(s)= + +
2
s (s+3) S+3
其中A,B,C为待定常数。通分后比较等号两边分子，得
2
A(s+3) +Bs+Cs(s+3)=s+2
令s=0,则有9A=2,于是A=2/9, 令s=-3，则有3B=1,于是B=1/3, 令s=1,则有16A+B+4C=3，于是C=-2/9,
s+2 2 1 1 1 2 1
F(s)= = + -
2 2 2
s +6s +9s 9 s 3 (s+3) 9 s+3
于是
-1 s+2
f(t)=￡ [ ]
2 2
s +6s +9s
2 -1 1 1 -1 1 2 -1 1
= ￡ [ ]+ ￡ [ ]- ￡ [ ]
2
9 s 3 (s+3) 9 s+3
2 1 -3t 2 -3t
= + te e
9 3 9
例5，求
2 2
s +2a
F(s)= (τ>0)
2 2
(s +a )
的拉普拉斯逆变换
解：令
2 2
s +2a
F(s)= (τ>0)
2 2
(s +a )
则
2 2 2
s +2a 1 a
F(s)= = +
2 2 2 2 2 2 2
(s +a ) s +a (s +a )
由拉普拉斯变换公式（5），（29）有
-1 1 -1 a 1 -1 2a
￡ [F (s)]= ￡ [ ]+ ￡ [ ]
1 a 2 2 2a 2 2 2
s +a (s +a )
3 1
= sinat- tcosat
2a 2
再由拉普拉斯的性质6（延迟性质），得
-1 -1 -τs
￡ [F(s)]=￡ [F (s)e ]
1
3 1
=[ sina(t-τ)- (t-τ)cosa(t-τ)]u(t-τ)
2a 2
3 1
sina(t-τ)- (t-τ)cosa(t-τ),当t≥τ时；
2a 2
={
0，当t<τ时
例6，求
2
s -1
F(s)=ln 的拉普拉斯逆变换
2
s
解：因
d 2 1 1 2
F(s)= = + -
ds 2
s(s -1) s+1 s-1 s
故由拉普拉斯的性质3（象函数的微分性质），得
-1 d -1 1 -1 1 -1 1
￡ [ F(s)]=￡ [ ]+￡ [ ]-2￡ [ ]
ds s+1 s-1 s
t -t
-tf(t)=e +e -2
t -t
-1 2-e -e
f(t)=￡ [F(s)]=
t
习题3.3
求下列函数的拉普拉斯逆变换：
3s 1 2
(1)F(s)= = +
(s-1)(s+2) s-1 s+2
t -2t
解：f(t)=e +2e
1
(2)F(s)=
4
(s+1)
s 2
(3)F(s)= =1-
s+2 s+2
-2t
解：f(t)=1/ε-2e
2s+3
(4)F(s)=
2
s +9
4s
(5)F(s)=
2
s +16
s+3
(6)F(s)=
(s+3)(s-3)
1
(7)F(s)=
s(s+1)(s-2)
s
(8)F(s)=
2
s +4s+20
2s-5
(9)F(s)=
2
s
4s-3
(10)F(s)=
2
s +4
s+2
(11)F(s)=
2 2
(s +10)(s +20)
2
s
(12)F(s)=
2
(s+2)(s +2s+2)
2s+3
(13)F(s)=
2
s -2s+5
2
s +1
(14)F(s)=
2
s(s-1)
1 -s
(15)F(s)= e
2
s(s-1)
s+1
(16)F(s)=ln
s-1
3.4拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换在电路分析和自动控制理论中有着非常广泛的应用，下面介绍这方面的几个例子。
例1：设因果信号
at 0,当t<0时
f (t)=e u(t)={
1 e ，当t>0（a为实数时）
求其拉普拉斯变换
解：由定义，有
-(s-a)t
+∞ at -st e +∞
F(s)= ∫ e e dt=
0 -(s-a) 0
1
,当Re(s)=β>α时
s-a
={ 不定，当β=α时
无界，当β<α时
因此，对于因果信号，仅当Re(s)=β>α时，其拉普拉斯变换存在。
注：本题可直接查拉普拉斯变换表的公式（2）写出
例2，求矩形脉冲信号
1,当0<t<τ时
f(t)=g (t-τ/2)={
τ 0，其余
的象函数。
解法一：因
-τs
+∞ -st τ -st 1-e
￡[f(t)]= ∫ f(t)e dt=∫ e dt=
0 0 s
故矩形脉冲的象函数为
-τs
1-e
￡[g (t-τ/2)]= (Re(s)>-∞）
t s
解法二：因f(t)=1-u(t-τ),
故,
1 -τs
￡[f(t)]= -e ￡[u(t)]
s
1 -τs
= (1-e )
s
例3，求在t=0时接入的周期性单位冲激序列
∞
∑ (t-nT)=δ(t)+δ(t-T)+...+δ(t-nT)+...
n=0
由拉普拉斯变换公式及性质6（延迟性质），得
￡[δ(t)]=1，
-Ts
￡[δ(t-T)]=e ，
…….
-nTs
￡[δ(t-nT)]=e ，
…………
因此,
∞ -Ts -nTs 1
￡[∑ δ(t-nT)]=1+e +...+e +...= (Re(s)>0)
n=0 -Ts
1-e
拉普拉斯变换的另一方面的应用是用于解常系数微分方程，下面来讨论这种解法。
对于给定的常系数n阶线性常微分方程：
(n) (n-1) (n-2)
a y +a y +a y +...+a y`+a y=f(x)
0 1 2 n-1 n
{ (n-1)
y(0)=y ,y`(0)=y ,...,y (0)=y
0 1 n-1
其中a ≠0,a 为常数(i=1,2,...,n),
0 i
f(t)是某些常见函数，如多项式、指数函数、正弦、余弦函数以及这些函数的简单复合。
只要f(t)满足拉普拉斯变换存在定理的条件，并假设y(t)满足拉普拉斯变换微分性质中的条件，我们就可以利用原方程的初始条件，根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质，对原方程两端取拉普拉斯变换，把原函数化为象函数的代数方程，从代数方程中解出象函数，然后取它的拉普拉斯逆变换，从而得到原方程的解。
例4，求微分方程
2
y``+a y=t
满足y(0)=b,y`(0)=c的解，其中a,b,c是常数
解：设
￡[f(t)]=F(s)
将所给微分方程两边取拉普拉斯变换，得
2 2 1
s Y(s)-sy(0)-y`(0)+a Y(s)=
2
s
其中，Y(s)=￡[y(t)],代入初始条件，得
1
2
bs+c s
Y(s)= +
2 2 2 2
s +a s +a
bs c 1 1 1
= + + ( - )
2 2 2 2 2 2 2 2
s +a s +a a s s +a
对上式取拉普拉斯逆变换，便得所求微分方程的解为
c 1 1
y(t)=bcosat+ sinat+ (t- sinat)
a 2 a
a
例5，求微分方程
t
y``-2y`+2y=2e cost
满足y(0)=y`(0)=0的解，
解：对给定的微分方程两边取拉普拉斯变换，得
2 2(s-1)
s Y(s)-2sY(s)+2Y(s)=
2
(s-1) +1
解出Y(s)，得
2(s-1) d 1
Y(s)= =- ( )
2 2 ds 2
[(s-1) +1] (s-1) +1
由于
-1 1 t
￡ [ ]=e sint
2
(s-1) +1
故,
-1 d 1 t
￡ [ ( ) ]=e sint
2
ds (s-1) +1
于是,
-1 1
￡ [Y(s)]=te sint
因此所求微分方程的解为
t
y(t)=te sint
由上面两例可以看出，应用拉普拉斯变换求解微分方程时，已经初始条件用上，因此求出的结果就是满足初始条件的特解了，这样就简化了求微分方程时，先求通解再求特解的步骤。
例6，求微分方程组
t
x`+x-y=e
{ t
y`+3x-2y=2e
满足初始条件：x(0)=y(0)=1的解
解：设￡[x(t)]=X(s),￡[y(t)]=Y(s),
对方程组的每个方程两端取拉普拉斯变换，得
1
(s+1)X(s)-Y(s)-1=
s-1
{
2
(s-2)Y(s)+3X(s)-1=
s-1
解出象函数X(s)和Y(s)：
1
X(s)=Y(s)=
s-1
再取拉普拉斯逆变换，求得原方程组的解为
t
x(t)=y(t)=e
例7，在如图3-1所示的R,C并联电路内，外加电流为单位脉冲函数δ(t)的电流源，
电容C上初始电压为零，求电路中的u(t)
