按照珠算口诀进行计算的数字计算机
按照珠算口诀进行计算的数字计算机是一种按照珠算口诀进行逻辑判断，并安排加法器，乘法器，除法器，减法器的数字计算机。它用LED灯显示计算结果，一个LED灯和算盘上面的一个珠子对应，算盘上出现几个珠子，就会显示LED灯。
从键盘输入的计算程序，存储在磁带上面，经过数字运算符号判断电路以后，进入相应的计算电路。例如，输入程序中出现+符号，计算机经过与门判断后进入加法计算电路。例如，输入程序中出现*符号，计算机经过与门判断后进入乘法计算电路。
从键盘输入的计算程序，存储在磁带上面，经过个位数十位数百位数判断电路以后，进入相应的计算电路。例如，输入程序中出现85，计算机经过与门判断后进入十位数计算电路。例如，输入程序中出现5，计算机经过与门判断后进入个位数计算电路。
当相加，相乘的两个数得到的和或积大于十需要进位，改变口诀时，进位判断电路进行判断选择。
电路如下图所示：
键盘输入的程序按每行保存在磁带中，程序语句判断电路根据键盘输入的程序的关键字判断电路执行相应的操作，例如输入2*3，电路执行乘法操作，程序语句判断控制电路根据键盘输入的程序的关键字控制电路的工作，例如输入for，电路将上面计算电路执行多次。
它的相关资料下载网址为：
链接:https://pan.baidu.com/s/1eVtZGDNd_W20PDJ_Z159aA?pwd=9239
提取码:9239
链接:https://pan.baidu.com/s/17UhzYA1T8evXcWSos0jlJg?pwd=t9j5
提取码:t9j5
https://www.aliyundrive.com/s/ufNEQ2TzBe4
https://115.com/s/sw6pvxe33u5?password=odd4#
访问码：odd4
微云文件分享:珠算计算机下载地址:https://share.weiyun.com/Bv1F2FUy
https://kdocs.cn/join/ge5wqfb?f=101
该计算器首先通过晶振产生32768HZ的谐振方波信号，再经过分频电路将这个方波信号的频率降低为100HZ,，即周期为0.01秒，再将这个100HZ的信号接入到按键的公共端，按键共有60个，它们的一端接到一起，另外一端分别接到倍频器上。相当于这些按键并联在一起，当某个按键被按下时，100HZ的信号就会接入到倍频器上，经过倍频后，频率变为1HZ，
为什么按键上面的频率是100HZ，这是因为100HZ的频率，周期是1毫秒，通常使用者按下按键的时间在1毫秒左右，所以，只有这个频率的信号才会在按下按键时输入到后级电路中。键值计算电路由十进制转二进制电路组成，当有数字键按下时，对应的数字按键输出端输出对应的数值。数值按键的输出端接上或门，或门两两相接，最后输出一个或门，当有任何计算符号按键按下时，或门输出高电平，或门后面接上计数器，计数器记录按键按下的次数，当有按键按下时，计数器将对应的次数输入到加法器，加法器给键值乘以10，100，1000，等倍数。当连续按2次按键时，需要用乘法器给键值乘以10，连续按下3次按键时，需要用乘法器给键值乘以100，依次类推。所有数值按键的输出端连接到一起，输出到计算符号电路，进行计算。计算符号编码电路产生对应计算符号的编码，输送给计算符号按键电路。用计算符号按键输入计算符号+-×÷,cos,sin,ln,log,等，
当RS触发器的输入端R,S都是1时，触发器保持输出端没有变化。利用这个特点，当按键输入高电平1时，电路输出高电平1给存储器，当按键断开输入低电平0时，RS触发器仍然给存储器输入1，当清零键按下时，RS触发器的S端输入0，触发器给存储器输入0，存储器清零。
当有按键按下时RS触发器Q输出1， Q 输出0，按下清零键以后，RS触发器Q端输出0， Q 端输出0
按键编码器产生二进制编码，每个编码对应一个按键。
当数字键1，按下时，这个与门输出0000001给后面计算电路，所有按键存储器后面两两之间接上或门，或门后面再接上或门，最后接上计数器，当按键按下时，计数器变为1，对应的存储器输出对应键值。当按键按下第二次时，计数器输出2，输出两位数字，当按键按下第三次时，计数器输出3，输出三位数字。
经过两个异或门和一个或门以后输出高电平111111111，这使后面的与门输出按键的数值到寄存器1，
当开始输入时，按清零键，计算机按键输入为0.此时，开始输入字符，将字符输入到寄存器1，
按键输入的程序存储在磁带A上面，超强磁性磁带的基材由50%醋酸酯DAC，50%醋酸酯TAC构成，超强磁性磁带的磁性粉末粘合剂有1%氯乙烯，1%醋酸乙烯共聚体，1%苯乙烯-丁二烯共聚体，1%硝化纤维素。1%纤维素，1%丁腈橡胶，1%丙烯酸酯橡胶，1%无定形聚酯，1%氨酯橡胶，1%聚氨基甲酸乙酯树脂，环氧树脂，密胺树脂，1%醋酸乙烯，1%丙烯酸酯丁基系的软质树脂，超强磁性磁带的磁性粉末分散剂由10ml乙醇，20g尿素，10ml双氧水，10g蔗糖，20g聚乙二醇4000，油酸钾皂试剂20g，黄色色素10g,司盘80试剂10ml，氧化铝10g，氨水50g，大豆油10g，α-烯基磺酸钠5g,十二烷基苯磺酸钠5g,烯丙基磺酸钠5g,二甲苯磺酸钠5g，椰子油脂肪酸渗透二乙醇酰胺6501日化，1%卵磷脂组成，磁性粉末稳定剂有对氯乙烯系粘合剂，使用硬脂酸钡等金属无机盐。磁性粉末防带静电剂是在磁性层内渗入炭黑或石墨等固体导电粉末。超强磁性磁带的磁性粉由二氧化铬，三氧化二铁，铬化铁，氧化镍，氧化钴，氧化钇，镝，二氧化锰。把磁性粉末，粘合剂，增塑剂，稳定剂，分散剂，加入水中，使各个磁性粉末相互溶解到水里，再球磨机混合均匀，最后用刮片涂覆到基材上面。
注意：收音机磁带使用涂着四氧化三铁的硝酸纤维素条，铁芯（铁氧体/羟基铁芯），0.32-0.45mm变压器钢片，线圈（0.08mm漆包线1200-1500匝），放音头间隙0.02mm，工作间隙0.5mm，磷铜萡/黄铜箔，
磁带录音机电路如下：
按键电路如下：
例如，键盘输入258+65，计算机经过判断进入加法计算电路，再根据每位数字按照珠算口诀的逻辑进行计算，最后显示出来。
第一部分 珠算计算机计算电路
下面的资料可参见《珠算》，人民教育出版社1965年出版。
一算盘的认识，记数法和拨珠法。算盘图：
算盘上每一档（或叫杆）代表一个数位。我们可以任意选定一档作个位，在对准这一档的梁上作个记号。从这一档起向左数，就是十位、百位、千位......
算珠都靠框，表示算盘上没有数。记数的时候要拨珠靠梁。一个下珠表示1个单位，一个上珠表示5个单位。在个位上拨一个下珠靠梁就是1，拨两个下珠靠梁就是2... 拨一个上珠靠梁就是5(5通常用一个上珠靠梁来表示，不用五个下珠靠梁来表示），拨一个上珠和一个下珠靠梁就是6，拨一个上珠和两个下珠靠梁就是7...... 下图所表示的就是从1到9这九个数。
同样在十位、百位、千位上拨珠靠梁就分别表示几十、几百、几千.....例如：
用发光二极管表示算盘的珠子和小数点记号，这样组成的LED显示器显示的数字就可以表示算盘珠子代表的数字。当珠子移动时，发光二极管就会发光，如下图所示、
例1，123+456=579
加6，六上六，加5十，五上五，加4百，四下五去一。
用算盘计算两个数的加法，是将加数A的个位，十位，百位等分别和加数B的个位，十位，百位，经过判断后利用加法口诀进行相加，最后再将这些数加到一起，经过或门的判断，输出高电平，例如输入数字5，与门导通，输出代表进位的二进制代码，或门导通，输出代表进位的代码。
例如，当7+7时，就是电路就要选择七上二去五进一，最后输出计算结果14，到显示译码器。
例2，585-668=917。
减8，八退一还二，减5十，六去六，减6百，六退一还四。
用算盘计算两个数的减法，是将减数A的个位，十位，百位等分别和被减数B的个位，十位，百位，经过判断后利用减法口诀进行相减，最后再将这些数加到一起，例如，当13-5时，就是电路就要选择五退一还五，最后输出计算结果8，到显示译码器。
例1，8×56=448。
改作四十，五八四十，加四十八，六八四十八，
例如，当3×4时，就是电路就要选择三四一十二，最后输出计算结果12，到显示译码器。译码器将数值变成LED发光二极管的驱动电平，使代表算盘数值的LED等发光。用算盘计算乘法，是将乘数拆解成个位，十位，百位等分别和被乘数的个位百位等相乘，再将得到的数相加。
例1，308÷2=154
注意：被除数中间的0，可以跳过去不除。逢二进一，二一添作五，逢八进四。
例1，68÷3=23Example1，68÷3=23
三三得九，用除数（3）去除被除数十位数（6），商2.，除数（3）和商（2）相乘得6，从北除数里减去，去六，用除数（3）去除被除数个位数（9）商3. 除数（3）和商数（3）相乘得9，从被除数里减去。去九。
商除法计算电路
第二部分 珠算
下面的资料可参见《珠算》，人民教育出版社1965年出版。
一算盘的认识，记数法和拨珠法。算盘图：
算盘上每一档（或叫杆）代表一个数位。我们可以任意选定一档作个位，在对准这一档的梁上作个记号。从这一档起向左数，就是十位、百位、千位......
算珠都靠框，表示算盘上没有数。记数的时候要拨珠靠梁。一个下珠表示1个单位，一个上珠表示5个单位。在个位上拨一个下珠靠梁就是1，拨两个下珠靠梁就是2... 拨一个上珠靠梁就是5(5通常用一个上珠靠梁来表示，不用五个下珠靠梁来表示），拨一个上珠和一个下珠靠梁就是6，拨一个上珠和两个下珠靠梁就是7...... 下图所表示的就是从1到9这九个数。
同样在十位、百位、千位上拨珠靠梁就分别表示几十、几百、几千.....例如：
二、整数加法
作珠算加法可以按照口诀拨珠。加法口诀一共有26句，分成下面的四种类型。
（1）“上几“的口诀。这类口诀，一共9句。
一上一，二上二，三上三，四上四，五上五，六上六，七上七，八上八，九上九，
口诀里的头一个数字是要加上的数，“上几”说明怎样拨珠。
例如：
1+1，一上一，5+5，五上五，6+6，六上六
注：靠梁的黑柱表示原有的珠，白珠表示新拨的珠。两个数相加，和不满10，要加上的数能够直接拨在本档上，不需要动算盘上原有的珠的，用“上几”的口诀。
(2)“下五去几”的口诀。这类口诀一共有4句。
一下五去四, 二下五去三，三下五去二，四下五去一，口诀里头的一个数字是要加上的数，“下五去几”说明怎样拨珠。
例如：
4+1，一下五去四,,1+5，二下五去三,1+5，四下五去一
两个数相加，和不满10，相加后本档上的下珠满了5，需要拨下一个上珠，同时拨去几个下珠的，用“下五去几”的口诀。用珠算作加法，要按照数位从高位加起。
例1，23+456=579。
121，加4百，四下五去一，加5十，五上五，加6，六上六。
练习题：5678+4321,4444+1234.12345+54321，4321+5678,4444+4321,54321+1234。
(3)“去几进一”的口诀。这类口诀一共有9句。
一去九进一，二去八进一，三去七进一，四去六进一，五去五进一，六去四进一，七去三进一，八去二进一，九去一进一。
口诀里的头一个数字是要加上的数，“去几进一”说明怎样拨珠。
例如：
9+1，一去九进一，7+3，三去七进一，5+5，五去五进一，4+6，六去四进一。
两个数相加，和满10，需要从本档去几与要加上的数凑成10，进到前一位，而且要去的数能够直接从本档上拨去的，用“去几进一”的口诀。
(4)“上几去五进一”的口诀。这类口诀一共有4句。
六上一去五进一，七上二去五进一，八上三去五进一，九上四去五进一，口诀里的头一个数字是要加上的数，“上几去五进一”说明怎样拨珠。
例如：
5+6，六上一去五进一，7+7，七上二去五进一，6+8，八上三去五进一。
两个数相加，和满10，需要从本档去几与要加上的数凑成10，进到前一位，要去的数不能够直接从本档上拨去，必须在本档先拨上几个下珠，同时拨去一个上珠的，用“上几去五进一”的口诀。
例2,7755+3467=11222。
7755，加3千，三去七进一，加4百，四去六进一，加6十，六上一去五进一，加7，七上二去五进一。
例3，595+4005+800=5400。
595，加4千，四上四，加5，五去五进一，一去九进一，加8百，八上三去五进一，一下五去四。
练习题：99999+12345,5555+6789,56789+54321,76543+56789。
为了便于记忆，现在把上述四类口诀，列成一个总表。
“上几的”的口诀
一上一，二上二，三上三，四上四，五上五，六上六，七上七，八上八，九上九，
“下五去几”的口诀
一下五去四, 二下五去三，三下五去二，四下五去一，
“去几进一”的口诀
一去九进一，二去八进一，三去七进一，四去六进一，五去五进一，六去四进一，七去三进一，八去二进一，九去一进一。
“上几去五进一”的口诀
六上一去五进一，七上二去五进一，八上三去五进一，九上四去五进一，口诀里的头一个数字是要加上的数，“上几去五进一”
上表横着看，第一行是加1的口诀，第2行是加2的口诀......除加5只有两句口诀除外，其余都有三句口诀。在一个数的上面加上几，首先的判断用那句口诀。例如，在一个数的上面加2，首先得判断用“二上二”，“二下五去三”，还是“二去八进一”。如果能够按照加1，加2......的顺序，把口诀背得很熟，判断起来就比较方便。
三，整数减法3。
作珠算减法可以按照口诀拨珠。减法口诀一共有22句，分成下面的四种类型。
（1）“去几”的口诀。这类口诀一共有9句。
一去一，二去二，三去三，四去四，五去五，六去六，七去七，八去八，九去九，
口诀里头的头一个数字是要减去的数，“去几”说明怎样拨珠。
例如：
1-1，一去一，7-5，五去五，8-6，六去六。
在作减法的时候，本档下珠够减，上珠也够减的，用“去几”的口诀。
（2）“上几去五”的口诀。这类口诀一共有4句。
一上四去五，二上三去五，三上二去五，四上一去五。
口诀里的头一个数字是要减去的数，“上几去五”说明怎样拨珠。
例如：
5-1，一上四去五，7-4，四上一去五，6-3，三上二去五。
在作减法的时候，本档下珠不够减，需要拨上几个下珠，同时拨去一个上珠的，用“上几去五”的口诀。用珠算作减法，要按照数位从高位减起。
例1,5876-2530=3346。
5876，减2千，二上三去五，减5百，五去五，减3十，三上二去五。
练习题2468-1357，5555-4321，678-1234，9999-24689。
(3)"退一还几“的口诀。
这类口诀一共有9句。
一退一还九，二退一还八，三退一还七，四退一还六，五退一还五，六退一还四，七退一还三，八退一还二，九退一还一。
口诀里的头一个数字是要减去的数，“退一还几”说明怎样拨珠。
例如：
10-1，一退一还九，13-5，五退一还五，15-6，六退一还四。
在作减法的时候，本位不够减，需要从上位退1（就是本位上的10），减去减数的，用“退一还几”的口诀。
例2，585-668=917。
1585，减6百，六退一还四，减5十，六去六，减8，八退一还二。
练习题：1000010000-123456789，111011110-987654321.