解：设流经电阻R和电容C的电流分别为i (t)和i (t),
1 2
电学原理知
u(t) du
i (t)= , i (t)=C
1 R 2 dt
根据电学上的基尔霍夫定律，有
u(t) u
C + =δ(t)
R R
{
u(0)=0
这就是该电路电压应满足的微分方程,
设￡[u(t)]=U(s)，对微分方程两端取拉普拉斯变换，得
U(s)
CSU(s)+ =1
R
解得,
1 1 1
U(s)= =
1 C 1
+C S+
R s RC
取拉普拉斯逆变换，有
-1 1 -t/RC
u(t)=￡ [U(s)]= e
C
解的物理意义是：由于在一瞬间电路受单位脉冲电流的作用，把电容的电压由零跃变到1/C，然后电容C向电阻R按指数衰减规律放电。
习题3.4
1.用拉普拉斯变换解下列微分方程：
3t
（1）x``(t)-3x`(t)+2x(t)=2e ,x(0)=0,x`(0)=0
(4) (2)
(2)y +2y +y=0,y(0)=y`(0)=y``(0)=0,y```(0)=1
(3)x``(t)-x(t)=4sint+5cost,x(0)=-1,x`(0)=-2
t
(4)y``-2y`+2y=2e cost,y(0)=y`(0)=0
2.用拉普拉斯变换解下列微分方程组：
y`(t)-2x(t)-y(t)=1,
(1){ x(0)=2,y(0)=4,
x`(t)-x(t)-2y(t)=1,
t
x`(t)+x(t)+y(t)=e ,
(2){ t x(0)=y(0)=1,
y`(t)+3x(t)-2y(t)=2e ,
t
y``(t)-x``(t)+x`(t)-y(t)=e -2,
(3){ x(0)=x`(0)=0,y(0)=y`(0)=0
2y``(t)-x``(t)-2y`(t)+x(t)=-1,
附表5 拉普拉斯变换简表
序号 f(t) F(t)
1 1 1/s
at
2 e 1/(s-a)
m Γ(m+1)
3 t ,(m>-1) 注：m+1为正整数时，Γ(m+1)=m!
m+1
s
m at Γ(m+1)
4 t e ,(m>-1)
m+1
(s-a)
a
5 sinat
2 2
s +a
s
6 cosat
2 2
s +a
a
7 shat
2 2
s -a
s
8 chat
2 2
s -a
2as
9 tsinat
2 2 2
(s +a )
2 2
s -a
10 tcosat
2 2 2
(s +a )
2as
11 tshat
2 2 2
(s -a )
2 2
s -a
12 tchat
2 2 2
(s -a )
m Γ(m+1) m+1 m+1
13 t sinat,(m>-1) *[(s+ia) -(s-ia) ]
2 2 m+1
2i(s +a )
m Γ(m+1) m+1 m+1
14 t cosat,(m>-1) *[(s+ia) +(s-ia) ]
2 2 m+1
2i(s +a )
-bt a
15 e sinat
2 2
(s+b) +a
-bt s+b
16 e cosat
2 2
(s+b) +a
-bt (s+b)sinc+acosc
17 e sin(at+c)
2 2
(s+b) +a
2 1 1 s
18 sin t ( - )
2 s 2
s +4
2 1 1 s
19 cos t ( + )
2 s 2
s +4
2abs
20 sinatsinbt
2 2 2 2
[s +(a+b) ][s +(a-b) ]
at bt a-b
21 e -e
(s-a)(s-b)
at bt (a-b)s
22 ae -be
(s-a)(s-b)
2 2
1 1 b -a
23 sinat- sinbt
2 2 2 2 2 2
(s +a )(s +b )
2 2
(b -a )s
24 cosat-cosbt
2 2 2 2
[s +(a+b) ][s +(a-b) ]
1 1
25 (1-cosat)
2 2 2
a s(s +a )
1 1
26 (at-sinat)
3 2 2 2
a s (s +a )
1 1 2 1
27 (cosat-1)+ t
4 2 2 2 2
a 2a s (s +a )
1 1 2 1
28 (chat-1)- t
4 2 2 2 2
a 2a s (s -a )
1 1
29 (sinat-atcosat)
3 2 2 2
2a (s -a )
2
1 s
30 (sinat+atcosat)
2a 2 2 2
(s -a )
1 1 1
31 (1-cosat)- tsinat
4 3 2 2 2
a 2a s (s -a )
-at s
32 (1-at)e
2
(s+a)
-at s
33 (1-at/2)e
3
(s+a)
1 -at 1
34 (1-e )
a s(s+a)
-bt -at
1 1 e e 1
35 + ( - )
ab b-a b a s(s+a)(s+b)
式中a,b,c为不相等的常数
-at -bt -ct
e e e 1
36 + +
(b-a)(c-a) (a-b)(c-b) (a-c)(b-c) (s+a)(s+b)(s+c)
式中a,b,c为不相等的常数
-at -bt -ct
ae be ce s
37 + +
(c-a)(a-b) (a-b)(b-c) (b-c)(c-a) (s+a)(s+b)(s+c)
式中a,b,c为不相等的常数
2 -at 2 -bt 2 -ct 2
a e b e c e s
38 + +
(c-a)(b-a) (a-b)(c-b) (b-c)(a-c) (s+a)(s+b)(s+c)
式中a,b,c为不相等的常数
-at -bt
e -e [1-(a-b)t] 1
39
2 2
(a-b) (s+a)(s+b)
式中a,b,c为不相等的常数
-bt -at
[a-b(a-b)t]e -ae s
40
2 2
(a-b) (s+a)(s+b)
式中a,b,c为不相等的常数
2
-at at/2 √3at √3at 3a
41 e -e (cos -√3sin )
2 2 3 3
s +a
3
4a
42 sinatchat-cosatshat
4 4
s +4a
1 s
43 sinatshat
2 4 4
2a s +4a
1 1
44 (shat-sinat)
3 4 4
2a s -a
1 s
45 (chat-cosat)
2 4 4
2a s -a
1 1
46
√s
πt
1 1
47 2
π s√s
1 at 1
48 e (1+2at)
(s-a) s-a
πt
1 bt at
49 (e -e )
3 s-a - s-b
2 πt
1 1 -a/s
50 cos2 at e
√s
πt
1 1 a/s
51 ch2 at e
√s
πt
1 1 -a/s
52 sin2 at e
s √s
πt
1 1 a/s
53 sh2 at e
s √s
πt
1 bt at e-a
54 (e -e ) ln
t s-b
2 s+a a
55 shat ln =2Arth =1/ln[(1+a/s)/(1-a/s)]
t s-a s
注：arth表示反双曲正切, arthx=1/2ln[(1+x)/(1-x)],
2 2
2 s +a
56 (1-cosat) ln
t 2
s
2 2
2 s -a
57 (1-chat) ln
t 2
s
1 a
58 sinat arctg
t s
2 2
1 s +b
59 (chat-cosbt) ln
t 2 1
s -a
1 a
60 sin(2a√t) erf( )
πt s
2
2 x -t
注：erf(x)= ∫ e dt,称为误差函数
√π 0
2
1 -2a√t 1 a /s a
61 e e erf( )
πt √s s
a 1 -a√s
62 erfc( ) e
2√t s
2 2
t 1 a s
63 erfc( ) e erfc(as)
2a s
1 -2√at 1 a/s a
64 e e erfc( )
√πt √s s
1 1 as
65 e erfc( as )
π(t+a) √s
1 1
66 erfc( at )
a s s+a
1 at 1
67 e erfc( at )
a √s(s-a)
1
68 u(t)
s
1
69 tu(t)
2
s
m 1
70 t u(t),(m>-1) Γ(m+1)
m+1
s
注：m+1为正整数时，Γ(m+1)=m!
71 δ(t) 1
72 δ`(t) s
73 sgnt 2/s
1
74 J (at)
0 2 2
s +a
-n
注：I (x)=i J (jx),J 称为第一类n阶贝塞尔(Bessel)函数，
n n n
I 称为第一类n阶变形的贝塞尔函数，或称为虚宗量的贝塞尔函数。
n
1
75 I (at)
0 2 2
s -a
1 -a/s
76 J (2 at ) e
s
-bt 1
77 e I (at)
0 2 2
(s+b) -a
s
78 tJ (at)
0 2 2 s/2
(s +a )
s
79 tI (at)
0 2 2 s/2
(s -a )
2 2
1 b(s- s +a )
80 J (a t(t+2b) e
0 2 2
s +a
第五部分拉普拉斯运算法
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系，编，上海人民出版社1975年出版。
附-2-2拉普拉斯运算法
用频谱变换法求线性电路输出信号，在实际工作中并不是简单可行的，有时往往无法进行计算。如果把福立叶变换推广到拉普拉斯变换，许多复杂问题就变得比较简单可行了。
这种方法通常又称为运算法。下面我们先来讨论福立叶变换推广到拉普拉斯变换的问题。
如从严格的数学分析出发，对一非周期脉冲函数f(t)进行福立叶变换，除了这个函数必须满足狄里赫利条件外，还必须满足绝对可积条件：
+∞
∫ │f(t)│dt<∞ （附-2-14）
0
bt
这个条件对诸如阶跃函数H(t)、斜波函数at(a>0)及指数函数e (b>0)等一类非周期信号就不
-Ct -Ct
能满足。如果这些函数乘上一个指数衰减函数e (C>0)，从而构成另一个新函数f`(t)=f(t)e ,
使这个新函数f`(t)能满足绝对可积条件，这个指数衰减函数常称为收敛因子。对不同的函数f(t)，收敛因子中的实系数C应有不同的数值。
bt (b-C)t
例如：当f(t)=e 时，应取C>b，才能使新函数f`(t)=e 满足绝对可积条件。
因此，收敛因子中的实系数C应是一个参变量。这样，新函数f`(t)的福立叶变换应为：
+∞ -Ct -jωt
F(C,ω)= ∫ f(t)e e dt （附-2-15）
-∞
或
+∞ -(C+jω)t
F(C+jω)= ∫ f(t)e dt
-∞
考虑到非周期脉冲函数f(t)总起始时刻t=0的实际情况，令t<0时，f(t)=0，于是上式的积分范围可改写为0→∞。另外，令复变量p=C+jω，（附-2-15）式即可改写为：
+∞ -pt
F(p)= ∫ f(t)e dt （附-2-16）
-∞
上式即为所谓拉普拉斯变换式。其中，f(t)常称为原函数；F(p)称为象函数，它是复变量p的函数。如果把复变量p当作复频率看待，F(p)也可称为复频谱密度函数。
（附-2-16）式常用符号式F(p)=￡[f(t)]表示。由福立叶反变换式，不难推出拉普拉斯反变换
-Ct
式。新函数f(t)e 的福立叶反变换应为：
-Ct 1 +∞ jωt
f(t)e = ∫ F(C+jω)e dω
2π -∞
Ct
上式两边乘以因子e ，并且
1
dω= d(C+jω)
j
于是得：
1 C+jω (C+jω)t
f(t)= ∫ F(C+jω)e d(C+jω)
2πj C-jω
或
1 C+jω pt
f(t)= ∫ F(p)e d(p) (附-2-17）
2πj C-jω
这个积分是沿着复平面的右半平面上一垂直线进行的线积分，这条作为积分路径的垂直线应选取在被积函数的所有极点的右边。可以证明，作为拉普拉斯反变换的（附-2-17）式可改写成为：
1 pt
f(t)= ∮F(p)e d(p) (附-2-18）
2πj
上式积分号上的小圆圈表示积分式围线积分，这个围线必须包含被积函数的所有极点在内。
-1
(附-2-18）式常用符号式f(t)=￡ [F(p)]表示。必须指出，在实际应用中，拉普拉斯变换与反变换一般都不进行具体的验算。而可以通过f(t)与F(p)的变换对照表（附录3）求得。
大家知道，线性电路的输入和输出信号的时间函数v (t)和u (t)之间的关系，
i 0
一般可用n阶线性微分方程表示：
n n-1
d v d v dv
0 0 0
a +a +...+a +a v =v (t) (附-2-19)
n n-1 n-1 1 0 0 i
dt dt dt
式中，系数a ,a ,...,a ,a 与网络的元件与结构有关。
n n-1 1 0
图附-2-1(a)所示的简单阻容电路，微分方程为：
n
dv
0
RC +v =v (t) (附-2-20)
2πj 0 i
设￡[v (t)]=V (p);￡[v (t)]=V (p)
i i 0 0
dv
(1) 0
一阶导数v (t)= 的变换可求得为：
0 dt
dv
(t) ∞ -pt 0
￡[v (t)]= ∫ e dtpV (p)-v (0) (附-2-21)
0 0 dt 0 0
式中，v (0)决定于线性电路输出的初始状态。如果在输入信号作用前，
0
线性电路中的储能元件C或L未充磁，则v (0)=0，
0
2
d v
(2) 0
二阶导数v (t)= 的变换为：
0 2
dt
(2) (1) (1) 2 (1)
￡[v (t)]=p￡[v (t)]-v (0) =p V (p)-pv (0)-v (0) (附-2-22)
0 0 0
n阶导数的变换即为：
(n) n n-1 n-2 (1) (n-1)
￡[v (t)]=p V (p)-p v (0) -p v (0)-...-v (0) (附-2-23)
0 0 0 0 0
式中，
n
d v
(n) 0
v (0)= lim
t→0 n
dt
由于拉氏变换是一种线性运算，（附2-19）式左边的变换等于各项分别进行变换后之和，因而得
V (p)=K(p)[V (p)+Q(p)] (附-2-24)
0 i
式中，
1
K(p)= (附-2-25)
n n-1
a p +a p +...+a p+a
n n-1 1 0
n-1 n-2 n-2 n-3 (1)
Q(p)=(a p +a p +...+a p+a )v (0) +(a p +a p +...+a p +a )v (0)+...