为了便于记忆，现在把上述三类口诀，列成一个总表。
（1）“去几”的口诀。
一去一，二去二，三去三，四去四，五去五，六去六，七去七，八去八，九去九，
（2）“上几去五”的口诀。
一上四去五，二上三去五，三上二去五，四上一去五。
(3)"退一还几“的口诀。
一退一还九，二退一还八，三退一还七，四退一还六，五退一还五，六退一还四，七退一还三，八退一还二，九退一还一。
把上表横着看，第1行是减1的口诀，第2行是减2的口诀......。减1到减4，都有三句口诀，减5到减9都有两句口诀。减1到减4，都有三句口诀，减5到减9都有两句口诀。从一个数里减去几，首先得判断用那句口诀。例如，从一个数里减去2，首先得判断用“二去二”，“二上三去五”，还是“二退一还八”。如果能够按照减1、减2......的顺序，把口诀背得很熟，判断起来就比较方便。
例3，8520-2040-735=5745。
（1）先从8520里减去2040。
8520，减2千，二去二，减4十，四退一还六，一上四去五。
（2）再从6480里减去735。
减7百，七退一还三，(三下五去二)，减3十，三去三，减5，五退一还五，一上四去五。
四，整数乘法
珠算乘法里的口诀和笔算里的完全相同，一共有45句，通常叫“小九九”。同时还有大九九乘法表。就是11,12,13,14,15,16,17，18,19相互乘的口诀。
1.乘数是一位数的乘法。
在乘以前，先要定好积的个位。乘数是一位数，就从被乘数的个位起，向右数一位，定为积的个位。乘数是一位数，乘的时候，用乘数从右到左依次去乘被乘数的每一位。每一次乘得的结果不满十的，要把本位上的数拨去，同时把乘得的结果拨在本位的右边一位上。
例如3×2得6，打法见图一。乘得的结果是整十的，要就本位上的数改记。
例如5×2得10，打法见图二。
乘得的结果是几十几的，要把几十改记在本位上，把几加在本位的右边一位上。
例如7×2得14，打法见图三。
二三得六，1，去三，2，加六，二五一十，改作一十。二七十四，1，改作一，2，加四。
例1，358×7=2506。
七八五十六，1，改作五，2，加六。五七三十五，三七二十一。
例2，8050×8=64400。
注意：被乘数里边有0的可以跳过去不乘，写得数的时候，不要把积里的0漏掉。
2.乘数是两位数的乘法。
在乘以前，先要定好积的个位。乘数是两位数，就从被乘数的个位起，向右两位，定为积的个位。乘数是两位数，乘的时候，先用乘数的每一位去乘被乘数的个位，再用乘数的每一位去乘被乘数的十位，然后去乘百位...。用乘数去乘被乘数的某一位，要先用乘数的第二位（从左边数起）去乘，再用第一位去乘。用乘数第二位去乘被乘数的某一位，乘得的结果不满十的，拨在本位的右边第二位；满十的，就把十位上的数拨在本位的右边第一位。用乘数的第一位去乘被乘数的某一位，乘得的结果不满十的，把本位上的数拨去，同时把乘得的结果拨在本位的右边第一位；满十的，就把十位上的数记在本位上。
例1，8×56=448。
六八四十八，加四十八，五八四十，改作四十。
例2，105×18=1890。
五八四十，一五得五，一八得八，一五得一。
3.乘数是三位数以上的乘法。
在乘以前，先要定好积的个位。乘数是几位数，就从被乘数的个位向右数几位，定为积的个位。乘数是三位数以上的数，乘的时候，先用乘数的每一位去乘被乘数的个位，再用乘数的每一位去乘被乘数的十位，然后去乘百位......。用乘数去乘被乘数的某一位，要先用乘数的第二位（从左边数起）去乘，再用第三位去乘，再用第四位去乘......最后才用第一位去乘。上面讲的方法叫“留头乘”。用”留头乘“计算多位数乘法，乘数的每一位去乘被乘数的某一位，乘的顺序和每一次乘得的积拨在什么位置，可以用下图来表示：
1，用乘数第二位数乘得的积，2.用乘数第三位数乘得的积，3.用乘数第四位数乘得的积，最后用乘数第一位数乘得的积。
例1，423×542=229266。
三四十二，二三得六，三五十五，二四得八，二二得四，二五一十，四四十六，二四得八，四五二十。
例2，850×240=204000。
注意：乘数末尾的0，在定积的个位的时候，不要把它漏掉，但是在计算的时候，可以不去管它。（乘得的积）。
例3，41×2005=82205Example 3，41 × 2005=82205。
一五得五，一二得二，四五二十，二四得八，注意：乘数中间的0，可以跳过去不乘，但要注意乘数里跳过了几个0，拨珠的时候也要跳过几位。
4.底珠和顶珠的应用。
在乘的过程中，当一档上的数满十，又不能向它左边一档上进位的时候，要用到底珠、顶珠。当一档上的数超过十五，又不能向它左边一档上进位的时候，要用到“悬珠”。悬珠一珠代表”十“。例如在计算86×68的过程中，就要用到底珠，如图一。在计算98×79的过程中，就要用到顶珠，如图二。在计算299×898的过程中，就要用到悬珠，如图三。
八八六十四，（要用底珠），九九八十一，（要用顶珠），九九八十一，（要用悬珠）。
练习题：1.999×999，99,9×9999（得数分别是998001,99980001，平常叫“孤雁出群”。）
2.123456789×99计算多位乘法，遇到被乘数的某一位上是1、2、3的时候，就不要再用一般的方法去乘，可以用加法来代替乘法。
例，21×345=7245。
一退三四五，去一，加三四五，一退三四五，去一，加三四五，一退三四五，去一，加三四五。计算多位数乘法时，使用这种算法，能使计算简便迅速。
五，整数除法。
珠算除法有“归除法”和“商除法”两种。“归除法”利用归除口诀来计算，“商除法”采用笔算里的“试商”方法。在这一单元里讲“归除法”，在本书的附录里讲“商除法”。珠算除法要把除数拨在左边，被除数拨在右边，除数和被除数中间要隔开两、三档，以便于把除得的商打在哪里。
1.除法是一位数的除法。
在除以前，先要定好商的个位。除数是一位数，从被除数的个位起，向左数一位，定为商的个位。除数是一位数，除的时候，用除数从左到右依次去除被除数的每一位。除数是一位数的除法，在归除法里叫做“归”，除数是1的叫做“一归”，除数是2的叫做“二归”，除数是3的叫做“三归”......。
(1)用2除（二归），二归的口诀，一共有5句。
二一添作五，逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四。“二一添作五”这句口诀里的第一个数字“二”表示除数是2，第二个数字“一”表示被除数是10，末一个数字“五”表示商是5。用2除10，商5.在算盘上的打法是，把5打在被除数的十位上，同时把十位上原有的一株拨去。“逢二进一”这句口诀里的第一个数字“二”表示被除数是20，第二个数字“一”表示商是10，用2除20，商10. 在算盘上的打法是，先把被除数十位上原有的二珠拨去，再在它的左边一位上打上“1”（表示商10）。“逢四进二”......三句口诀的道理和“逢二进一”类似。
二一添作五，改作五，逢二进一，2，加二，1，去二。
例1，308÷2=154。
逢二进一，二一添作五，逢八进四。
注意：被除数中间的0，可以跳过去不除。
(2)用3除（三归），
三归的口诀，一共有5句。
三一三十一，三二六十二，逢三进一，逢六进二，逢九进三。
“三一三十一”这句口诀里的第一个数字“三”表示数是三，第二个数字“一”表示被除数是一十，第三个数字“三”表示商是三，末一数字表示余数是一。用3除10，商3余1.在算盘上的打法是，把被除数十位上的1改作商3，把余数1打在它的右边一位上。“三二六十二”这句口诀的道理和“三一三十一”类似。
逢二进一，1，改作三，2，加一，
例2，717÷2=239。
逢六进一，三一三十一，三二六十二，逢九进三。
（3）用4除（四归），四归的口诀，一共有5句。
四一二十二，四二添作五，四三七十三，逢十进一，逢八进二。
例3，789÷4=197......1。
逢四进一，逢八进二，四二添做五，逢八进二。
注：被除数个位上剩下的1，比除数4小，就不要再除了。1是余数。注意：用乘法验算有余数的除法，要从商的末位乘起，把乘得的结果加在余数上，不要从余数位乘起。例如验算上面的例2，应该按照下面的顺序：
四七二十八，四九三十六，一四得四。
（4）用5除（五归）。五归的口诀，一共有5句。
五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八，逢五进一。“五几倍作几”口诀里的第一个数字“五”表示除数是5，第二个数字表示被除数是几十，末一个数字表示商是几。5除10，商2.在算盘上的打法是，把被除数十位上的1改作2.。
例4，390÷5=78。
五三倍作六，逢五进一，五四倍作八。
（5）用6除（六归）。六归的口诀，一共有7句。
六一下加四，六二三十二，六三添做五，六四六十四，六五八十二，逢六进一，逢双六进二。“六一下加四”这句口诀里第一个数字“六”表示除数是6，第二个数字“一”表示被除数是10，第三个数字“四”表示余数是4. 用6除10商1余4，在算盘上的打法是：把被除数十位上的1改作商，不动，把余数4打在它右边的一位上。
六下一加四，1，不动，2，加4,
例5，7080÷6=1180。
逢六进一，六一下加四，六四六十四，逢双六进二。
（6）用7除（七归）。七归的口诀，一共有8句。
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进一，逢双七进二。
例6，4053÷7=579。
七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进一。
（7）用8除（八归）。八归的口诀，一共有8句。
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添做五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进一。
例7，3920÷8=490。
八三下加六，逢八进一，八七八十六，逢八进一。
（8）用9除（九归）。九归的口诀，一共有9句。
九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九进一。
例8，783÷9=37。
九七下加七，逢九进一，九六下加六，逢九进一。
2.除数是两位数的除法。
在除以前，先要定好商的个位。除数是两位数，就从被除数的个位向左数两位，定为商的个位。除数是两位数，除的时候，先要除数的第一位（从左边数起）去除被除数的第一位，求出商的第一位；再从被除数里，减去这一位商和除数第二位相乘的积。用同样的方法，继续去除被除数里余下的数，就可以求出商的第二位、第三位......。
例1，98÷49=2。
逢八进二，二九十八，
注：图下边的弧线表示除，图上边的弧线表示乘。
例2，1175÷47=25。
第一步：先用47去除被除数里的前三位数（从左边起）“117”。
二退一还二，1，去一，2，加二，
四一二十二，二七十四。
第二部：再用47去除“235”。
四二添作五，五七三十五，
注意：如果被除数和除数末尾有0，在定商的个位的时候，不要把0遗漏，在计算的时候可以不去管它。用除数的十位上的数去除被除数某一位上的数的时候，求出的商，如果它右边一位上余下的数大于（或等于）除数十位上的数，需要把这一位商增大的，就用“逢几进几”口诀，把这一位商增大。
例3，1826÷83=22。
八一下加二，逢八进一，二三得六，八一下加二，逢八进一，二三得六，
用除数的十位上的数去除被除数某一位上的数的时候，求出的商，和除数的个位上的数相乘，从被除数里减去，如果不够减，就要用“几退一还几”的口诀，把这一位减小。除数首位是几，就退一还几。“几退一还几”的口诀，一共有9句。一退一还一，二退一还二，三退一还三，四退一还四，五退一换五，六退一还六，七退一还七，八退一还八，九退一还九。口诀里的第一个数字表示除数的第一位数是几，第二个数字表示商减小的数，末一个数字表示在下一位上加上的数。
例4，112÷39=3.25。
二一添作五，二退一还二，三九二十七，
用除数的十位上的数去除被除数某一位上的数的时候，如果这两位上的数正好相同，但是被除数的下一位数比除数的个位上的数小，就要用“见几无除作九几”的口诀。这类口诀。也叫“撞归”口诀。“见几无除作九几（撞归）”的口诀，一共有9句。见一无除作九一，见二无除作九二，见三无除作九三，见四无除作九四，见五无除作九五，见六无除作九六，见七无除作九七，见八无除作九八，见九无除作九九。口诀里的“见一”、“见二”......是指除数和被除数的最高位上的数都是“1”，“2”，......“无除”是指不够减。（就是如果用“逢几进几”的口诀得商10，那么商与除数第二位数的积大于被除数的第二位数），“作九一”、“作九二”......表示把被除数的最高位上的数改作商9，同时在下一位上加上“1”，“2”......。“作九一”、“作九二”......表示把被除数的最高位上的数改作商9，同时在下一位上加上“1”，“2”......。如果用“见几无除作九几”的口诀求出的商还大，就要再用“几退一还几”的口诀把这一位商减小。
例5，1275÷13=98。
先就求商的首位来看，“127÷13”商不能是10，最多只能是9. 就“100÷10”说，商9，去掉90，还剩下10，就用口诀“见一无除作九一”。
见一无除作九一，1，改作九，2，加一，三九二十七，
见一无除作九一，1，改作九，2，加一2,
一退一还一，1，去一。2，加一，
三八二十四。
3.除数是3位以上的除法，
在除以前，先要定好商的个位。除数是几位数，就从被除数的个位向左数几位，定为商的个位。除数是三位数以上的数，除的时候，先用除数的第一位（从左边数起）去除被除数的第一位，求出商的第一位；再从被除数里，逐次减去这一位商和除数第二位、第三位、第四位......相乘的积。用同样的方法，继续去除被除数里余下的数，就可以求出商的第二位、第三位......。
计算多位除法，没求出一位商，除的顺序和怎样从被除数减去这一位商和除数相乘的积，
可以用下图来表示：
1，用口诀求得商，
2，减去商与除数第二位相乘的积，
3.减去商与除数第三位相乘的积。
例1，12915÷315=41。
三一三十一，逢三进一，一四得四，去四，
四五二十，去二十，逢三进一，一一得一，一五得五。
例2，9027÷3009=3Example2，9027÷3009=3。
逢九进三，三九二十七，
注意：除数中间的0，可以跳过去不除，但要注意除数里跳过了几个0，拨珠的时候也要跳过几位。计算多位数除法，遇到被除数的1、2、3倍的时候，就不要用一般方法去除，可以用减法来代替除法。
例，2556÷213=12。
一去二一三，商一，去二一三，一去二一三，商一，去二一三，一去二一三，加商一，去二一三，计算多位数除法的时候，间用这种算法，能使计算简便迅速。
附录，商除法
商除法是就被除数和除数比较，看看能得出商几来，所以叫“商除法”。商除法和归除法一样，也是把余数打在算盘的左边，被除数打在右边，除数和被除数中间要隔开两、三档，以便于把除得的商打在那里。
1.除数是一位数的整数除法。
除数是一位数的商除法，先用除数去除被除数的最高一位。如果够除，就把商拨在被除数最高位左边隔一位上；如果不够除，就去除前两位，把除得的商拨在被除数最高位左边一位上。为了好记，把它编成口诀，就是“够除隔位商，不够除挨位商”。再由被除数的最高一位数或前两位数，减去商和除数相乘的积。然后用除数去除所得的余数。这样继续下去，直到除尽或余数小于除数的时候为止。如果被除数里有0，可以跳过去不除。在除以前，先要定好商的个位。在除以前，先要定好商的个位。除数是一位数，就从被除数的个位向左数两位，定为商的个位。
例1，68÷3=23。
用除数（3）去除被除数十位数（6），商2. 二三得六，去六，除数（3）和商（2）相乘得6，从北除数里减去。商三，用除数（3）去除被除数个位数（9）商3. 三三得九，去九，除数（3）和商数（3）相乘得9，从被除数里减去。
例2，296÷4=74。
商七，四七二十八，去二十八，商四，四四十六，去十六。
2.除数是两位数的整数除法。
在除以前，先要定好商的个位。除数是两位数，就从被除数的个位向左数三位，定为商的个位。除数是两位数，在试商的时候，可以按照笔算里的方法来试。
例1，615÷41=15。
第一步：把除数41看做40，试除被除数的前两位数“61”，够商1，就在被除数最高位左边隔一位上打上1. 然后由被除数的前两位数（61）里，减去商（1）和除数（41）的积（41），得20. 20和原来被除数里的末位数（5）合在一起，得205，就是被除数还余205.
商一，一四得四，去四，一一得一，去一，
第二步：再用41（看做40）去试除被除数里的“205”，够商5，就在205的左边一位上打上5. 然后由205里减去商（5）和除数（4）的积（205），得0，没有余数。
商五，四五二十，去二十，一五得五，去五，
例2，3655÷85=43.
第一步：把除数85看做90，试除被除数的前三位数“365”，够商4，就在被除数最高位左边一位上打上4. 然后由被除数的前三位数（365）里，减去商（4）和除数（85）的积（340），得25. 25和原来被除数里的第四位数（5）合在一起，得255，就是被除数还余255.
商四，四八三十二，去三十二，四五二十，去二十。
第二步：再用85（看做90）去试除被除数里的“255”，够商2，就在255的左边一位上打上2. 然后由255里，减去商（2）和除数（85）的积（170），得85. 余数85等于除数，还够商1，所以在2上补商1，减去85.
在商除法里，商小了可以补商，计算上比较简便，所以在试商的时候，可以偏小，不要偏大。补商可以补一次，也可以补两次三次。计算多位数除数，遇到被除数是除数的1、2、3倍的时候，就不要用一般的方法去除，可以用减法来代替除法。
例3，2349÷23=102......3.
第一步：用除数23去除被除数的前两位数“23”，商1.
商一, 一去二三, 去二三.
第二步：再用23去除被除数里的“49”，可以连续商两个“1”，连续减去两个“23”。这时候商是“2”，余数是3.
一去二三, 商一, 去二三, 一去二三 , 补商一, 去二三.
这种用减法来代替除法的方法，通常叫做“大扒皮”法。计算多位数除法的时候，间用“大扒皮”法，能使计算简便迅速。
3.除数是三位数以上的整数除法
除数是三位以上的除法法则，跟除数是两位数的基本相同。在除以前，先要定好商的个位。除数是几位，就从被除数的个位向左数，数到比除数位数多一位的档上，定为商的个位。
例1，14973÷483=31.
第一步：
商三, 三四十二 , 三八二十四, 三三得九, 去九,
第二步：
商一,
例2，85680÷2040=42
第一步：
商三, 四四十六,
第二步：先商1，去204，再补商1，再去204.读者可以自己在算盘上打一打。
注意：
1.除数中间的0，可以跳过去不除，但要注意除数跳过几个0，拨珠的时候也要跳过几位。
2.如果被除数和除数末尾有0，在定商的个位的时候，不要把0遗漏，在计算的时候可以不去管它。
第三部分 用珠算计算开方平方
下面的内容可参见《珠算教程》，梁特猷编著，湖南教育出版社1986年出版。
（三）看数读积
看数是从最高位看起，看时只管盘显数字不管小数点如何，边看数就边默算。方法是：
对最高位计算乘积的十位数和个位数，并在积的个位上加上后位提前进位的数。第二位直到末位，只计算各个乘积的个位数加后位提前进位的数（简称：本个加后进）。如果加得的和是十几，这个“十“不作计算。（因为已在提前进位中算过了），仍然只算这个和的个位数。
[例1]2×750849=1501698
看数读积：（下列各数中加外圈的表示不作计算，也不读这位数）
2×7=14
最高位7的乘积，十位、个位都计算，7后是5，满5进1，14+1=15，所以乘积最高位是1，第二位是5；
2×5=（1）0
从第二位数起只计算乘积的个位数，5后是0，不进位，0+0=0. 所以第三位积是0；
2×0=00，
0后是8，满5进1，+1=1，所以第四位积是1；
2×8=（1）6，
8后是4，不满5不进，6+0=6，所以第五位积是6；
2×4=08，
4后是9，满5进1，8+1=9，所以第六位积是9；
2×9=（1）8，
9后无数，不存在进位，8+0=8，所以积的末位是8.
[例2]3×343367=1030101，
看数读积，
3×3=09，
3后是4，超3进1，9+1=10，所以乘积最高位是1，第二位是0；
3×4=（1）2，
4后是336，超3进1，2+1=3，所以第三位积是3；
3×3=09，
3后是36，超3进1，9+1=（1）0，
（这里和是10，但十位数已在提前进位中算过了，C此处只计算个位数）所以第四位积是0；
3×3=09，
3后是67，超6进2，9+2=（1）1，所以第五位积是1；
3×6=（1）8，
6后是7，超6进2，8+2=（1）0，所以第六位积是0；
3×7=（2）1，
7后无数，不存在进位，1+0=1，所以第七位积是1.
[例3]7×142858=1000006，
看数读积，
7×1=07，
1后是42858，超428571进3，07+3=10，所以最高位积是1，第二位是0；
7×4=（2）8，
4后是2585，超285714进2，8+2=（1）0，所以第三位积是0；
7×2=（1）4，
2后是858，超857142进6，4+6=（1）0，所以第四位积是0；
7×8=（5）6，
8后是58，超571428进4，6+4=（1）0，所以第五位积是0；
7×5=（3）5，
5后是8，超714285进5，5+5=（1）0，所以第六位积是0；
7×8=（5）6，
8后无数，不存在进位，6+0=6，所以末位积是6.
从本例可见看数读积也还有简化的可能。
例如：遇到的数若恰是乘数的倒数，就可以一次看过这几位，使积得100...,
再就尾数的具体情况确定积的末尾数。本例是7×142858，其乘数与7的倒数142857之差不足1，所以在一次定积100...后，只去尾数8与7之乘积（5）6的个位，整个乘积得1000006.
如果是7×142859，乘数与142857之差进2，而2×7的积是14，能进位1，
这时，在一次定积100...后，再加尾数9×7=（6）3的3做末位，还要在其前位上加1.最后得积10000123.、掌握看数读积并不难，要求熟练到看到数顺口就能读积，这要下些功夫。
一定要扎实练习2-9八个乘数对任意数的看数读积。一旦看数读积成了顺口溜，算多位乘、除就能得心应手了。
附：直看读积法，
乘数是9的看积法：
上述方法是依据倒数由“本个加后进”来判断乘积的。当乘数是9时，还可以不记倒数，直接以被乘数为准，根据它的前位数和后位数来判读本位乘积，这样更简便。
其看数读积的口诀是：“后大本减前，否则再减1”。意思是：后位数大于本位数，则积数就是本位数减前位数；如果后位数不大于本位数，则积数应是本位数减前位数再减1.
[例]25337×9=228033，
定位：5位+1位=6位。看读乘积时被乘数头位2的前位看作0.本例看读如下：
2-0............2，
5-2-1.............2，
13-5.............2，
3-3..............0，
7-3-1...............3，
10-7................3，
（四）看数读积多位乘
这也是前面介绍过的倍数流法，只是不用背流口诀，按上述看读数积法直接看数加积。
[例1]38745×269.18=10429379.10，
固定法定位：5位+3位=8位，
拨算程序 盘式
8 7 6 5 4 3 2 1 0
数档拨实数38745 三 八 七 四 五
去五，随加（五×26918）134590 三 八 七 四 1 3 4 5 9
去四，随加（四×26918）107672 三 八 七 1 2 1 1 3 1
去七，随加（七×26918）188426 三 八 2 0 0 5 3 9 1
去八，随加（八×26918）215344 三 2 3 5 3 9 7 9 1
去三，随加（三×26918）080754 1 0 4 2 9 3 7 9 1
[例2]619.23×754.84=467419.57。
固定法定位：3位+3位=6位，
拨算程序 盘式
6 5 4 3 2 1 0
数档拨实数61923 六 一 九 二 三
去三，随加（三×75484）226452 六 一 九 二 2 2 6 4 5
去二，随加（二×75484）150968 六 一 九 1 7 8 6 1 3
去九，随加（九×75484）679356 六 一 6 9 6 7 1 7 3
去一，随加（一×75484）075484 六 1 4 5 1 5 5 7 3
去六，随加（六×75484）452904 4 6 7 4 1 9 5 7 3
从上例可见关键是看数读积的能力。按倒数判断法和直看读积法，从高位起读积，只要读积流利。盘上不过是依次去加罢了。不妨就用上两例，把因数分别作实数，反复练习。
（五）看数读积多位除
掌握了看数读积，则多位除法不过是看盘上被除数够减几倍积，就商几并减该倍数积。
[例一]102538.06÷28.69=3574.00。
固定法定位：6位-2位=4位。
拨算程序 盘式
6 5 4 3 2 1 0
数档拨实数102538.06 1 2 2 5 3 8 0 6
可减（三×2869）08607商三 三 1 6 4 6 8 0 6
可减（五×2869）14345商三 三 五 2 1 2 3 0 6
可减（七×2869）20083商七 三 五 七 1 1 4 7 6 3
可减（四×2869）11476商四 三 五 七 四
[例二]664026÷35468=1872
固定法定位：6位-1位=5位。
拨算程序 盘式
3 2 1 0
数档拨实数 6 6 4 0 2 6
可减（一×35468）035468商一 一 3 0 9 3 4 6
可减（八×35468）283744商八 一 八 2 5 6 0 2
可减（七×35468）248276商七 一 八 七 7 7 4 4
可减（二×35468）070936商二 一 八 七 二 6 5 0
可将乘法和上两例互作验算，反复练习。
三、二项式的活用
我们知道二次二项式的基本公式有：
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b （1）
2 2 2
(a-b) =a -2ab+b （2）
2 2
a -b =(a+b)(a-b) （3）
2 2
(a+b)(a+c)=a +ab+ac+bc=a +a(b+c)+bc （4）
根据这些基本公式，对于很多算题我们都可以利用它来加以简化。
（一）首位相同个位互补
[例一]27×23这是(20+7)(20+3)符合(1)式的基本形式，但7和3不相同。根据（1）式，可把7和3分别看做b、c,则公式演化为
2
(a+b)(a+c)=a +ab+ac+bc
而这里(b+c)=10（互补），所以这个公式变成
2
a +a(b+c)+bc
2
因此，27×23就可以按20 +10*20+7*3计算.
2 2
[例二]85*85这完全符合（1）式，可以按80 +2(80*5)+6 计算。
2 2
且个位5和个位5互补又可以简化为80 +10*80+5
2
[例三]104*106符合例一用的公式，可以按100 +10*100+4*6计算。
（二）首位是1两数相乘
2
按公式(a+b)(a+c)=a +ab+ac+bc，由于a=1,
2
1 还是1，ab、ac的乘积盘显数字还是b、c，
n 2 n n
那么上述公式在这里又直接看做(10 ) +10 b+10 c+bc，运算就更简便。
（二）首位是1的两数相乘
2 2
按公式(a+b)(a+c)=a +ab+ac+bc，由于a=1, 1 还是1，ab,ac的乘积盘显数字还是b、c，
那么上述公式在这里又可以直接看做
n 2 n n
(10 ) +10 b+10 c+bc
运算就更简便。
[例四]1008*1012这可看做,
3 3 3 2 3 3
(10 +8)(10 +12)=(10 ) +10 *8+10 *12+8*12
在算盘上只不过是在相应的位次上加1、加8、加12再加96罢了。
（三）过剩亘数与不足亘数相乘
n n
把过剩亘数看做是10 +b，把不足亘数看做是10 -c，
n n n 2 n n
根据(10 +b)(10 -c)=(10 ) +10 b-10 c-bc去简化。但首先必须区分算题的数据。
当两因数都为过剩或都不足亘数时，根据
n n n n
(10 +b)(10 +c)=10 (10 +b+c)+bc
而,
n n n n
10 +b+c=(10 +b)+(10 +c)-10
去简化；或根据,
n n n n
(10 -b)(10 -c)=10 (10 -b-c)+bc
而其中,
n n n
10 -b-c=(10 -b)+(10 -c)-10
去简化。
两因数为过剩亘数，或两因数一为过剩亘数，一为不足亘数，而b和c互补等等，都可以利用上述公式和数据间互补的关系去寻求最佳的简化拨算的方法。两因数首位互补末位相同，或首位相同末位互补，以及两因数中间位数的数值是“0“等带有规律性的数，这些情况都可以找到简捷的处理方法。
（四）不足亘数与不足亘数相乘
2 2 2
可活用(a-b) =a -2ab+b 这一公式。
n
因为不足亘数都属于(10 -b)形式，只是b值不同。
3 3
[例五]898*997可看做是(10 -101)(10 -3)
3 3 3 3
根据前述演化得10 [(10 -102)+(10 -3)-10 ]+306
n
由于在算盘上10 只是位置标志，无须直接拨数，所以像这类题目，就变得只需把两个不足亘数相加，减最高位1，再加两补数之积，拨算非常方便了。
（五）基数余缺相乘
2 2
这是(a+b)(a-b)=a -b 公式的运用。
2 2
[例六]73*67可看做(70+3)(70-3)，根据上述公式就可化成70 -3
总之，在珠算乘法中运用二次二项式的公式是非常合适而有利的，这里只是略举几例，
也足以说明要提高珠算的技能，是非常需要数学知识的。
（一）增乘开平方
这是北宋数学家贾宪（11世纪）创造的一种随乘增加的“增乘开方法”。用这种“增乘开方法”可求得任意高次展开式系数，也可以进行任意高次幂的开方。我国现代珠算家华印椿第一次把此法用于珠算。本书则运用行列式表述盘式法，更为通俗易懂。
具体程序：
（1）置数：将算盘档位划分为左、中、右三栏，左、中两栏个安排五档，中隔两档即可；
右栏置被开方数，要适当多留几档。这三栏分别称：根栏、方栏、实栏。因此，用此法开方要用十七档以上的算盘。
（2）分节：将被开方数以小数点为准，整数向左，小数向右，每一位为一节，每节对应得一位根。
（3）：求首根：根据被开方数的分节情况，得知首位根的位置，确定根的小数点所在，在根栏置数。
求首根时依次序：
（1）根栏立商（即求初根）：看被开方数头两位相当于什么数的平方，即以此数做商；
（2）以商入方：将立的商加于方栏。应按根乘“方栏”的数值定位置；
（3）乘方除实：以这次定的商数去乘方栏的数，得积，在被开方数中减去；
（4）复商入方：重复将商（根）数加于方栏内。
（4）求其余各位根，运算步骤和上述求首根的四道步骤一样，
只是确定根的数值时是以盘上方栏的数做除数去除被开方数求一位商。简称为“以方约实”。
[例一]√66049=257
本例被开方数为五位整数，故知根为三位整数，安排根、方、实三栏档位时，根、方可各留四挡。小数第二位，则根、方需各留六档。总之，看题就可以估算出根、方、实各栏需要留的档次。
根栏 方栏 实栏
置被开方数（实数） 66049
1，商位立商200，以商入方200 200 200 66049
2.乘方除实200*200，自实中减 200 200 26049
3.以商入方 200 400 26049
以方约实，4除26，可商50留余地
1.商位立商50，以商50入方 250 450 26049
2.乘方除实50*45，自实数中减去 250 450 3549
3.以商入方 250 500 3549
以实约实，5除35，可商7
1，商位立商7，以商7入方 257 507 3549
2.乘方除实7*507，自实数中减去 257 507
开尽。
例二，√94167616=9704
本例中，根栏、方栏需各留五档，实（被开方数）栏需留九档，各档之间要空两档。
根栏 方栏 实栏
置被开方数（实数） 94167616
1，商位立商9000，以商入方9000 9000 9000 94167616
2.乘方除实200*200，自实中减 9000 9000 13167616
3.以商入方 9000 18000 13167616
以方约实，18除131，可商700
1.商位立商700，以商700入方 9700 18700 77616
3.以商入方 9700 19400 77616
以实约实，194除776，可商4
1，商位立商4，以商4入方 9704 19404 77616
2.乘方除实19404*4，自实数中减去 9704 19404
开尽。
（二）递减奇数开平方
这也是我国古代的一种算法，可以从另外一个途径开拓我们的思路。
1.奇数和奇数列的特性
1、7、9、13.........之类平常叫做单数的数，特称奇数。如果按1、3、5、7、9、11......顺序排列下去，就是公差为2（相邻两数之差都是2）的等差数列，称奇数数列。奇数数列很有趣味。让我们先来看：
2
1+3=4=2 √4=(3+1)/2=2
2个
2
1+3+5=9=3 √9=(5+1)/2=3
3个
2
1+3+5+7=16=4 √16=(7+1)/2=4
4个
2
1+3+5+7+9=25=5 √25=(9+1)/2=5
5个
.......... .........