n n-1 2 1 0 n n-2 2 1 0
(n-2) (n-1)
+(a p+a )v (0)+a v (0) (附-2-26)
n n-1 0 n 0
K(p)是线性网络的传输函数，它完全取决于线性网络的元件和结构形式；Q(p)是与网络
(i)
的初始状态密切有关的函数，如网络的初始状态为零，v (0)和有关的v (0)均等于零，
0 0
从而Q(p)=0，这样，（附-3-24式）则为：
V (p)=K(p)V (p) (附-2-27)
0 i
此式说明，在线性网络的初始状态为零的情况下，网络的输出信号v (t)的象函数等于输入信号的象函数与网络的传输函数的乘积。这里的传输函数K(p)与频谱法中的K(ω)具有同一形式，只要将K(ω)中的jω用p代替。如果图附-2-1(a)所示的阻容电路的初始状态为：
C充有负极性的电压——θ，即v (0)=-θ，
0
如图附-2-4所示，电路的输入电压为阶跃电压E，即
v (t)=E (t>0),
i
这样
dv
0
RC +v =E
dt 0
上式的拉普拉斯变换为：
1 E
V (p)= ( -θCR) (附-2-28)
0 dt P
查表（附录3）求得原函数v (t)为：
0
-t/RC -t/RC
v (t)=E(1-e )-θe =v` (t)+v`` (t) (附-2-29)
0 0 0
式中，v` (t)是由输入电压v (t)=E所产生的，常称为强迫相应；
0 I
v`` (t)是由电路的初始值v (0)=-θ所产生的，常称为自由响应。
0 0
波形如图附-2-5所示，如θ=0，则v`` (t)=0，得
0
-t/RC
v (t)=E(1-e )
0
此式与用富立叶变换法所得结果完全相同。由（附-2-21）式可以推导出两个很有用的定理。当p→∞时，如果p的实部为正数，（附-2-21）式左边的积分等于零，因此，得
v (0)= lim v (t)= lim pV (p) (附-2-30)
0 t→∞ 0 t→∞ 0
这是所谓始值定理。当p→0时，（附-2-21）式左边的积分为：
dv ∞ dv
lim ￡[ ]= ∫ dt=v(∞)-v(0)
p→0 dt 0 dt
因而得：
v (0)= lim v (t)= lim pV (p)
0 t→∞ 0 t→∞ 0
这是所谓终值定理。
始值定理和终值定理可以帮助我们直接从网络的输出象函数V (p)求的输出原函数v (t)的
0 0
瞬态值v (0)与稳态值v (∞)，而不必等到v (t)求得后再进行推导，例如，如图附-2-1(a)
0 0 0
所示的RC电路，由（附-2-28）式得：
E θCR
v (0)= lim pV (p)= lim ( - )=-θ
0 p→∞ 0 p→∞ 1+pCR 1
+CR
p
E θCR
v (∞)= lim pV (p)= lim ( - )=E
0 p→0 0 p→0 1+pCR 1
+CR
p
可见，由始值、终值定理求得的结果与前面结果完全一致，但要方便很多。在实际工作中，往往只需要知道始值和终值。例如：当矩形脉冲v (t)输入RC微分电路，
i
其输出是正负相间的尖脉冲，如图附-2-6所示，这点大家都是很熟悉，就没有必要去取输出函数v (t)，但是尖脉冲的起始值和稳定值是大家需要知道的。设电路的初始状态为零，
0
由（附-2-7）式可得：
V (p)=K(p)V (p)
0 i
式中，
p
K(p)=
1
p+
p
V (p)可查附录3得：
i
-pτ
E u
V (p)= (1-e )
p
因此，得
-pτ
1 1 u
V (p)=E( - e )=V (p)-V (p)
1 1 01 02
p+ p+
CR CR
由始值、终值定理很快就求得：
-pτ
E u
v (0)= lim pV (p)= lim [ (1-e )]=E
0 p→0 0 p→0 1+ 1
CR
v (∞)= lim pV (p)=0
0 p→0 0
附-2-3卷积积分和重迭积分法
1.卷积积分和重迭积分原理
如图-2-7所示，图(a)为跳变沿是ε的阶跃函数；(b)为跳变沿ε→0的理想阶跃函数；(c)为阶跃函数发生于t=τ，表示式分别为：
0,t<0
H (t)={ t/ε，0≤t≤ε
ε 1，t>ε
0,t<0
H(t)= lim H (t)={ 附-2-32
ε→0 ε 1，t>0
0,t<τ
H(t-τ)={
1,t>τ
一个矩形脉冲可以看作两个阶跃函数，H(t)和-RH(t-τ)迭加而成，如图附-2-8(a)所示；而图附2-8(b)所示说明一个阶梯脉冲可看作四个阶跃函数迭加。同理，任何一个脉冲信号都可看成由若干个发生在不同时刻的阶跃函数迭加而成。图附-2-9所示为单位脉冲波形，图(a)的脉宽为ε何幅度为1/ε；图(b)为脉宽ε→0的理想单位脉冲函数；图(c)为发生于时间t=τ的单位脉冲函数，表示式分别为：
0,t>ε，t<0
δ (t)={
ε t/ε，0≤t≤ε
0,t≠0
δ(t)= lim δ (t)={ 附-2-33
ε→0 ε ∞,t=0
0,t≠τ
δ(t-τ)={
∞,t=τ
单位脉冲函数还具有下列特性：
∞ ε
∫ δ(t)dt=∫ δ(t)dt=1
-∞ 0
∞ τ+ε
∫ δ(t-τ)dt=∫ δ(t-τ)dt=1 附-2-34
-∞ 0
δ(t)= lim H` (t)=H`(t) 附-2-35
ε→0 ε
∞
∫ f(t)δ(t-τ)dt=f(τ) 附-2-36
-∞
（附-2-34）式表明单位脉冲函数曲线与时间轴t围城的面积等于1，因而成为单位脉冲。（附-2-35）式表明阶跃函数的导数是单位脉冲函数。（附-2-36）式的物理意义说明单位脉冲起着扫描取样脉冲的作用，也就是说，如果在τ时刻出现单位脉冲δ(t-τ)，函数f(t)的值f(τ)便被取出。从这一特性出发可以把任何时间函数f(t)都可看作若干个发生在不同时刻的δ (t-τ)和一定常数的乘积组合而成。
ε
设线性网络的传输函数为N(p)，网络对阶跃函数H(t)的输出响应为h(t)；对脉冲函数δ(t)的输出响应为k(t)，如图附-2-10所示。再令：
H(p)=￡[H(t)];h(p)=￡[h(t)];δ(p)=￡[δ(t)];k(p)=δ[k(t)]
根据（附2-27）式可得：
h(p)=￡[h(t)]=N(p)H(p); (附-2-37)
k(p)=￡[k(t)]=N(p)δ(p); (附-2-38)
H(p)和δ(p)可查表得到，或者直接用（附-2-16）式计算出：
∞ -pt
H (p)=￡[H(t-τ)]= ∫ H(t-τ)e dt
τ 0
τ -pt 1 -pt
= ∫ e dt= e (附-2-39)
0 p
当τ=0时，H(p)=1/p，同样，由（附-2-16）式，并考虑到（附-2-30）式的关系，可得
∞ -pt -pt
δ(p)=￡[δ(t-τ)]= ∫ δ(t-τ)e dt=e (附-2-40)
0
-pt
当τ=0时，δ(p)=1，上列两式中的e 为位移因子，它反应原函数在时间上向后位移了τ值。将（附-2-39），（附-2-40）式分别代入（附-2-37），（附-2-38）式，可得：
1
h(p)=￡[h(t)]= N(p) (附-2-41)
p
k(p)=￡[k(t)]=N(p) (附-2-42)
可见，阶跃响应函数h(t)和脉冲响应函数k(t)完全决定于线性网络的传输函数N(p). 这样，输入给网络的信号为一任意函数x(t), 其输出函数y(t)可由若干个对应的阶跃响应函数或脉冲响应函数线性迭加而成，这就是下面要导出重迭积分和卷积积分的物理基础。
2.重迭积分
设有某一线性网络N(p)，输入函数为x(t)，具有任意波形，但当t<0时，x(t)=0，对应的输出函数为y(t). 我们将输入函数x(t)用阶跃函数序列之和来近似，如图附2-11所示，因此得
x(t)=x(0)H(t)+△x H(t-△τ)+△x H(t-2△τ)+..+△x H(t-n△τ)+...