从上面的例子中我们可以看出：
（1）自1起的若干个奇数组成的公差为2的奇数数列的和，等于这一数列所含的奇数的个数的平方。
（2）正有理数的平方根等于一个相应的奇数数列的末项加1的和的一半，即（末项+1）÷2. 因此，从被开方数里依次递减1、3、5、7、9、11......这样的奇数数列，直到被开方数减完时，按照第一条规律数一数共减去了多少个奇数，就可得知这数的平方根是多少。不过，这样做很费事。还可以利用第二条规律，将相应的奇数数列的末项加1除以2（或乘以0.5），也可以得出平方根。这就是用递减奇数可以开平方的原理。
2.凑倍简化递减奇数法
递减奇数开平方，拨算次数较多。近年来经过很多同志先后改进，采用类似累减除法的二倍、五倍累减法，从而大大缩简了拨算手续。这种方法称为凑倍递减开平方，简称凑减法。
凑减法是根据：
设：a=现根（已出现的除末位外的各位根）, b=新根（末位根）,
2 2 2
由于（10a+b) =100a +20ab+b
而b是1至9九个自然数之一,
2 2 2
当b=1时，(10a+1) =100a +20a+1
2 2
b=2，(10a+2) =100a +40a+4
2
=100a +(20a+1)+(20a+3)
2 2
b=3，(10a+3) =100a +60a+9
2
=100a +(20a+1)+(20a+3)+(20a+5)
......
2 2
b=5，(10a+5) =100a +100a+25
从以上各式可见：当a的值已经确定，在求b的时候把a的系数分化作多个20来处理，则余数每次减20a之后就只要意依次递减1起的各个奇数。这样算起来就很简便了。又由于当b=5的时候，只要减(100a+25)，而100a的盘显数字与a一致，例如，a=87，(100a+25)就是8725,可以很方便的看出来。所以，当余数自头位起够减(100a+25)时，就可以直接减(100a+25)，随后在余数最高位的前档拨置根数“五”。因此，(100a+25)又是确定b值能否为5的判别式。如果b在5以上，则先求出“五”，再递减（20a+1)、(20a+3)......，补求本位所差的那部分根数。
[例一]√68644=262.
拨算程序, 盘式
自第二档起置被开方数（第一节06）, 68644
第一档置根“二”，第一节减二的平方, 二 28644
余数减（100a+25)即225，前档置“五”, 二五 6144
余数续减20a(即50）+1，二根补“一”, 二六 1044
余数减20a(即520)+1，三根置“一”, 二六一 523
续减20a(即520)+3，三根补“一”。 二六二
[例二]√142884=378。
拨算程序， 盘式
分节，自第二档起置被开方数第一节14， 142884
就第一节得方根“三”，拨在第一档， 三 142884
在第一节中减首根的平方（三*三）， 三 52884
自余数头位减（300+25），前档置二根“五”， 三五 20384
自余数第二档起减71，二根补“一”。 三六 13284
自余数第二档起续减78，二根补“一”。 三七 5984
自余数头位减（3700+85），前置三根“五”。 三七五 2259
自余数第二档起续减751，三根补“一”。 三七六 1508
自余数第二档起续减753，三根补“一”。 三七七 755
自余数首档起减755，三根补“一”。 三七八
二、求平方法
求一数的平方，一般都用乘法。这里则介绍一种熟练后比乘法要简便的特定方法。
2
[例一]求72
2 2
4 90 4......7 、2 两位基数分别自乘。
+) 28 7 、2 两数之乘积的2倍。
5184
拨算程序， 盘式，
第一档起拨各数字的平方数 4904
第二档起加两基数之乘积的2倍 5182
2
[例二]求517
2 2 2
25，01，49.......5 ，1 ，7
1 01 4 5 1 7 相邻两基数数字积的2倍
+) 70 5 1 7 隔位两数字积的2倍
26 72 89
拨算程序 盘式
第一档起拨各数字的平方数 250149
第二档起加相邻两数字积的2倍 260289
第三档起加隔位两数字积的2倍 267289
初学这种方法，容易错档，计算时，应注意以下几点：
（1）各数的平方数自第一档拨置，以后逐步计算，各步的积依次从第二、第三......档起拨。
（2）同步每加一次新积，应在上次乘积个位的右档起加。
（3）乘积的十位数是“0”，或个位数是“0”，都要各占一个档位。
积是“0，0”则应占两档。
2
[例三]求4859
2 2 2 2
1 6，6 4，2 5，8 1，......,4 ,8 ,5 ,9
6 4, 8 0, 9 0 4 8 5 9 相邻两数字积的2倍
4 1 4 4 4 8 5 9 隔一位两数字积的2倍
+) 7 2 4 8 5 9 隔两位两数字积的2倍
2 3 6 0 9 8 8 1
拨算程序 盘式
第一档起依次拨各数字的平方数 16642581
第二档起加相邻两数字积的2倍 23123481
第三档起加隔一位两数字积的2倍 23537881
第四档起加隔两位两数字积的2倍 23609881
（一）分数加减的运算
珠算作分数加减，同分母的分数加减只需就分子加减；异分母的可采用在大数值分母中减小数值分母来求最小公倍分母，同时相应增减分子的办法去运算。这不仅使分数的加减在算盘上运算成为可能，而且不需要笔算通分后必须作的中间记录，计算速度一般也不比笔算慢。
1.异分母真分数加法
[例一]
871 375 885 295
+ =1 =1
1076 807 3228 1076
下面用方框表示在算盘上玻珠后显示的各数的情况。方框外的数及符号表示这一步应做的运算，为了节省篇幅。将连加减几次改写成乘几。
例如：±374三次写作±374*3，拨算时即可用连加减，也可用空盘乘去求积。
其运算过程如下：
1076 1076 871
-807 +375
269 1076 1246
+1076 +1076 +871
1345 2152 2117
-807 +375
538 2152 2492
+1076 +1076 +871
1614 3228 3363
-807*2 +375*2
0 3228 4113
+1 -3228
1 3228 885
1 1076 295
2.异分母真分数减法
[例二]
175 62 277
- =
908 681 2724
908 908 175
-681 -62
227 908 113
+908 +908 +175
1135 1816 288
-681 -62
454 1816 226
+908 +908 +175
1362 2724 401
-681*2 -62*2
0 2724 277
下面的内容可参见《珠算》，赵惠敏编著，科学普及出版社，1994年出版，
第一节 开平方
乘数相同的特殊乘法叫乘方。例如：因为3*3=9，(-3)*(-3)=9，所以9的平方根是±3。珠算中的平方根一般指正的平方根。求一个数的平方根的运算叫做“开平方”，这个数叫做被开方数。开平方是乘方的逆运算。被开方数，从小数点起，即从个位起向左每二位作一节，到尽头。若剩两位数时，恰好为一节，若只剩一位时独立作一节。从小数点向右每隔二位分成一节，尾数若为二位恰好为一节，末节若只剩一位，应添一个“0”凑为一节，整数部分所分节数就是这个数的平方根的整数位数，小数部分所分节数就是这个数的平方根的小数位数。
如：803926.08913分成为7`80`39`26.08`91`30应得4位整数和3位小数。
一位数和两位数的平方根用算就可求出，一般运算时要使用“平方九九”。如下：
2 2
1 =01（一一01） 5 =25（五五25）
2 2
2 =04（二二04） 6 =36（六六36）
2 2
3 =09（三三09） 7 =49（七七49）
2 2
4 =16（四四16） 8 =64（八八64）
2
9 =81（九九81）
三位以上的多位数的平方根，就不易用心算求得，则需要一定的算法来求出平方根。开平方
2 2 2
则是计算多位数平方根的方法。根据两数和的平方公式，即(a+b) =a +2ab+b 的原理，以其代表一个被开方数，a表示平方根的十位数（简称首根），b表示平方根的个位数（简称次根）。
2
开方时，首先在被开方数中减去首根的平方，剩余2ab+b ，再用2a即首根的两倍除以2ab,即可求出次根b，再将次根与首根两倍相乘的积，从被开方式中减去，
2
开方式中仅剩b ,最后减次根的平方，即可得到两位平方根。如：
例（1）√13`69=37
2 2
13`69=a +2ab+b
2
-900=a
2
两倍首根=60 469= 2ab+b
469/60试商7，减7*60 -420= 2ab
2
49= b
2 2
减次根b -49= b
0
所以a=3,b=7,此数是37.
例（2）√7`12`89=267。
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第二档布被开方数071289 071289
用九九平方，隔位商首根2，隔位减4 二 031289
31除4，试商次根6，减2*2*6 二六 07289
减6*6 二六 03689
368除26*2试商7，减52*7 二六七 0049
减三根的平方 二六七
例（3）√14`45.53≈38.02（求小数二位）。
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第二档布被开方数1445.53 144553
用九九平方，隔位商首根3，隔位减9 三 054553
54除2a(即2*3)得次根8，减2*3*8 三八 06553
2
减b (即8*8) 三八 00153
153除38*2，得四根2，减2*38*2 三八 0二001
减2*2 三八 0二00096
第二节 开立方
3 3 2 2 3
用公式(a+b) =a +3a b+3ab +b 开立方，运算步骤如下：
(1)求首根：先在被开方数中减去首根a的立方。
(2)求次根：用余数到第二节第二位除3a，用商除法，等位够除，隔档商；等位不够除，挨
2 3
档商。再以ab/a试商求出次根b，并减ab与b ，仅剩b /3a
3 3
(3)将余数还原为b的立方，即3a*b /3a，再减去次根的立方b ，即可得到二位数的立方根。
(4)求其余各根的求法，依此类推即可。
3
例（1） 91`125 =45
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第二档布被开方数9115 91125
心算首根4，减4*4*4=64 四 27125
用余数除3a，即2712÷(3*4) 四 22600005
以ab/a试求次根b，即22÷4≈5 四五 2260005
减ab与b*b,即4*5=20和5*5=25 四五 0010005
以3a*b*b/3a，即将余数还原为次根b的立方(1*12) 四五 0000125
减b*b*b即减5*5*5=125 四五
3
例（2） 79`507 =43
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第四档布被开方数079507 079507
心算首根4，减4*4*4=64 四 15507
1550+(3*4) 四 1290027
求次根，129+40≈3减3*4，再减3*3 四三 0000027
还原，余数为0，故乘3a仍为0 四三 0000027
减3*3*3 四三 0000125
3
例（3） 2299968=132
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第四档布被开方数2299988 002299968
心算首根1，减001 一 0001299968
用129除以3*1 一 0043000968
用商数43除以首根1求得次根3，减10*3减3*3 一三 004009968
还原，400*3 一三 000129968
减3*3*3=27 一三 000107968
10296除39 一三 002640008
用264除13，求得三根2,依次减2*1，2*3，2*2 一三二 000000008
余数为0，故0*3a=0 一三二 000000008
减2*2*2=8 一三二
3
例（4） 8365427=203
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第四档布被开方数8365427 008365427
心算首根2，减2*2*2=8 二 0000365427
用80除以20*3，再不出商故次根为0 二0 0000865427
用36542除以20*3 二00 006090027
用60除以20得三根3 二0三 06090027
减3*20，减3*3*3 二0三 00000027
余数为0，故还原仍为0 二0三 00000027
减3*3*3=27 二0三
3
例（5） 30371357=312余29
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第五档布被开方数30371357 030371357
心算首根3，减3*3*3=27 三 003371357
以首根的3倍，以商除法的法则整除它右边的余数到第二节第二位止，求出商数
三 037041357
用37除以首根30，得出次根1，减30*1，减1*1*1 三一 00641357
3*30将余数还原 三一 000581357
以第二节第三位为个位档减去次根的立方。 三一 600580357
用58035除31*3=93 三一 006240037
求三根商2，减2*3，2*1，2*2 三一二 00000037
还原余数，0乘以任何数均为0 三一二 00000037
减2*2*2=8 三一二 00000029
第四部分 珠算乘法除法开方乘法计算电路
下面的内容可参见《珠算教程》，梁特猷编著，湖南教育出版社1986年出版。
[例1]2×750849=1501698。
[例1]2×750849=1501698
看数读积：（下列各数中加外圈的表示不作计算，也不读这位数）
2×7=14
最高位7的乘积，十位、个位都计算，7后是5，满5进1，14+1=15，所以乘积最高位是1，第二位是5；
2×5=（1）0
从第二位数起只计算乘积的个位数，5后是0，不进位，0+0=0. 所以第三位积是0；
2×0=00，
0后是8，满5进1，+1=1，所以第四位积是1；
2×8=（1）6，
8后是4，不满5不进，6+0=6，所以第五位积是6；
2×4=08，
4后是9，满5进1，8+1=9，所以第六位积是9；
2×9=（1）8，
9后无数，不存在进位，8+0=8，所以积的末位是8.