1 2 n
式中：△x =x(i△τ)-x[(i-1) △τ]
i
根据线性迭加原理，线性网络的输出函数y(t)可近似为：
y(t)=x(0)h(t)+△x h(t-△τ)+...+△x h(t-n△τ)+..
1 n
△x
n i
=x(0)h(t)+ ∑ h(t-i△τ)△τ
i=1 △τ
令：△x→0；n→∞；n△τ→τ，则得
△x
n i
y(t)=x(0)h(t)+ lim ∑ h(t-i△τ)△τ
i=1 △τ
即,
t
y(t)=x(0)h(t)+ ∫ x`(t)h(t-τ)dτ
0
或 （附-2-43）
t
y(t)=x(0)h(t)+ ∫ x`(t-τ)h(t)dτ
0
上两式就是所求的重迭积分式。重迭积分式有多种形式，除（附-2-45）式外，下列两种也是常用的重迭积分式：
t
y(t)=h(0)x(t)+∫ x(τ)h`(t-τ)dτ
0
（附-2-44）
t
y(t)=h(0)x(t)+∫ x(t-τ)h`(t)dτ
0
下面仍举矩形脉冲通过RC微分电路之例，说明重迭积分的应用。
用x(t)=v (t),y(t)=v (t)代入（附-2-43）式，则为
i 0
t
v (t)=v (0)h(t)+∫ v` (τ)h(t-τ)dτ （附-2-45）
0 0 0 i
由图附-2-8（a）可知：
v (t)=EH(t)-EH(t-τ )
I 0
再根据（附-2-32）式，得：
v (0)=0
i
由（附-2-35）式可得：
v` (t)=E*H`(t)-E*H`(t-τ )=E[δ(t)-δ(t-τ )]
i u u
RC电路的传输函数的象函数应为：
R p
N(p)= =
1 1
R+ p+
pC CR
因此
1
￡[h(t)]=
1
p+
CR
查表可得：
-1/RC
e ,t>0
h(t)={
0,t<0
或
-1/RC
h(t)=e *H(t)
将v (0),v` (t),h(t)代入（附-2-45）式得：
I I
T -(t-τ)/RC
v (t)= ∫ E[δ(τ)-δ(τ-τ )]H(t-τ)e dτ
0 0 u
t -(t-τ)/RC t -(t-τ)/RC
=E[∫ δ(τ)H(t-τ)e dτ- ∫ δ(τ-τ )H(t-τ)e dτ]
0 0 u
-1/RC -(t-τ)/RC
=E[e H(t)-e H(t-τ )] （附-2-46）
u
上式中的第一项为发生在t=0处的正尖脉冲；第二项则为发生在t=τ 处的负尖脉冲，如图附-2-6所示。
3.卷积积分
与重迭积分的导出方法相似，y(t)可近似地表示为：
y(t)=x △τk(t)+x △τk(t-△τ)+...+x △τk(t-n△τ)+...
0 1 n
n
=∑ x △τk(t-i△τ)
i=0 i
令：△τ→0，n→∞；n△τ=τ，得：
n
y(t)= lim ∑ x △τk(t-i△τ)
△x→0 i=0 i
n→∞
即,
t
y(t)= ∫ x(τ)k(t-τ)dτ （附-2-47）
0
或
t
y(t)= ∫ x(t-τ)k(τ)dτ （附-2-48）
0
上面两式就是卷积积分式，它是求网络的输出函数的一种方法。其实，卷积积分式可以很方便的从拉普拉斯变换法求得。设网络的初始状态为零，根据（附-2-27）式可得：
Y(p)=N(p)X(p) （附-2-49）
因此：
-1 -1
y(t)=￡ [Y(p)]=￡ [N(p)X(p)]
1 C+j∞ pt
= ∫ N(p)X(p)e dp
2πj C-j∞
由（附-2-12）式可得：
∞ -pτ
N(p)=￡[k(τ)]= ∫ k(τ)e dτ
0
将N(p)代入（附-2-50）式，则得：
1 C+j∞ pt ∞ -pτ
y(t)= ∫ X(p)e [∫ k(τ)e dτ]dp
2πj C-j∞ 0
∞ 1 C+j∞ p(t-τ)
= ∫ k(τ)[ ∫ X(p)e dp]dτ
0 2πj C-j∞
∞
= ∫ k(τ)x(t-τ)dτ
0
t
= ∫ k(τ)x(t-τ)dτ （附-2-48）
0
可见，卷积积分式和运算法的基本公式（附-2-19）式是相对应的。前者是在时域中表出了网络与输入、输出函数之间关系；而后者则在复频域中表现了这三者的关系。
再应用卷积积分来求解图附-2-6所示的例题，由（附-2-47）式得：
t
v (t)=∫ v (τ)k(t-τ)dτ （附-2-51）
0 0 i
式中，
v (τ)=E*H(τ)-E*H(τ-τ )
i u
由（附-2-42）式得
1
p RC
￡[k(t)]=N(p)= =1-
1 1
p+ p+
RC CR
查表得：
1 -t/RC
k(t)=δ(t)- e H(t)
RC
将k(t)和v (τ)的结果代入（附-2-51）式：
i
t 1 -(t-τ)/RC
v (t)= ∫ E[H(τ)-H(τ-τ )][δ(t-τ)- e H(t-τ)dτ
0 u RC
t t 1 -(t-τ)/RC
= ∫ E[H(τ)-H(τ-τ )]δ(t-τ)dτ-∫E[H(τ)-H(τ-τ )] e H(t-τ)dτ
0 u 0 u RC
-(t-τ )/RC
-t/RC u
=v (t)-{v (t)-E[e H(t)-e H(t-τ )]}
i i u
-(t-τ )/RC
-t/RC u
=E[e H(t)-e H(t-τ )] （附-2-52）
u
从这个简单的例子可直接清楚的看到，应用卷积积分式求解网络远没有运算法简便有效。因此它不是求解线性网络的一种常用的方法，但它常常作为运算法中求解拉普拉斯反变换等的一种辅助方法，例如，求解下列象函数
1
F(p)=
(p+α)(p+β)
的拉普拉斯反变换，可将F(p)写成：
F(p)=F (p)*F (p)
1 2
式中：
1
F (p)=
1 p+α
1
F (p)=
2 p+β
因此
-1 -αt
f (t)=￡ [F (p)]=e
1 1
-α(t-τ)
f (t-τ)=e
1
-1 -βt
f (t)=￡ [F (p)]=e
2 2
应用卷积积分式则得：
-1 t
f(t)=￡ [F(p)]= ∫ f (t-τ)f (τ)dτ
0 1 2
t -α(t-τ) -βt -αt t -(β-α)τ
=∫ e e dτ=e ∫ e dτ
0 0
1 -βt -αt
= (e -e )
α-β
3.脉冲信号的拉普拉斯变换表
序号 F(p) f(t)(脉冲波形)
1 1/p
-ap
2 e /p
3 1
-ap
4 e
-ap
5 pe
2
6 1/p
-ap 3
7 e /p
-ap
1-e
8
p
-ap -bp
e -e
9
p
-ap 2
(1-e )
10
p
-ap 2
(1-e )
11
2
p
-ap -bp 2
(e -e )
12
2
p
-ap
be
13
p(p+b)
1
14
p+b
-ap
e
15
p+b
1
16
(p+a)(p+b)
-ap -bp
e -e
17
2
p
-ap
1-e
18
2
p
-ap
e +ap-1
19
2
ap
-2cπp/a
a(1-e )
20
2 2
p +a
-2cπp/a
p(1-e )
21
2 2
p +a
-πp/a
a 1+e
22
2 2 -πp/a
p +a 1-e
a 1
23
2 2 -πp/a
p +a 1-e
1
24
-ap
p(1+e )
-ap
e +ap-1
25
-ap
ap (1+e )
1
26
ap
p(1+e )
-ap/v
1-e
27
-ap
p (1+e )
-ap
1-e
28
-ap
p (1+e )
-ap
e -1
29
-ap
p (1+e )
-ap
4-e
30
-ap
p(4+2e )
-ap
1-e
31
ap -ap
p(e +e )
-ap
1-e
32
2 -ap
ap (1+e )
-ap 2
(1-e )
33
2 -4ap
ap (1+e )
-ap/2v 2
2v(1-e )
34
2 -ap
ap (1+e )
-ap 2 ap/v
v(v-1)+ve -v e
35
2 -ap
(v-1)ap (1-e )
a
ap+1-e p
36
2 -ap
ap (1-e )
-ap
2-ap-(2+ap)e
37
2 -ap
ap (1-e )
-ap
2(1-e ) 1
38 -
2 -ap
ap (1-e ) p
1
39
p
p(e -1)
1
40
ap
p(e -1)
1
41
-p
p(1-e )
1
42
-ap
p(1-e )
1
43
2 2
p +a
p
44
2 2
p +a
1
45
2 2
p +a
p
46
2 2
p +a
1
47