看数读积计算电路，该电路利用乘数和被乘数的每一位数相乘，再根据被乘数的下一位是否大于等于5判断是否需要四舍五入，最后将这鞋积加起来，就是两个数的乘积。
[例一]√66049=257
本例被开方数为五位整数，故知根为三位整数，安排根、方、实三栏档位时，根、方可各留四挡。小数第二位，则根、方需各留六档。总之，看题就可以估算出根、方、实各栏需要留的档次。
根栏 方栏 实栏
置被开方数（实数） 66049
1，商位立商200，以商入方200 200 200 66049
2.乘方除实200*200，自实中减 200 200 26049
3.以商入方 200 400 26049
以方约实，4除26，可商50留余地
1.商位立商50，以商50入方 250 450 26049
2.乘方除实50*45，自实数中减去 250 450 3549
3.以商入方 250 500 3549
以实约实，5除35，可商7
1，商位立商7，以商7入方 257 507 3549
2.乘方除实7*507，自实数中减去 257 507
开尽。
增乘开平方计算电路
例如，被开方数是66049，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断方根数的最高位是2。例如，如果输入数字是2，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断输出数字是200。如果实栏减去方栏等于0，计算停止。如果大于50，与门导通，商数减10，
2.凑倍简化递减奇数法
递减奇数开平方，拨算次数较多。近年来经过很多同志先后改进，采用类似累减除法的二倍、五倍累减法，从而大大缩简了拨算手续。这种方法称为凑倍递减开平方，简称凑减法。
凑减法是根据：
设：a=现根（已出现的除末位外的各位根）, b=新根（末位根）,
2 2 2
由于（10a+b) =100a +20ab+b
而b是1至9九个自然数之一,
2 2 2
当b=1时，(10a+1) =100a +20a+1
2 2
b=2，(10a+2) =100a +40a+4
2
=100a +(20a+1)+(20a+3)
2 2
b=3，(10a+3) =100a +60a+9
2
=100a +(20a+1)+(20a+3)+(20a+5)
......
2 2
b=5，(10a+5) =100a +100a+25
从以上各式可见：当a的值已经确定，在求b的时候把a的系数分化作多个20来处理，则余数每次减20a之后就只要意依次递减1起的各个奇数。这样算起来就很简便了。又由于当b=5的时候，只要减(100a+25)，而100a的盘显数字与a一致，例如，a=87，(100a+25)就是8725,可以很方便的看出来。所以，当余数自头位起够减(100a+25)时，就可以直接减(100a+25)，随后在余数最高位的前档拨置根数“五”。因此，(100a+25)又是确定b值能否为5的判别式。如果b在5以上，则先求出“五”，再递减（20a+1)、(20a+3)......，补求本位所差的那部分根数。
[例一]√68644=262.
拨算程序, 盘式
自第二档起置被开方数（第一节06）, 68644
第一档置根“二”，第一节减二的平方, 二 28644
余数减（100a+25)即225，前档置“五”, 二五 6144
余数续减20a(即50）+1，二根补“一”, 二六 1044
余数减20a(即520)+1，三根置“一”, 二六一 523
续减20a(即520)+3，三根补“一”。 二六二
凑倍简化递减奇数法开平方计算电路
例如，被开方数是68644，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断方根数的最高位是2，
例如，如果输入数字是2，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断输出数字是200，把28644进行和16000，25000等数字比较，输出5，把28644进行和16000，25000等数字比较，输出50，根栏寄存器B，计算结果寄存器A，输出开方计算结果
3 3
[例五]898*997可看做是(10 -101)(10 -3)
3 3 3 3
根据前述演化得10 [(10 -102)+(10 -3)-10 ]+306
n
由于在算盘上10 只是位置标志，无须直接拨数，所以像这类题目，就变得只需把两个不足亘数相加，减最高位1，再加两补数之积，拨算非常方便了。
用加法器，乘法器，减法器表示上面的公式，就可以计算898*997，这样利用公式计算，可以达到简化计算的目的。
2
[例二]求517
2 2 2
25，01，49.......5 ，1 ，7
1 01 4 5 1 7 相邻两基数数字积的2倍
+) 70 5 1 7 隔位两数字积的2倍
26 72 89
拨算程序 盘式
第一档起拨各数字的平方数 250149
第二档起加相邻两数字积的2倍 260289
第三档起加隔位两数字积的2倍 267289
平方计算电路
例（1）√13`69=37
2 2
13`69=a +2ab+b
2
-900=a
2
两倍首根=60 469= 2ab+b
469/60试商7，减7*60 -420= 2ab
2
49= b
2 2
减次根b -49= b
0
所以a=3,b=7,此数是37.
开平方计算电路
将数字13和4，9，16，25，36，49....等数比较后，选择9，输出30，即3的平方9小于13，将60分别和1，2，3，4.。9相乘，再和469相互比较，如果前面的积小于469，后面的积大于469输出高电平，当前面两端输出的电平相同时，异或门输出低电平，当前面两端的输出相异时，输出高电平。两个输出端的后面接上或门，经过或门判断后，有高电平输出的输出端的信号从或门输出。将数字13和4，9，16，25，36，49....等数比较后，选择9，输出30，即3的平方9小于13。
3
例（1） 91`125 =45
置数 运算顺序 运算结果
从算盘左起第二档布被开方数9115 91125
心算首根4，减4*4*4=64 四 27125
用余数除3a，即2712÷(3*4) 四 22600005
以ab/a试求次根b，即22÷4≈5 四五 2260005
减ab与b*b,即4*5=20和5*5=25 四五 0010005
以3a*b*b/3a，即将余数还原为次根b的立方(1*12) 四五 0000125
减b*b*b即减5*5*5=125 四五
数值大小比较电路A。
两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是负数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的负数，输出0，
两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是正数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的正数，输出正数，
如果加法器输出0，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明两数相减得到的是负数，反之，则是正数。
数值大小比较电路B
将数据-p1和-q1相互比较，如果两者相等，则停止计算，将数据-p1和数据-q1相减，如果等于0或门输出高电平，非门输出低电平，与门截止-p1,-q1不会到下一级电路，计算停止，将数据-p1和数据-q1相减，如果不等于0或门输出低电平，非门输出高电平，与门导通-p1,-q1进入到下一级电路，继续计算。
第五部分 分数化简
利用十八进制转换十进制数字
将一段数字划分为10等分，就是十进制计数，将一段数字划分为18等分，就是十八进制计数，古代玛雅人就采用十八进制计数，如果将十进制数转换成十八进制计数，就要给十进制数乘以18/10,
例如：
1 18 6
+ = =0.6
3 10 10
1 18 9
+ = =0.45
4 10 20
1 18 18
+ = =0.36
5 10 50
1 18 3
+ = =0.3
6 10 10
1 18 18
+ = =0.2571
7 10 70
同理，给分数乘以系数
1 2 3 4 5
* * * *
10 10 10 10 10
6 7 8 9 11 12
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
13 14 15 16 17 18
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
19 n i
* ............= ∏ a (上式中a = )
10 i=1 i i 10
可以将无理数的分数化简为有理数的分数。同理，给分数乘以系数,
2 3 4 5
* * * *
10 10 10 10
6 7 8 9 11 12
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
13 14 15 16 17 18
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
19
* =0.00504*24.13593262=0.1216451
10
这个系数叫做无理分数和有理数之间的商系数。任何无理分数乘以上述的系数都可以变成有理数。可以将无理数的分数化简为有理数.
例如：
1
*
7
1 2 3 4 5
* * * *
10 10 10 10 10
6 7 8 9 11 12
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
13 14 15 16 17 18
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
19
* =0.017377871
10
1
*
21
1 2 3 4 5
* * * *
10 10 10 10 10
6 7 8 9 11 12
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
13 14 15 16 17 18
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
19
* =
10
1
=2( ) *
6*7
1 2 3 4 5
* * * *
10 10 10 10 10
6 7 8 9 11 12
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
13 14 15 16 17 18
* * * * * *
10 10 10 10 10 10
19
* =0.144815595
10
使用下面的定理可以将除法转化为加减法，在计算机中使用，就可以利用加法器和减法器实现除法运算。
定理：
A B-C C
= =1-
B B B
1 E
=1- -
10 D
1 1 G
=1- + -
10 100 F
例如：
2 3-1 1
= =1-
3 3 3
4
=1-
12
6 2
=1- +
12 12
1
=0.5+
6
6 2
=0.5+ -
24 24
1
=0.75-
12
23 2
=0.75- +
120 120
1
=0.65+
60
12 8
=0.65+ +
1200 1200
1
=0.66+
150
例如：
5 6-5 1
= =1-
6 6 6
6 4
=1- -
60 60
1
=0.9-
15
15 5
=0.9- +
150 150
1
=0.8+
30
3 2
=0.8+ -
300 300
1
=0.81+
150
可以将乘法转化为除以一个乘数的倒数的形式进行计算，再利用下面公式进行计算。
A
A*B=
1/B
C
1/B=1-
B
1 E
=1- -
10 D
1 1 G
=1- + -
10 100 F
第六部分 一元三次方程卡丹公式
二、一元三次方程卡尔丹解法
1.三次与四次方程，
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，
41.三次与四次方程，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,
2
f(u)=u -x0u-p/3,
它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,
α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5)
以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：
3
(α+β) +p(α+β)+q=0,
或,
3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,
但由(5)得3αβ+p，故有,
3 3
α +β =-q (6)
另一方面，由(5)推得,
3 3 3
α β =-p /27 (7)
3 3
等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,
3
2 p
z +qz- =0 (8)
27
的根,
解方程(8)，我们得到：
2 3
q q p
z =- ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.
即,
3
2 3
q q p
β= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± + (9)
2 4 27
或,
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：
3 3
2 3 2 3
q q p q q p
x0=α+β= + + + - + +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
下面内容为插叙
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
7.复数的方根,
但应用卡尔丹公式时，不可能取任一方根值α与任一立方根值β的组合：
对于已予的α值只能取三个β值中适合条件(5)的哪一个值。
设α1为α的三个值中的任一个。
2
由7已经证明其他二值可以1的立方根ε与ε 乘α1来得出：
2
α2=α1ε，α3=α1ε ，
以β1记β的三个值中由(5)式的关系对应于α的值α1的那一个值，亦即α1β1=-p/3。β的其他两个值是,
2
β2=β1ε，β3=β1ε ，
因由,
3
ε =1,
2 3
α2β2=α1ε*β1ε =α1β1ε =α1β1=-p/3,
所以α的值α2对应于β的值β3；同理值α2对应于β2. 这样一来，方程(3)所有的根可以写为次之形状：
x1=α1+β1,
2
x2=α2+β3=α1ε+β1ε , (10)
2
x3=α3+β2=α1ε +β1ε,
上面方程的根为,
方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
2.实系数三次方程
我们来看一下，关于实系数不完全三次方程,
3
x +px+q=0 (11)
的根，可以说些什么。在这一情形，我们发现在卡尔丹公式中平方根下面的表示式,
2 3
q p
+
4 27
有重要作用。再者，这一表示式与方程(11)左边的判别式反号，在以后的叙述中我们将用判别式的符号来分类。事实上，应用38的(24)式于我们现在的情形(亦即在这一式子中取a=0,b=p,c=q)，我们得到,
2 3
3 2 q p
D=-4p -27q =-108( + )
4 27
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
38.结式、未知量的消去法、判别式,
3 2
例：求出三次多项式f(x)=x +ax +bx+c的判别式。由(23)
3 s s
1 2
D= s s s
2 2 3
s s s
2 3 4
由上节我们知道,
s =σ =-a
1 1
2 2
s =σ -σ =a -2b
2 1 2
2 2 3
s =σ -σ σ +3σ =-a +3ab-3c
3 1 2 3
应用牛顿公式，由σ =0，我们求出,
4
4 2 2 4 2 2
s =σ -4σ σ +4σ σ +2σ =a -4a b-4ac+2b
4 1 1 2 1 2 2
故,
3 2 2 2 2 3 3
D=3s s +2s s s -s -s s -3s =a b -4b -4a c+18abc-27c (24)
2 4 1 2 3 2 1 4 3
所以,
2 2 3 3
D=a *0 -4*0 -4a c+18a*0*c-27c
3
D=-4a c-27c
因为, a=0,b=p,c=q,
所以,
3
D=-4a c-27c
上面的插叙结束，接上面
(1)设setD<0.
此时在卡尔丹公式的平方根下面是一个正实数，所以每一个立方根下面都是实数。但是实数的立方根有一个是实数值，有两个是共轭复数值。设α1是α的实数值，那么由p之为一实数，知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。这样一来，方程(11)的根x1=α1+β1为一实数,
2
把7中对于1的立方根ε=ε1与ε =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，
下面内容为插叙,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
7.复数的方根,
单位根, 特别重要的情形是求数1的n次根。这个根有n个值，所有这些值，我们叫n次单位根，由等式1=cos0+isin0与公式(4)，知其为,
2kπ 2kπ
1=cos +isin ; k=0,1,...,n-1 (1)
n n
由(6)式，知如n为偶数，则在k=0与n/2时得n次单位值的实值，如n为奇数，则仅在k=0时始能得出实值。在复平面上，n次单位根排列在单位圆的圆周上而且把圆周分为n个等分；其中有一个分点是数1. 因此，n次单位根中那些不是实数的值的位置是对于对称的，亦即两两共轭, 二次单位根有两个值1与-1，四次单位根有四个值1，-1，i与-i。记住三次单位根的值，以后很有用。由(6)，这些数是,
2kπ 2kπ
cos +isin ;
n n
其中k=0,1,2,亦即，除1以外，是共轭数
2π 2π 1 √3
ε1=cos +isin =- +i
n n 2 2
} (7)
4π 4π 1 √3
ε2=cos +isin =- -i
n n 2 2
复数α的n次根的所有值，都可以从它的某一个值乘上所有的n次单位根来得出，例如设β为数α的n次根的某一个值，亦即,
n
β =α,
而ε为任一n次单位根，亦即
n
ε =1,
则,
n n n
(βε) =β ε =α
亦即βε为,
n
α 的一个值
乘β以n次单位根的每一个值，我们得出α的n次方根的n个不同的值，亦即这个根所有的值。
例：(1)数-8的立方根有一个值-2. 由(7)，知其它两个根为, -2ε1=1-i√3和-2ε2=1+i√3，
4
(2) 81 有四个值：3，-3，3i，-3i
上面的插叙结束，接上面，
2
把7中对于1的立方根ε=ε1与ε =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，
我们求出其他两个根，
2
x2=α1ε+β1ε =α1(-1/2+i√3/2)+β1(-1/2-i√3/2) =-(α1+β1)/2+i√3(α1-β1)/2
2
x3=α1ε +β1ε=α1(-1/2-i√3/2)+β1(-1/2+i√3/2) =-(α1+β1)/2-i√3(α1-β1)/2
由α1与β1之为实数，知这两个根是共轭复数，而且虚数部分不为零，因为α1≠β1——这两个数是两个不同的数的平方根。这样一来，如果D<0,那么方程(11)有一个实数根与两个共轭复数根。
(2)设D=0.在这一情形，
3
α= -q/2 ，
3
β= -q/2 ，
设α1为α的实数值；那么由(5)知β1亦为一实数，而且α1=β1. 在(10)式中以α1代β1且应用显明的等式ε+ε =-1，我们得出：
x1=2α1,
2
x2=α1(ε+ε )=-α1,
2
x3=α1(ε +ε)=-α1,
这样一来，如果D=0，那么方程(11)所有的根都是实数，而且有两个彼此相等。这个重根的出现与其判别式等于零是完全一致的。
(3)最后，设D>0。在这一情形，卡尔丹公式中平方根号下面是一个负实数，所以在立方根号下面是互相共轭的复数。这样一来，所有α与β的值现在都是复数。设，
α0=u+iv，为α的任一个值，而β0为由(5)得出的对应于α0的β值。那么
2 2
β0=-p/(3α)=-p/3(u+iv)=-p(u-iv)/3(u +v )
2 2
数α0 与β0 是实系数二次方程(8)的复数根，故必须共轭。但已验证数，
3 3 3
α0 =(u+iv) 与(u-iv) 彼此共轭，故，
3 3
β0 =(u-iv) ，
2 2
因而实数-p/3(u +v )的立方根等于1，这就说明它自己等于1. 这就证明了β0=u-iv,所以α0+β0是一个实数。我们得出了方程(11)的所有根都是实数根，而且由判别式D之不为零，这些根里面没有重根。这样一来，如果D>0，那么方程(11)有三个不同的实数根。刚才的讨论说明在最后的这个情形，卡尔丹公式的实用价值不很大。事实上，随则在D>0时，实系数方程(11)的根全为实数，但是用卡尔丹公式来求出它们要对复数开立方，我们只能化这些数为三角式来做。所以用根式写出的方程的根失去实用价值。我们可以应用超出本书范围以外的方法来证明，方程(11)的根在所讨论的情形，一般是没有办法可经其系数利用实数的方根来表出。在这一情形所解的方程(11)成为不可约的(不要和不可约多项式相混淆!)
例。1.解方程，
3 2
y +3y -3y-14=0
设 y=x-a/3，y=x-1，代入y=x-1化这一方程为，
3
x -6x-9=0 (12)
此处p=-6,q=-9,故,
2 3
q p 49
+ = >0
4 27 4
亦即方程(12)有一个实数根和两个共轭复数根。由(9)
3
9 7 3
α= + = 8
2 2
3
9 7 3
β= - = 1
2 2
故α1=2，β1=1，亦即x1=3。其它两个根可从(10)求出：
3 √3
x2=- +i
2 2
3 √3
x3=- -i
2 2
故知，所予方程的根为数,
y1 =2,
5 √3
y2=- +i
2 2
5 √3
y3=- -i
2 2
2.解方程,
3
x -12x+16=0
此处p=-12,q=16,故,
2 3
q p
+ =0
4 27
因此:
3
α= -8
亦即α1=-2，所以, x1=4,x2=x3=2,
3.解方程.
3
x -19x+30=0
此处p=-19,q=30,故
2 3
q p 784
+ =- <0
4 27 27
这样一来，如果限于实数范围，卡尔丹公式对于这一方程不能应用，即使它的根是实数2，3，与-5,
3. 环的定义：
定义了下列三种运算（演算）的集合叫做环，
加法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的和：c=a+b
乘法运算：对于任意两元素a和b，有元素d与它们对应，d叫做a,b的积, d=ab,
减法运算：对于任意两元素a和b，有元素e与它们对应，e叫做a,b的差, e=a-b,
加法与乘法运算，由下列性质刻画出来,
加法公理,
1.结合公理：对于任何三元素a,b和c；必有
(a+b )+c=a+(b+c)
2.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,
a+b=b+a,
3.逆运算公理(对于加法):
对于任何两个元素a和b存在唯一的元素，满足条件,
a+x=b,
元素x称为元素b和a的差，记作
乘法公理
4.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
(ab)c=a(bc),
5.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,
ab=ba,
6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
(a+b)c=ac+bc,
注意不满足交换律的环成为不易环，反之，满足交换律的环成为可易环,
减法公理,
7.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
b+(a-c)=(b+a)-c,
6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
bc+(a-b)c=ac,
b+(a-b)=a,
(a-b)c=ac-bc,
环的定义：
定义了下列1种运算（演算）的环叫做域，
除法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的商：
c=a/b,
称环P为域，如至少含有一个不为零的元素，且除开除数为零的情形外，对于其他情形，除法在它里面可以施行而且是唯一确定的，亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。元素q称为元素a与b之商且记之以符号q=a/b, 注意：域中除法的唯一性，有如在环的定义里面假设有减法的唯一性，事实上不难利用在域或环的对应定义中其它一些条件来证明。
代数无关
假设多项式环L由多项式元素a ,a ,a ,...,a 构成,
1 2 3 n
a ,a ,a ,...,a 分别为n未知量多项式,
1 2 3 n
例如a =f(x ,x ,x ,...,x )为n未知量多项式
n 1 2 3 n
1 2 3 n 1 2 n
1 2 3 n 1 2 n
可以假设在多项式f(x ,x ,...,x )中同类项已合并且系数为0的项已经删除。
1 2 n
环L`是环L的子环,
a ,a ,a ,...,a 等n未知量多项式的中的未知量x ，x ,x ,...,x 的系数属于域P
1 2 3 n 1 2 3 n
环L`上的元素属于环L, 环L`上的多项式元素的系数都属于域P，域P属于可易环L中，
子环L`上的元素是由n未知量多项式a ,a ,...,a 和数域P上的元素经过加减乘等运算
1 2 n
得到的。对于子环L`中的任一元素β，a ，a , a ,...,a 在域P上的系数都是唯一的,
1 2 3 n
a ，a , a ,...,a 是环L`上不同的多项式,
1 2 3 n
a ，a , a ,...,a 的根不在域P上，根在环L`上,
1 2 3 n
那么就称环L`上的元素和数域P代数无关，
a ，a , a ,...,a 在域P上的系数都是唯一的,
1 2 3 n
a ，a , a ,...,a 是域P上不同的多项式,
1 2 3 n
a ，a , a ,...,a 的根在域P上，根不在环L`上
1 2 3 n
那么就称环L`上的元素和数域P代数相关，设P是可易环L内的一个子环，如果n次方程的自变量的系数存在于域P中，同时n≥1,环L中的元素a是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的代数数。反之，如果元素a不是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的超越数。
子域，扩展域
设在域P中，有一部分元素组成集合P`，而且对于域P中的那些运算这一个集合构成一个域，亦即从P`中任意两元素a,b所得出的属于P中的元素a+b,ab,a-b,和当b≠0时的a/b都在域P`内, (P所适合的定律1，2，3，4，5显然对于P`仍能适合), 那么称P`为域P的子域，而P为域P`的扩展域。显然，域P的零元素与么元素都属于P`内，而且亦是P`的零元素和幺元素。例如有理数域是实数域的子域，所有的实数域是复数域的子域。
环属于集合，同时满足下面的条件,
域属于集合，同时满足下面的条件,
1.加法可易律：a+b=b+a,
2.加法可群律：a+(b+c)=(a+b)+c,
3.乘法可易律：ab=ba,
4.乘法可群律：a(bc)=(ab)c,
5.结合加法与乘法的分配率：(a+b)c=ac+bc,
可易环是满足可易律的环，不可易环是不满足可易律的环, 可易域是满足可易律的域，不可易域是不满足可易律的域,
卡尔丹公式的证明 调用复数的方根，注：1的立方根共有三个
调用三次方程根的判别式
调用结式求方程的判别式
调用求任意未知量非线性方程的解，可参看代数几何
调用欧几里得演段
调用对称多项式的性质
调用多项式代数无关定义
调用韦达定理
方程有重根的条件
注意：非线性方程组，是n个未知量是高次方程组成的方程组, 齐次线性方程组，里面的方程的n个未知量都是相同次数的,
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是,
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
38.结式、未知量的消去法、判别式,
例：求出三次多项式f(x)=x +ax +bx+c的判别式。由(23),
3 s s
1 2
D= s s s
2 2 3
s s s
2 3 4
由上节我们知道,
s =σ =-a
1 1
2 2
s =σ -σ =a -2b
2 1 2
2 2 3
s =σ -σ σ +3σ =-a +3ab-3c
3 1 2 3
应用牛顿公式，由σ =0，我们求出,
4
4 2 2 4 2 2
s =σ -4σ σ +4σ σ +2σ =a -4a b-4ac+2b
4 1 1 2 1 2 2
故,
3 2 2 2 2 3 3
D=3s s +2s s s -s -s s -3s =a b -4b -4a c+18abc-27c (24)
2 4 1 2 3 2 1 4 3
所以,
2 2 3 3
D=a *0 -4*0 -4a c+18a*0*c-27c
3
D=-4a c-27c
因为, a=0,b=p,c=q,
所以,
3
D=-4a c-27c
一个域P上面的n未知量x ,x ,x ,...,x 的多项式
1 2 3 n
f(x ,x ,...,x )是指系数在数域P中的有限个形为x x ...x 各项
1 2 n 1 2 n
之和，其中所有的k ≥0
n
4.说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
第七部分 不带虚数根的卡丹公式
4.说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
例如，解方程
3
x -10x+8=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
-8 64 -1000 -8 64 -1000
x = + + + - - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
x = -4 + 16-37.03703704 + -4 - 16-37.03703704
0
3 3
x = -4 + -21.03703704 + -4 - -21.03703704
0
3 3
x = -4 +4.589914987i + -4 -4.586614987i
0
这样就得到了一个虚数解，实际它的解为4。
例如，解方程
2
x -5x+4=0
如果我们将虚数看成是π和方程各项系数和的乘积，就可以得到没有虚数的近似解.
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-5） +2 +1 ] π* [（-5） +2 +1 ]
-2 + +2
3 3
2
x =
0 4
=(2.2680756+2.50258)/4=1.1926639。
上面方程的解为1，1.1926639近似于1，可视为方程的近似解。
例如，解方程：
3
x -25x+36=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-25） +36 +1 ] π* [（-25） +36 +1 ]
-36/2 + +36/2
3 3
18 18
x =
0 6
18
3
137.7293687 137.7293687
-18 + +18
2.62074 2.62074
2
x =
0 6
18
x =(3.2571+4.1321)/1.618=7.38922/1.618=4.5625
0
上面方程的解为4，4.5625近似于4，可视为方程的近似解.
当方程式的系数变大时，用下面的公式去解方程。
例如，解方程
3
x -78x+96=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-78） +96 +1 ] π* [（-78） +96 +1 ]
-96/2 + +96/2
3 3
48 48
x =
0
3
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-78） +96 +1 ] π* [（-78） +96 +1 ]
-96/2 + +96/2
3 3
48 48
3 3
388.6062673 388.6062673
-48 + +48
3.63424 3.63424
2
x =
0 1.13945
x =(3.89143+5.37086)/1.13945=8.12873
0
当方程式的系数变大时，用下面的公式去解方程.
例如，解方程
3
x -135x+589=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-135） +589 +1 ] π* [（-135） +589 +1 ]
-586/2 + +586/2
3 3
293 293
x =
0
3
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-135） +589 +1 ] π* [（-135） +589 +1 ]
+586/2- -586/2
3 3
293 293
3 3
1898.382613 1898.382613
-586/2 + +586/2
6.64185219 6.64185219
x =
0 12
3 3
1898.382613 1898.382613
+586/2 - -586/2
6.64185219 6.64185219
3 3
285.8212677 -293 + 285.8212677+293
x =
0 12
3 3
285.8212677 +293 - 285.8212677-293
8.376869794 + 1.929074789
x =
0 12
8.376869794 - 1.929074789
10.30594458
x =
0 12
6.447795005
10.30594458
x =
0 1.168021764
x =8.826415841
0
由数学归纳法可知， 当用卡丹公式计算一元三次方程的根时，出现虚数解时，可以使用下面公式求解, 当方程的根在1到2之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 q
此时，虚数i等于方程的根，即
2 2 2
qπ* [p +q +1 ]
i=
3
q/2
当方程的根在2到4之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 6
q/2
此时，虚数i等于方程的根，即
3
2 2 2
6 π* [p +q +1 ]
i= -q/2 +q/2
3
q/2
当方程的根在4到8之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 - +q/2
3 3
q/2 q/2
此时，虚数i等于方程的根，即
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
i=[ -q/2 +q/2 ] -q/2
3 3 3
q/2 q/2 q/2
当方程的根在8到10]之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 12 3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
+q/2 - -q/2
3 3
q/2 q/2
此时，虚数i等于方程的根，即
12
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
i=[ -q/2 +q/2 ] -q/2
3 3 3
q/2 q/2 q/2
所以,虚数i在方程的根式里面可以用π乘以方程系数来表示。
根据古巴比伦数学家计算的结果可知：
25
π= =3.125
8
把这个数值代入上面的公式中进行三次方程求根的计算会更准确。
根据古巴埃及数学家计算的结果可知：
16 2
π=( ) =3.1605
9
把这个数值代入上面的公式中进行三次方程求根的计算会更准确,
小圆在大圆里面滚动113圈，点了355个点，恰好形成了一个圆。所以,
355
π= =2.6691
113
如下图所示：
第九部分 通过梯形计算积分
根据定积分的定义可知
函数f(x)在区间[A,B]上面的定积分值等于，函数f(x)在A.B]上面的图像和x轴围城的面积。由图1可知，这个面积近似等于由x值和y值围城的很多梯形组成的面积，
这个梯形的高是x -x ,其中i为自然数，表示x的不同取值。
i i-1
这个梯形的上底边是y ,这个梯形的下底边是y ,其中i为自然数，表示y的不同取值。
i-1 i
根据梯形的面积公式可知
S =(x -x )(y +y )/2
i i i-1 i i-1
所有梯形的面积和等于
n
S=∑ S
i=1 i
这个梯形面积和也约等于函数f(x)在[A,B]区间上面的定积分值，即
b
Φ(t)= ∫ f(x)=S
a
b n
Φ(t)= ∫ f(x)= ∑ S
a i=1 i
n
Φ(t)= ∑ S
i=1 i
n
Φ(t)= ∑ (x -x )(y +y )/2
i=1 i i-1 i i-1
又因为, y=f(x),
-1
所以，x=f (y)
所以，
n -1 -1
Φ(t)= ∑ [f (y )-f (y ）](y +y )/2
i=1 i i-1 i i-1
可以假设，y =y +a,其中a=△y
i i-1
设y =m, 所以，
i-1
y +y =y +y +a
i i-1 i-1 i-1
y +y =2m+a
i i-1
所以，
n -1 -1
Φ(t)= ∑ [f (y )-f (y ）](y +y )/2
i=1 i i-1 i i-1
n -1 -1
Φ(t)=[(2m+a)/2] ∑ [f (y )-f (y ）]
i=1 i i-1
上面的等式表示，函数y=f(x)的积分值Φ(t)等于y在等距离变化时，矩形的面积,
2