2 2
p +a
1
48
2 2 2 2
p +a (p+ p +a )
1
49
2 2
(p+a) +b
-1 a
50 tg ( )
p
第六部分拉普拉斯变换AD采样电路
根据拉普拉斯变换
+∞ -st
F(s)=￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt,
0
设φ(s)=F`(s)
F(s)
φ(s)=tgα=
s
-st
φ(s)=tgα=e f(t)dt,
F(s)
α=arctg
s
设w(s)=tgβ
-st
e f(t)
w(t)=tgβ=
t
-st
e f(t)
β=arctg
t
因为α+β=π/2
-st
F(s) e f(t)
arctg +arctg =π/2
s t
-st
F(s) e f(t)
arctg =π/2-arctg
s t
-st
F(s) e f(t)
=tg[π/2-arctg ]
s t
-st
e f(t)
F(s) =tg[π/2 -arctg ]s (1)
t
这样就得到一个计算拉普拉斯变换的公式
同理可证,
-st
e f(t) F(s)
arctg =π/2-arctg
t s
-st
e f(t) F(s)
=tg[π/2-arctg ]
t s
-st F(s)
e f(t) =tg[π/2-arctg ]t
s
F(s) -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e (2)
s
这样就得到一个计算拉普拉斯逆变换的公式
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
1
F(p)=
-ap
p(1+e )
因为,
-st
e f(t)
F(s) =tg[π/2 -arctg ]s (1)
t
-st
e f(t) 1
tg[π/2-arctg ]s=
t -as
s(1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数F(s), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中, 当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下：
F(s) -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e (2)
s
1 -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e
2 -as
s (1+e )
寄存器A和寄存器B里面的数据相互比较，如果两者相等减法器输出0, 此时，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明接收信号就是发射的信号。
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
-ap
1-e
F(p)=
2 -ap
ap (1+e )
因为
F(s) -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e (2)
s
-as
1-e -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e
2 -as
as (1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路.
定积分是把函数在某个区间上的图像[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→∞时所有这些矩形面积的和, 习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距△x是相等的。但必须指出，△x不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”。
S=f(x )△x +f(x )△x +...+f(x )△x
1 1 2 2 n-1 n-1
那么当n→∞时，△x的最大值趋于0，所以所有的△x趋于0，所以S仍然区域积分值。
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。
例如：证明对于函数
x
f(x)=k (k∈Q,k≠-1)有
b a
+∞ bk -ak
∫ f(x)dx=
0 k+1
证明：选择等比级数来分点，令公比
a
k a-b
q= , q=k
b
k
那么矩形面积和为
a a k 2
S =k (aq -a)+k q (aq -aq)
n
a
提取k (aq-a),则有
a (k+1) 2(k+1) (n-1)(k+1)
S =ak (q-1)[1+q +q +...q ]
n
利用等比级数公式，得到
b a
q-1 b a bk -ak
S = (bk -ak )=
n (k+1) N
q -1
其中,
(k+1)
q -1
N=
q-1
1/v
设k=u/v(u,v∈Z),令q =s，则
(k+1)
(k+1) (k+1) s v-1
s v-1 s v-1 s-1
N= = =
v v v
s -1 s -1 s -1
s-1
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为
u+v u
= +1=k+1
v v
根据拉普拉斯变换
+∞ -st
F(s)=￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt,
0
因为,
x
f(x)=k (k∈Q,k≠-1)有
b a
+∞ bk -ak
∫ f(x)dx=
0 k+1
-st
设φ(s)=e f(t)
同理可证：
-bs -as
+∞ -st be f(t)-ae f(t)
∫ e f(t)dt=
0 -s
[e f(t)]+1
所以,
-bs -as
+∞ -st be f(t)-ae f(t)
F(s)=￡[f(t)]=∫ e f(t)dt= (3)
0 -s
[e f(t)]+1
所以,
-bs -as
be f(t)-ae f(t)
F(s)=
-s
[e f(t)]+1
-bs -as
-s be f(t)-ae f(t)
[e f(t)]+1=
F(s)
-bs -as
-s be f(t)-ae f(t)
e f(t)- +1=0
F(s)
1
f(t)=
-bs -as
be -ae -s
-e
F(s)
F(s)
f(t)= (4)
-bs -as -s
be -ae -e F(s)
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
1
F(p)=
-ap
p(1+e )
-bs -as
+∞ -st be f(t)-ae f(t)
F(s)=￡[f(t)]=∫ e f(t)dt= (3)
0 -s
[e f(t)]+1
-bs -as
be f(t)-ae f(t) 1
=
-s -as
[e f(t)]+1 s(1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数F(s), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中, 当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下：
F(s)
f(t)= (4)
-bs -as -s
be -ae -e F(s)
1
-as
s(1+e )
f(t)=
-s
-bs -as e
be -ae -
-as
s(1+e )
-s
-bs -as e
be -ae - -as
s(1+e )
f(t)=
-as
s(1+e )
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
-ap
1-e
F(p)=
2 -ap
ap (1+e )
F(s)
f(t)= (4)
-bs -as -s
be -ae -e F(s)
2 -ms
1 ms (1+e )
f(t)=
-ms -ms
-bs -as -s 1-e 1-e
be -ae -e
2 -ms
ms (1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路.