例如，函数y=x 的图像如下图2所示
当y=1时x=1, 当y=2时x=1.414, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(1.414-1)(2+1)/2=0.625
1
当y=2时x=1.414, 当y=3时x=1.732, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(1.732-1.414)(3+2)/2=0.795
2
当y=3时x=1.732, 当y=4时x=2, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2-1.732)(4+3)/2=0.938
3
当y=4时x=2, 当y=5时x=2.236, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.236-2)(5+4)/2=1.062
4
当y=5时x=2.236, 当y=6时x=2.44948. 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.44948-2.236)(6+5)/2=1.17414
5
当y=6时x=2.44948, 当y=7时x=2.6457, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.6457-2.44948)(7+6)/2=1.27543
6
当y=7时x=2.6457. 当y=8时x=2.8284, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.8284-2.6457)(8+7)/2=1.37025
7
当y=8时x=2.8284, 当y=9时x=3, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(3-2.8284)(9+8)/2=1.4586
8
当y=9时x=3, 当y=10时x=3.1622, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(3.1622-3)(10+9)/2=1.5409
9
所以,
Φ(t )-Φ(t )=0.795-0.625=0.17
2 1
Φ(t )-Φ(t )=0.938-0.795=0.143
3 2
Φ(t )-Φ(t )=1.062-0.938=0.124
4 3
Φ(t )-Φ(t )=1.174-1.062=0.112
5 4
Φ(t )-Φ(t )=1.27543-1.174=0.10143
6 5
Φ(t )-Φ(t )=1.37025-1.27543=0.09482
7 6
Φ(t )-Φ(t )=1.4586-1.37025=0.08835
8 7
Φ(t )-Φ(t )=1.5409-1.4586=0.0823
9 8
所以,
△Φ(t )=0.17-0.143=0.027
1
△Φ(t )=0.143-0.124=0.019
2
△Φ(t )=0.124-0.112=0.012
3
△Φ(t )=0.112-0.10143=0.01057
4
△Φ(t )=0.10143-0.09482=0.00661
5
△Φ(t )=0.09482-0.08835=0.00647
6
△Φ(t )=0.08835-0.0823=0.00605
7
从上面的数据可以看出，当t等距变化时，y=f(x)的积分函数Φ(x)的变化是等值的。
由上面的数值做出w=Φ(t)的图像，如下图3所示
3
从上面的图像可以很容易的看出，w=t /3,
2 3
这样就得到了y=f(x)=x 的积分函数w=Φ(t)=t /3, 也可以预估出下一个积分值是1.63。
我们还可以将上面的数据拨到算盘上面
△Φ(t )=0.17-0.143=0.027，
1
△Φ(t )=0.143-0.124=0.019 ，
2
△Φ(t )=0.124-0.112=0.012
3
△Φ(t )=0.112-0.10143=0.01057
4
△Φ(t )=0.10143-0.09482=0.00661
5
△Φ(t )=0.09482-0.08835=0.00647
6
△Φ(t )=0.08835-0.0823=0.00605
7
从上面的盘式可以很容易的预估出下一个积分值是1.63。
这样我们就得到一个通过原函数的图像和x轴围成的梯形的面积计算积分函数值的方法，就是通过梯形面积值的变化趋势，预估积分值。
例如，当一个椭圆形线圈同上高电压高电流时，就会产生引力。当引力场的强度达到一定程度就会使空间扭曲，在扭曲的空间中前进就会比在正常的空间中前进的速度快。例如，在扭曲的空间中前进1米，就相当于在正常的空间中前进了1光年，这样，通过在扭曲的空间中运动，就会达到在正常空间中超光速的目的。
同时，这个引力相对于时间的积分就是电磁场的强度。我们通过上面预估积分值的方法，计算电磁场的强度。
两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：
Mm
F=G
2
r
即万有引力等于引力常数乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。
-11 2 2
其中G代表引力常量，其值约为6.67*10 N*m /kg , 为英国科学家卡文迪许通过扭秤实验测得。所以，可设函数
Mm
f(r)=F=G
2
r
上式中M=10000KG,m=1000KG. r代表两个物体之间的距离，f(r)代表两个物体之间的引力。
当F=1时，r=2.5826, 当F=2时，r=1.8261, 此时梯形的面积为,
Φ(t )=(-2.5826+1.8261)(2+1)/2=-1.9824
1
当F=2时，r=1.8261, 当F=3时，r=1.491, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(-1.8261+1.491)(3+2)/2=-0.83753
2
当F=3时，r=1.491, 当F=4时，r=1.2193, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(-1.491+1.2193)(4+3)/2=-0.6988
3
可以预估出
Φ(t )=-0.41
4
函数Φ(t)的图像为
同时，我们计算得出
Mm
Φ(t)= ∫f(r)= ∫G
2
r
1
=-GMm
r
这个就是我们得到的产生引力的电磁波方程，调节电压按照这个波形产生电磁波就会产生强引力场。
公式推导：
若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：
2π
w= (T为周期）
T
如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程可得，行星受到的力的作用大小为： 2
2 mr(4π )
mrw =
2
T
另外由开普勒第三定律可知
3
r
=常数k`
2
T
那么沿太阳方向的力为
2 2
mr(4π ) mk`(4π )
=
2 2
T r
由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。
设太阳的质量为M，从太阳的角度看，太阳受到沿行星方向的力为
2
M(k``)(4π )
2
r
因为是相同大小的力，这两个式子比较可知，k`包含了太阳的质量M,k``包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个体质量的乘积成正比，与两个天体距离的平方成反比。如果引入新的常数G(称为万有引力常数),那么可以表示为：
Mm
万有引力=F=G
2
r
当在某星球表面作圆周运动时，可将万有引力看作重力，既有
GMm
mg=
2
r
此时有，
2
GM=gr
为黄金代换公式，且有
2 2
GMm mv 2 mr4π
= =mrw = =mg
2 2
r r T
所以，可设函数
2
mr4π
f(T)=F=
2
r
上式中T代表物体的运动周期, r代表两个物体之间的距离，f(T)代表两个物体之间的引力。
上面的图像是假设r是常数时，函数f(T)的图像。当r是变化的数时，dT就是函数的偏导数，函数f(r,T)的图像如下图所示
可以预估出, 函数f(r,T)的积分函数Φ(m,n)的图像为
这个就是我们得到的产生引力的电磁波方程，调节电压按照这个波形产生电磁波就会产生强引力场。多元函数的积分，可以通过下面的公式计算, 设有两个自变量的多元函数
f(x,y)=g(x)w(y)
它的积分为
Φ(m,n)= ∫f(x,y)
Φ(m,n)= g(x) ∫w(y)+ w(y) ∫g(x)
这个定理，可以由上面的梯形面积估算理论推导出来。
还可以采用另外一种方法计算梯形的面积。根据定积分的定义可知
函数f(x)在区间[A,B]上面的定积分值等于，函数f(x)在A.B]上面的图像和x轴围城的面积。由图1可知，这个面积近似等于由x值和y值围城的很多梯形组成的面积.
这个梯形的高是x -x ,其中i为自然数，表示x的不同取值。
i i-1
这个梯形的上底边是y ,这个梯形的下底边是y ,其中i为自然数，表示y的不同取值。
i-1 i
这个梯形的面积可以等于一个长方形的面积和一个三角形的面积的和。由图1可知，E,F是函数y=f(x)上面的两点，EC,FD分别垂直于X轴。梯形EFDC就是函数y=f(x)和X轴围成的面积。EG垂直于梯形底面FD, 梯形EFDC的面积等于矩形EGDC的面积和三角形FEG的面积和。
矩形EGDC的面积等于S ，
1
S =CD*DG
1
=y (x -x )
i i i-1
根据下面计算三角形面积的公式, 如图2，在三角形ABC中，三角形的边长分别是a,b,c
三角形ABC的面积等于S
S= p(p-a)(p-b)p-c)
a+b+c
上式中，p=
2
三角形EGF的面积等于S
2
S = p(p-a)(p-b)p-c)
2
a=x -x ,b=y -y
i i-1 i i-1
2 2
c= (x +x ) +(y +y )
i i-1 i i-1
2 2
x -x +y -y + (x +x ) +(y +y )
i i-1 i i-1 i i-1 i i-1
p=
2
2 2
S = p(p-x +x )(p-y +y )[p- (x +x ) +(y +y ) ]
2 i i-1 i i-1 i i-1 i i-1
还可以采用另外一种方法计算梯形的面积。
根据定积分的定义可知:
函数f(x)在区间[A,B]上面的定积分值等于，函数f(x)在A.B]上面的图像和x轴围城的面积。
由图1可知，这个面积近似等于由x值和y值围城的很多梯形组成的面积。
这个梯形的面积可以等于一个长方形的面积和一个三角形的面积的和。
由图1可知，EF是函数y=f(x)上面的切线，H是切点，梯形EFDC就是函数y=f(x)和X轴围成的面积。EG垂直于梯形底面FD, 梯形EFDC的面积等于矩形EGDC的面积和三角形FEG的面积和。矩形EGDC的面积等于S 。
1
S =CD*DG
1
三角形FEG的面积等于S
2
S =HG*EF/2
2
由于EF是曲线y=f(x)上面的切线，切点是H，可以设GH垂直于EF， GH就是点G到直线EF之间的距离，
在直角三角形EHG中，设角HEG等于α，tgα=y/x=f(x)/x，
设直线EF的直线方程是
y=kx+c，
由于EF是曲线y=f(x)上面的切线，切点是H，H点的坐标是(a,b),得
如图2所示直线w=kt+c和x轴的夹角是α，
tgα=y`=f`(a)，
HP垂直于Y轴，点Q是直线w=kt+c和X轴的交点,Q的坐标是(c,0)。
所以在直角三角形HPQ中，
PQ=HP/tgα=b/tgα，
PQ=a-c，
a-c=b/tgα，
c=a-b/tgα，
因为，
ka+c
tgα=
a-c
tgα(a-c)-c
k=
a
所以,
[tgα(a-c)-c]t
w= +a-b/tgα
a
如图3所示，根据杨辉三角形定理
点G的坐标是(a,b),d是点G到直线w=kt+c的距离.
在直角三角形FHG中，F点的坐标是(e,ke+f).
FG=│ke+c-f│
大直角三角形FHG和内部的小直角三角形是相似三角形。
2
小直角三角形的边长分别是1，k, 1+k
所以,
│ke+c-f│
d=d/1=
2
1+k
根据上面的推导可知
c=a-b/tgα,
tgα(a-c)-c
k=
a
所以,
e[tgα(a-c)-c]
│ +a-b/tgα-f│
a
d=d/1=
2
[tgα(a-c)-c]
1+
2
a
三角形FEG的面积等于S
2
S =HG*EF/2
2
S =d*EF/2
2
e[tgα(a-c)-c]
│ +a-b/tgα-f│
a
S =(EF/2)*
2 2
[tgα(a-c)-c]
1+
2
a
梯形EFDC的面积等于矩形EGDC的面积和三角形FEG的面积和
S=S +S
1 2
e[tgα(a-c)-c]
│ +a-b/tgα-f│
a
S=CD*DG +(EF/2)*
2
[tgα(a-c)-c]
1+
2
a
第十部分 广益书局初学算法大成
下面的资料可参见《初学算法大成》，清代广益书局出版，
在算盘上面用还原口诀求开方。
平方积三百二十四步。法曰置积三百二十四步为实。约初商十步于实左下法。亦置十步于实右，名曰方法。与上商相呼。一一除实一百步。余实二百二十四步，就以方法十步倍之，得二十步，名曰廉法。又曰次商八步于左，初商十步之次，共得十八步。亦置八步于实右廉法，二十步之次，名曰耦法。共得十八步，与左位次商八步相呼。二八除实一百六十步，又左八步，对右八步相呼。八八除实六十四步恰尽。得方面十八步。若还原自乘是也，右法以明方廉四之名也。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√324≈10 10 324 10
324-10*10=224
10*2=20
8 224-160=64 10
64-8*8=0 10+8=18
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
其中,
2 2
a=10,b=8,(a+b) =18 =324
假如今有圆基盘共子三百六十一个。问每面子若干，答曰每面十九个。
问每面子若干，答曰每面十九个。
法曰置基子为实。约初商十步于实左。下法亦置十步，于实右，左右相呼。一一除实一百个，余实二百六十一个。就以下法十个倍之得二十个。次商四于左，初商十个之次，置九个于右。倍方二十之次，共得二十九，皆与左次商九相呼。二九除实一百八十个，又左九对右九，相呼九九除八十一个，恰尽。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√361≈10 10 361 10
361-10*10=261
10*2=20
9 261-180=81 10
91-9*9=0 10+9=19
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
其中,
2 2
a=10,b=9,(a+b) =19 =361
今有方田积三千一百三十六步，问平一面若干。
法曰，置田积为实。约实定初商，五十步，于左。下法亦置五十步于右，左右相呼，五五除实二千五百步，余积六百三十六步。就以下法五十步倍之，得一百步。次商六步，于左，初商五十之下，亦置六步，于右。倍方一百，隔位之下共得一百零六步。皆与次商六步相呼，一六除实六百步。又左六，对右六，相呼六六除实三十六步恰尽。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
50 3136 50
3136-500*500=636
50*2=100 50*2+6=100+6=106
636/100=6
1*600=600
636-600=36
36-6*6=36-36=0
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
其中,
2 2
a=50,b=6,(a+b) =56 =3136
今有方砖一千四百六十一块，欲为平方。
问一面方若干。答曰，面平三十八块，七十七块之十七。
法曰，砖置积为实。初商三十块，于左下法。亦置三十于右，为方法。左右相呼三三除实九百，余积五百六十一块。就以方法三十倍作六十为廉法。次商八于左初商三十之下亦置八于右，廉法六十之下为耦法共六十八。皆与上商八，相呼，六八除实四百八十，又呼八八除实六十四，余实十七。不尽却将所商三十八倍之，再添一块共得一方数，七十七命十七。何谓之命以原总数内除十七，加上七十七。使商得面方三十九块。因此不及而为之命余仿此。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√1461≈30 30 1461 30
1461-30*30=561
30*2=60 8
561/60=9,商数9太大，应选商数为8
60*8=480
8*8=64
516-480-64=17
38*2+1=76+1=77 8+1=9
30+9=39
17
39
77
上面的描述可以总结为下面的公式
当[a/10+b]>[2(a+b)+1]时
.
2 2
2 c-a -(b-1) -2a(b-1) 2
(a+b) [ ]= c
[(a+b)-1]*2+1
其中, a=30,b=9,c=1461
今有平方积五万四千七百五十六步，问平方一面若干。答曰二百三十六步。
归除开平方法曰，置积五万四千七百五十六步为实。于盘中见实约商二百，于实左。亦置二百于右下，左右相呼，二二除实四万步。于实一万四千七百五十六步，以右下二百步，倍之得四百步为法，归除之，四一二十二，封四进一十，得商六十步，就置三十步于方四百之下，相呼，三三除实九百步，余实一千八百五十六步，就以右下三十步倍之得六十步，共四百六十步，为法归除之。呼四一二十二，逢八进二十，得商四步。亦置四步于右六之下，相呼四六除二百四十步，又呼四四除实，十六步，恰尽。以左上所商得二百三十四步为平方一面之数也。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√54756≈200 200 54756 200
200*2=400 54756-200*200=14756
30*2=60 14756/400=3 200+30=230
400+60=460 400*3+30*30=12900
14756-12900=1856 230+4=234
1856/460=4
200*3*3+20*2=1840
1856-1840=16
16-4*4=0
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
.其中, a=200,b=30,c=4。
今有平方积四百九十步，亦为平方，问每面若干。答曰，二十二步，四十五分步之六。
归除开平方法曰：置积四百九十为实， 于盘中见实四百，商二十步，于实左。亦置二十步于右下，左右相呼二二，除实四百步，余实九十步，就以右位二十步倍之，得四十步，为法归除之呼，逢八进二步，就置二步于右，四十之下相呼，二二除实四步，余实六步不尽，以直方命之，法曰，以所商二十二步倍之，又添一步，共得四十五步，为分母命之曰，四十五分步之六。解曰，若以积四百九十步，加入四十五步，减去分之六步，乃得五百二十九步，使商得二十二步，所谓不及顾谓之命也。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√490≈20 20 490 20
490-20*20=90 20+2=22
20*2=40 90-40*22=2
22*2+1=45
6 2+2*2=6
22
45
上面的描述可以总结为下面的公式
2
2 a/10+b 2
(a+b) [ ]= c
2(a+b)+1
其中, a=20,b=2。
当[a/10+b]>[2(a+b)+1]时
2 2
2 c-a -(b-1) -2a(b-1) 2
(a+b) [ ]= c
[(a+b)-1]*2+1
归除平方带纵歌
平方带纵法最奇，四因积步不须疑，纵多自乘加固积，又用开方法除之。
甫以纵多拼间积，所平方为长数施，若问润步知多少，将长减却纵多基。
开立方法歌
自乘再乘除实积，三因初商方方另列，次乘遍乘名为廉，方法乘廉除次积。次商自再乘名藕，依数除积方了毕，初次三因又为方，三商遍乘放此的。一千商十定无疑，三万纵为三十除，九千九万不离十，十万方为一百推。
法曰，置积为实别置一算，名曰下法于实数之下，自末位至首常起二位为实，千至九十余万俱定十，百万后俱定百。实上商置第一位得若干下法亦，置次商三十，自乘再乘的若干，除实乞余实若干，却以三乘下法，初商若干，得若干，为方法列法。次商置第一位于初商之次得若干，下法亦置次商若干，于初商之次，共得若干，就以次商若干，遍乘得若干，为廉法，再以方法乘廉得若干，除实乞余实，亦上以次商若干，自乘再乘得若干为耦法，余实尽得立方面歌，若有不尽数，仍再前商之或有不尽数，以法命之，何谓之命若余实若干，不尽者，却以所商得立方数若干，自乘得若干，又以三因之得若干，另以所商得立方数若干，用三因之得若干，再添一个共得若干，使商得多一立方数也，因此不及而为之命，立圆法亦有不尽者亦仿此，若要还原以立方而自乘再乘见积，若还原立方原有不尽数者。以立方面自乘再乘并入不尽数见积。
今有物三千三百七十五尺，问立方若干。答曰立方面十五尺。法曰，置物三千三百七十五为实，约初商得十，于左，下法亦置十于右，自乘得一百，再乘得一千，除实乞余实二千三百七十五尺，却以三乘下法十得，三十为方法列位。次商五尺于左，初商之次下，法亦置次商五于初商十之次，共十五，就以五遍乘之得，七十五，为廉法，再以方法三十乘廉法七十五，得二千二百五十，除实乞余实一百二十五，却以次商五，自乘再乘得一百二十五，为耦法，除实恰尽。
右。
次商，五尺，并初商共十五尺，又用次商乘之得七十五尺，为廉法，以廉法除实。下法初商十，自乘得一百，再乘得一千，除实乞。就以三因初商一得三十，为方法。实尾五尺。
中。
七十次除本身五十余二，三十次除本身二百余一，再以商五尺自乘得再乘一百十五尺，为耦法，除实得尽。实首三十，右法呼先除本身一千，又以有法廉相乘得二千二百五十，除本身二尽更于旅次二三位除。次商五尺。
左。
初商十。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√3375≈10 10 3375 5
10*10*10=1000 3375-1000=2375 10+5=15
3*10=30 30*75=2250 15*5=75
2375-2250=125 5*5*5=125
125-125=0
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 2 2 3 3 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +3ab(a+b)+b
.其中,
3 3
a=10,b=5,(a+b) =15 =3375
今有积一百九十五万三千一百二十五尺。问立方面若干。答曰，立方面一百二十五尺。
法曰，置积尺数为实。红初商一百自乘再乘得一百万。除实讫余实九十五万三千一百二十五尺，却以三乘下法一百得三百，为方法列位。次商二十于初商一百之次。下法亦置二十于初商一百之次，共一百二十。就以二十乘之得二千四百，为廉法，再以方法三百乘廉，七十二万除实讫余实二十三万三千一百二十五尺，却以次商二十自乘，再乘得八千，为耦法，除实讫余实二十二万五千一百二十五尺。另以三乘下法一百二十，得三百六十，又以方法列位。再商五于左，初次商一百二十之下，共一百二十五。就以五乘之得六百二十五，又为廉法，再以方法三百六十乘廉法六百二十五，得二十二万五千，除实讫，再以再商五，自乘得乘得一百二十五，又为耦法除实尽合问。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√1953125≈100 100 1953125 20
100*100*100=1000000 1953125-1000000=953125 100+20=120
3*100=300 300*2400=720000 120*20=2400
953125-720000=233125 20*20*20=8000
3*120=360 233125-8000=225125 5
120+5=125
360*625=225000 125*5=625
225125-225000=125 5*5*5=125
125-125=0
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 3 3 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc.
3 3 3
=a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c
其中,
3 3
a=10,b=2,c=5,(a+b+c) =125 =1953125
引理：
3 3 3
(a+b+c) =(a+b) +c +3c(a+b)(a+b+c)
3 3 3
(a+b+c+d) =(a+b) +(c+d) +3(a+b)(c+d)(a+b+c+d)
3 3 3
(a+b+c+d+e) =(a+b+c) +(d+e) +3(a+b+c)(d+e)(a+b+c+d+e)
引理：
3 3 3 3 3
(a+b+c+d) =a +b +c +d +4abc+4acd+4bcd+4abd+
2 2 2 2 2 2 2
3ab +3ac +3ad +3bc +3bd +3cd +3c d+
2 2 2 2 2 2
+3a b+3a c+3a d+3b c+3b d+3c d+3cd
3 3 3 3 3
(a+b+c+d) =a +b +c +d +4abc+4acd+4bcd+4abd+
+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3ad(a+d)+3bc(b+c)+3bd(b+d)+3cd(c+d)
引理：
3 3 3 3 3 3
(a+b+c+d+e) =a +b +c +d +e +4abc+4abd+4abe+4acd+4ace+4bcd+4bce+4cbe+4cde
+2ab(a+b)+2ac(a+c)+2ad(a+d)+2ae(a+e)+2bc(b+c)+2bd(b+d)+2be(b+e)+2cd(c+d)+2ce(c+e)
3 3 3 3 3 3
(a+b+c+d+e) =a +b +c +d +e +4abe
+2ab(a+b+2b+2d)+2ac(a+c+2d+2e)+2ad(a+d)+2ae(a+e)+2bc(b+c+2d+2e)+2bd(b+d)+2be(b+e)+2cd(c+d)+2ce(c+e+2b+2d)
今有积四千一百五十尺，问立方面若干。答曰，立方面十六尺，八百十七至五十四。
法曰，置积为实。初商十自乘再乘得一千尺，除实讫余实三千一百五十，却以三乘下法十，得三十为方法列位。次商六尺于上，初商十之次，共十六，就以六乘之得九十六，为廉法，再以方法三十，乘廉法九十六，得二千八百八十。除实讫余实，二百，却以次商六，自乘再乘二百十六，为耦法，除实讫余实五十四尺，不尽。却以所商立方十六尺，自乘得二百五十六尺，又以三因得七百六十八，另以十六以三因之得四十八，再添一个，并入，共得一立方数积八百一十七之五十四。何谓命以原总数，除去五十四加上八百十七，使商得面方十七，因此不及而为之命。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√4150≈10 10 4150 10
10*10*10=1000 4150-1000=3150 10+6=16
3*10=30 30*96=2880 16*6=96
3150-2880=270
200+16=216 270-216=54 5
16*16=256
3*256=768 125*5=625
16*3=48
768+48=816
54
16
816
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2
3 c-a -b -3a(a+b)b 3
(a+b) [ ]= c
2
3(a+b) +3(a+b)
其中, a=10,b=6,c=4150。
假如，今有银一万两，问方若干。答曰，八寸九分三里，有奇难尽。
法曰，置银一万两，为实，以银率每寸一十四两为法，除之得，七百十四寸二分八里。又为实，以开立方法除之。初商八寸，于左，亦置八寸于右，为下法，自乘得六十四寸，再乘得五百十二寸，除实讫余实二百零二寸二分八里。却以三寸乘下法八寸，得二十四寸，为方法。次商九分于初商八寸之次，亦置九分于右。初商八寸之次，共八寸九分，就以九分遍乘得八寸零一，为廉法。再以方法二十四寸，乘廉法得一百九十二寸二分四里，除实讫余实十寸零四里。却以初商九分自乘得七寸二分九里，除实讫余实不尽，二分七里五毫。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√714.28≈8 8 714.28 8
8*8*8=512 714.28-512=202.28 8+0.9=8.9
9*8/3=24 24*8.01=192.24 8.9*0.9=8.01
202.28-192.24=10.04 8*0.9=7.2
0.9*81=7.29 0.9*0.9*100=81
10.04-7.29=2.75
2.75/100=0.0275
8.9+0.0275=8.9275
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 3 3 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc.
3 2 3
=a +10ab (a+b)+100b +100c
其中,
3 3
a=8,b=0.9,c=0.0275,(a+b+c) =8.9275 =714.28
今有田积三千三百七十五尺，问面方若干。答曰面方十五尺。
法曰，置积三千三百七十五尺为实，以开立方法除之。古法用三为廉率。约实定位，纵实末位尺，十尺定尺，百尺千尺定十尺。初商十于左。下法亦置初商十，自乘得一百，再乘一千，除实讫余实二千三百七十五尺，却以下法初商十自乘得一百，用三因为方法。又以初商十因之得三千。次商五尺于左，初商之次，下法亦置次商五尺自乘得三十五尺，为耦法。又以次商五尺乘廉三十得一百五十为廉法。并方法三百，廉法一百五十，耦法二十五，共四百七十五尺，皆与次商五尺相呼，四五除二，五七除五十五，五五除二十五，恰尽，得方面一十五尺合问。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√3375≈10 10 3375 5
10*10*10=1000 3375-1000=2375 10+5=15
3*10*10=300 5*5=25
3*10=30 30*5=150
300+150+25=475
475*5=2375
2375-2375=0
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 2 2 3 3 2 2
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +(3a +3ab+b )b
其中,
3 3
a=10,b=5,(a+b) =15 =3375
41.三次与四次方程，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根,
设x=a+b,得
3
(a+b) +p(a+b)+q=0
3
(a+b) +p(a+b)=-q
因为,
3 3 2 2 3 3 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +3ab(a+b)+b
所以，
3 3
a +3ab(a+b)+b +p(a+b)=-q
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值,
设p=0,得
2
b-a /3=0
2
b=a /3
那么，我们就得到方程化简为
3
x +q=0
3
x =-q
设x=a+b,得
3
(a+b) =-q
因为
3 3 2 2 3 3 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +3ab(a+b)+b
所以，
3 3
a +3ab(a+b)+b =-q
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值
也可设x=a+b+c,得
3
(a+b+c) =-q
因为,
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc
3 3 3
=a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c
所以，
3 3 3
a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c=-q
例如:
解方程；
3
x -91125=0
3 3
a +3ab(a+b)+b =91125
通过猜测，得到a=4,b=5,
所以，x=45,
利用上面的方法，也可以解高次方程
5
x -t=0
2
设y=x
3
y -t=0
设y=(a+b),
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
2 2 2
a +2ab+b =x
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值.
例如:
解方程；
5
x -2985984=0
3 3
a +3ab(a+b)+b =2985984
通过猜测，得到
a=1,b=4,c=4,
所以，
y=144.
2 2
a +2ab+b =144
通过猜测，得到
a=1,b=2,
所以，x=12,
通过上面的方法可以解高次方程。
例如，当物体在高温等离子体中运动时，速度就会超过光速，推测在高温环境下，由于高温能量场的作用，物体的基元结构会变的非常松散，以致物质的速度可以超越光速。在2000年7月20日，日本NEC公司北美研究所的一个研究小组在英国《自然》【Nature,2000,406:277】发表了一篇论文宣称成功进行了超光速光脉冲实验。“实验把激光射过一个长6厘米密封着铯原子气的玻璃管，对铯原子气的状态进行调整后，在测量光从一端到另一端时，出现一奇妙现象。通常光通过这个6厘米的玻璃管需要 0.2纳秒，即一百亿分之二秒，但观测结果显示，比这个时间提前62纳秒时光脉冲的波峰部分就出现在玻璃管的另一端。这就是说，本来在一百亿分之二秒的时间里应运动6厘米的光，在铯原子环境里跑了20米。”
【这段转载自BBS 水木清华站 (Sat Jul 22 20:40:28 2000)，本段描述为了作为该事件的一个记叙】
上面的实验证明，在高温环境中，物体的速度可以超越光速。这是因为高温环境改变了物体的内量场，使物体的基元结构变得松散了，所以可以导致物体的速度超越光速。在密闭的混凝土空间中，进行原子弹爆炸，产生上亿摄氏度的温度，在这个高温的銫等离子体空间空运动，就会达到超光速。当飞行器在宇宙空间中，在飞行器的四周引爆核弹，飞行器周围空间的基元结构发生改变，这时，飞行器向前移动，就会达到超光速运动的目的。也可以在飞行器的尾部发动机处，引爆原子弹，就会产生高温等离子体，这些高温等离子体使飞行器尾部的空间的基元结构发生改变，这样这些高温等离子体就会推动飞行器达到超光速运动。
我们测量这个空间中铯原子等离子空间的温度变化就会得到一个七次方程。
即,
7
x =t
4
可以设y=x
上面的方程可以化简为
3
y =t
也可设y=a+b+c,得
3
(a+b+c) =t
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc
3 3 3
=a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c
所以，
3 3 3
a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c=t
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值
2
设z=y
上面的方程可以化简为
2
z =y
也可设z=a+b,得
3
(a+b) =y
因为,
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
2 2 2
a +2ab+b =y
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值
同时，利用上面的方法还可以解决其它问题。
通过古人的发现，人们通过调节自身的意念，即脑电波，可以达到提高自身精神力的目的，这就是日常人们通过气动锻炼身体的过程。因为，人的脑电波可以和宇宙中的各种电磁波，地球的磁场产生感应，人们可以通过精神意念调节脑电波的频率，这样就会使人们感应宇宙磁场，地磁场的信号加强，就达到增强脑电波，心电波的目的。通过，脑电波，心电波感受宇宙电磁波，地磁场的过程，就会达到加强自身脑电波，心电波的功率的目的。人们的脑电波的波形可以用高次方程描述，宇宙的电磁波也可以通过高次方程描述，解这两个方程，控制自身的脑电波变化，使两个方程的解相等，就会达到用脑电波感应宇宙电磁波的目的。同时，地球上不同地方的地磁场的强度是不同的，通过高次方程可以描述地磁场，用上面的方法解这个地磁场高次方程，调节心电波就会是心电波方程的解和不同地方的地磁场强度的解相等，这样就会达到通过地磁场增强自身心电波的目的。
我们可以制作一个脑电波放大器，使脑电波的功率增强，这样就会感应出更大的宇宙电磁波。调节脑电波，可以控制吸收宇宙电磁波能量，这就要调节脑电波高次方程的解和宇宙电磁波高次方程的解相等。