第七部分梅林变换
根据梅林变换
+∞ s-1
{Mf}(s)=φ(s)= ∫ x f(x)dx
0
逆变换是：
1 +∞ -s
{M φ}(x)=f(x)= ∫ x φ(s)ds
2πi 0
这是在复平面上的垂直线上的线积分。在melin反演定理中给出了这种反演有效的条件。
这个转换以芬兰数学家Hjalmar Mellin命名。
例1，求函数f(t)=1的梅林变换
解：由梅林变换的定义，有
+∞ s-1
φ(s)=M(1)= ∫ x dx
0
1 +∞
= x
2πi 0
1
= (Re(t)>0)
s
例2.求函数f(x)=x的梅林变换
解：由梅林变换的定义有
+∞ s-1
φ(s)=M(s)= ∫ x xdx
0
+∞ s
= ∫ x dx
0
1 s+1 +∞
= x
s+1 0
x
=
s+1
n
例3.求函数f(x)=x 的梅林变换，其中n是正整数，Re(s)>0
解：
n +∞ s-1 n
φ(s)=M(s )= ∫ x x dx
0
+∞ s-1+n
= ∫ x dx
0
1 s+n +∞
= x
s+1 0
n
x
=
s+n
ax
例4.求函数f(x)=e 的梅林变换
解：
ax +∞ s-1 ax
φ(s)=M(e )= ∫ x e dx
0
1 s-1 ax +∞ s-1 +∞ s-2 ax
= x e - ∫ x e dx
a 0 a 0
s-1 s-2 s-1 s-2 s-3
= M[x ]= =M[x ]=...
a a a
(s-1)! (s-1)!
= M[1]=
n n
a sa
下面的内容可参见《富利叶变换》，苏联I.N.Sneddon著，何衍睿，张燮译，科学出版社1958年出版。
1.积分变换式
在相当的一段时期中，人们已经认识到，奥里佛*赫维赛德所创造的用来求解物理学与电工学中的瞬时问题的运算微积。在形式上是等于拉普拉斯变换式的系统应用的。这正是大多数运算微积的近代数本所采用的表现方法。
注：例如，参看
H.Jeffreys,"Operational Methods in Mathematical Ohysics"(剑桥，伦敦，1931）,
J.RCarrson,"Electric Circuit Theory and the Operational Calculus"(MeGraw-Hill,纽约，1926）, N.W.MeLachlan,"Complex Variable and the Operator Calculus"(剑桥，伦敦，1942）；
G.Doetsch,"Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation"(Dover,纽约，1944）
H.S.Carslaw and J.C.Jaeger,"Operational Methods in Applied Matematics"(牛津，纽约，1941）；
R.V.Churchill,"Modern Operational Mathematics in Engineering"(MeGraw-Hill,纽约，1944)
例如说，倘若函数f(x)是由一个微分方程与某些边界条件所决定的。那么在某些场合下，可将f(x)的边值问题化为函数。
∞ -px
φ(p)=∫ f(x)e dx (1)
0
-px
的边值问题比较简便，而这个函数是由f(x)乘以e 再对x由0到∞求积分而得的。
用此种方式所定义的函数φ(p)显然是变数p的函数，它叫做函数f(x)的拉普拉斯变换式。
∞
I (α)=∫ f(x)K(α,x)dx (2)
0
是收敛的，那么由方程（2）便决定变数α的一个函数，这个函数叫做函数f(x)的以K(α,x)为核的积分变换式。此种核的最简单的例子为:
-αx
K(α,x)=e
由它可以引出拉普拉斯变换式（1）。另一个在这种方式下常常用到的核是
α-1
K(α,x)=x
由它可以引出变换式
∞ α-1
F(α)=∫ f(x)x dx (3)
0
梅林最先有系统的研究了这种类型的积分变换式，因而由方程（3）所决定的函数F(α)便叫做函数f(x)的梅林变换式。
注：H.Mellin,Aeta Soc.Fennicae,21,1-115(1896);Acta Math.,25,139(1902)。
当核K(α,x)是正弦或余弦，或者是贝塞而微分方程的解案时，便有特殊的变换式产生，以后我们要定义这些变换式，并讨论它们的一些性质。由定义（2）立刻可以看出，倘若f(x),g(x)是两个函数，它们具有以K(α,x)为核的积分变换式，那么f(x),g(x)之和的积分变换式即为
∞ ∞ ∞
∫ (f+g)K(α,x)dx=∫ f(x)K(α,x)dx+∫ g(x)K(α,x)dx
0 0 0
也就是说，它等于函数f(x),g(x)的积分变换式之和，其次，倘若c是一个常数，那么
∞ ∞
∫ cf(x)K(α,x)dx=c∫ f(x)K(α,x)dx
0 0
这些方程说明了一件事情：将函数f(x)化为它的积分变换式I (f)的算子是一个线性算子。此时我们也可以将方程(2)看作是函数f(x)与I (f)之间的一种变换。并利用巴拿哈空
α
间的性质来建立此种类型的变换的抽象理论，这种方案在数学上是极有趣的。
但若我们的主要目的是在数学物理中的应用时，那么这样的做法并不会有多少成果。因此，这里不易作出这种讨论。我们仅仅考虑积分变换式的某些性质，它们在以后的边值问题的分析中是有用的。
定理10.设F(a)为函数f(x)的富利叶变换式，设
1 ∞ iax
F(a)= ∫ f(x)e dx (38)
2π -∞
那么f(x)便可以由F(a)用下面的关系式表出：
1 ∞ -iax
F(a)= ∫ F(a)e dx (38a)
2π -∞
我们注意一点：函数f(x)与它的富利叶变换式F(a)的关系并不是对称的，而函数与它的富利叶余弦及正弦变换式F (a),F (a)的关系却是对称的。这些结果往往也可以用稍微不
c s
同的形式陈述出来。
例如，我们往往把方程（38）与（38a）写成如此的式样比较便利：
倘若
∞ iax
f(a)=∫ f(x)e dx (39)
-∞
那么
1 ∞ -iax
f(x)= ∫ f(x)e dx (39a)
2π -∞
1
将变换式的定义里面的因子 略去
2π
这种写法显然是常用的，但它却破坏了函数f(x)与它的变换式之间的一部分对称性。必须指出，我们只有在如次的情形下，才有权利来应用这些公式：函数f(x)在适当的区间(-∞,∞)或者(0,∞)内满足狄利克莱条件，而且积分
∞
∫ │f(x)│dx
-∞
是收敛的。
6.梅林变换式
6.1梅林变换定理
以前我们已经看到（1），函数f(x)的梅林变换式F(s)是由如次的表达式来定义的：
∞ s-1
F(s)=∫ f(x)x dx (99)
0
倘若在方程（38）中，令
x
ξ=e ,s=e+ia，
那么它便化为下面的式样：
s-c 1 ∞ -c s-1
F( )= ∫ ξ f(lnξ)ξ dξ
i 2π 0
用同样的代换，也可以将（38a）化为
1 ∞ s-c c-s
f(lnξ)= ∫ F( )ξ ds
i 2π 0 i
因此，如果我们令
-1/2 -c
g(ξ)=(2π) ξ f(lnξ )
s-c
G(s)= F( )
i
的话，便得到梅林变换的反演公式如下：
定理15.倘若对于某个k>0而言，积分
∞ k-1
∫ ξ │g(ξ)│dξ
0
是有界的，并设
∞ s-1
G(s)=∫ ξ g(ξ)dξ
0
那么,
1 c+i∞ -s
g(ξ)= ∫ G(s)ξ ds
2πi c-i∞
其中c>k,
函数的各阶导数的梅林变换式之间的关系，没有富利叶变换式与拉普拉斯变换式的情形那样简单，例如，
r r-1 r-1
∞ d f d f s-1 ∞ ∞ d f s-2
∫ x dx=[ x ] -(s-1) ∫ x dx
0 r r-1 0 0 r-1
dx dx dx
因此，倘若我们假设f是如此的函数，使得上式的方括号化为零，那么我们便得到下面的关系式：
(r) (r-1)
F (s)=-(s-1)F (s-1)
r
(r) d f
其中F (s)代表导数 f的梅林变换式。
r
dx
重复应用这种规则，便可以得到
(r) r Γ(s)
F (s)=(-1) F(s-r) (100)
Γ(s-r)
注：Γ(s)表示s!,Γ(s-r)表示(s-r)!
这个公式将已知函数的导数的梅林变换式用函数本身的梅林变换式表出。
6.2关于梅林变换的褶合式定理
设F(s)和G(s)分别为函数f(x)和g(x)的梅林变换式，则由定义可知，乘积f(x)g(x)的梅林变换式为
∞ s-1 ∞ s-1 1 c+i∞ -σ
∫ f(x)g(x)x dx=∫ g(x)x dx ∫ F(σ)x dσ=
0 0 2πi c-i∞
1 c+i∞ -σ ∞ s-σ-1
= ∫ F(σ)x dσ∫ g(x)x dx
2πi c-i∞ 0
1 c+i∞
= ∫ F(σ)G(s-σ)dσ (101)
2πi c-i∞
此式有一特殊情形：
1 ∞ c+i∞ -s
∫f(x)g(x)dx= ∫ g(x)dx ∫ F(s)x ds
2πi 0 c-i∞
1 c+i∞
= ∫ F(s)G(1-s)ds (101a)
2πi c-i∞
放此，我们也可以得到乘积F(s)G(s)的梅林变换式如下：
1 c+i∞ -s
∫ F(s)G(s)x ds=
2πi c-i∞
1 c+i∞ -s ∞ s-1
= ∫ F(s)x ds∫ g(u)u du
2πi c-i∞ 0
∞ du 1 c+i∞ x -s
=∫ g(u) ∫ F(s)( ) ds
0 u 2πi c-i∞ u
∞ x du
=∫ f( )g(u) (102)
0 u u
1 c+i∞ 1 c+i∞ ∞ s-1
∫ F(s)G(s)ds= ∫ F(s)ds∫ g(u)u du=
2πi c-i∞ 2πi c-i∞ 0
∞ du 1 c+i∞ 1 -s
=∫ g(u) ∫ F(s)( ) ds
0 u 2πi c-i∞ u
∞ 1 du
=∫ f( )g(u) (102a)
0 u u
第八部分梅林变换
根据梅林变换
+∞ s-1
{Mf}(s)=φ(s)= ∫ x f(x)dx
0
逆变换是：
1 c+i∞ -s
{M φ}(x)=f(x)= ∫ x φ(s)ds
2πi c-i∞
这是在复平面上的垂直线上的线积分。在melin反演定理中给出了这种反演有效的条件。这个转换以芬兰数学家Hjalmar Mellin命名。
设φ(s)=F`(s)
φ(s)
g(s)=tgα=
s
-st
g(s)=tgα= x f(x)dx
φ(s)
α=arctg
s
设w(s)=tgβ
s-1
x f(x)
w(t)=tgβ=
x
s-1
x f(x)
β=arctg
x
因为α+β=π/2
s-1
φ(s) x f(x)
arctg +arctg =π/2
s x
s-1
φ(s) x f(x)
arctg =π/2-arctg
s x
s-1
φ(s) x f(x)
=tg[π/2-arctg ]
s x
s-1
x f(x)
φ(s)=tg[π/2 -arctg ]s (1)
x
这样就得到一个计算梅林变换的公式,同理可证,
s-1
x f(x) φ(s)
arctg =π/2-arctg
x s
s-1
x f(x) φ(s)
=tg[π/2-arctg ]
x s
s-1 φ(s)
x f(x)=tg[π/2-arctg ]x
s
φ(s) 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x (2)
s
这样就得到一个计算梅林逆变换的公式。
根据梅林变换，得
1
φ(s)=
1
s+
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
s-1
x f(x)
φ(s)=tg[π/2 -arctg ]s (1)
x
s-1
x f(x) 1
tg[π/2 -arctg ]s=
x 1
s+
n
a
这样就得到一个采集方波信号的函数φ(s)，用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中。当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下：
φ(s) 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x (2)
s
1 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x
1
1+
n
sa
根据梅林变换，得
1
s-
n
a
φ(s)=
2 1
as (s+ )
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
因为,
φ(s) 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x (2)
s
1
s-
n
a 2-s
f(x) =tg[π/2-arctg ]x
2 1
as (s+ )
n
a
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t)，用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路。
定积分是把函数在某个区间上的图像[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→∞时所有这些矩形面积的和, 习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距△x是相等的。但必须指出，△x不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”。
S=f(x )△x +f(x )△x +...+f(x )△x
1 1 2 2 n-1 n-1
那么当n→∞时，△x的最大值趋于0，所以所有的△x趋于0，所以S仍然区域积分值。
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。
例如：证明对于函数
k
f(x)=x (k∈Q,k≠-1)有
k+1 k+1
+∞ b -a
∫ f(x)dx=
0 k+1
证明：选择等比级数来分点，令公比
n a b
q= , =q
b a
n 2
b=a*q ,x =a, x =a
0 2
(i+1) i
且△x =x -x =aq -aq
i i+1 i
那么矩形面积和为
k k k 2 k (n-1)k n (n-1)
S =a *(a*q-a)+a *q *(a*q -a*q)+...+a q [aq -aq ] n
n
k
提取a (aq-a),则有
(k+1) (k+1) 2(k+1) (n-1)(k+1)
S =a (q-1)[1+q +q +...+q ]
n
利用等比级数公式，得到
(k+1) (k+1)
q-1 (k+1) (k+1) b -a
S = (b -a )=
n (k+1) N
q -1
其中,
(k+1)
q -1
N=
q-1
1/v
设k=u/v(u,v∈Z),令q =s，则
u+v
(k+1) u+v s v-1
s v-1 s v-1 s-1
N= = =
v v v
s -1 s -1 s -1
s-1
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为
u+v u
= +1=k+1
v v
根据梅林变换
+∞ s-1
{Mf}(s)=φ(s)= ∫ x f(t)dt,
0
因为,
k
f(x)=x (k∈Q,k≠-1)有
k+1 k+1
+∞ b -a
∫ f(x)dx=
0 k+1
s-1
设g(t)=x f(x)dx
同理可证：
s s
+∞ s-1 b f(x)-a f(x)
∫ x f(x)dx=
0 s-1
[x f(x)]+1
所以,
s s
+∞ s-1 b f(x)-a f(x)
{Mf}(s)=φ(s)=∫ x f(x)dx= (3)
0 s-1
[x f(x)]+1
所以,
s s
b f(x)-a f(x)
{Mf}(s)=φ(s)=
s-1
[x f(x)]+1
s s
s-1 b f(x)-a f(x)
[s f(x)]+1=
φ(s)
s s
s-1 b f(x)-a f(x)
x f(x)- +1=0
φ(s)
s s
s-1 b -a
f(x)[x - ]+1=0
φ(s)
1
f(x)=
s s
b -a s-1
-x
φ(s)
φ(s)
f(x)= (4)
s s s-1
b -a -x φ(s)
根据梅林变换，得
1
F(p)=
1
s+
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
因为,
s s
+∞ s-1 b f(x)-a f(x)
{Mf}(s)=φ(s)=∫ x f(x)dx= (3)
0 s-1
[x f(x)]+1
s s
b f(x)-a f(x) 1
=
s-1 -as
[x f(x)]+1 s(1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数φ(s)，用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。
同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中
当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下：
φ(s)
f(x)= (4)
s s s-1
b -a -x φ(s)
1
-as
s(1+e )
f(t)=
s s s-1 1
b -a -x
-as
s(1+e )
根据梅林变换，得
1
s-
n
a
φ(s)=
2 1
as (s+ )
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
因为,
φ(s)
f(x)= (4)
s s s-1
b -a -x φ(s)
1
s-
n
m
2 1
ms (s+ )
n
m
f(x)=
1
s-
n
s s s-1 m
b -a -x
2 1
ms (s+ )
n
m
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路。
