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Monte Carlo Algorithms


Monte Carlo Algorithms

1.计算Pi

Monte Carlo Algorithms_定积分

我们采用随机数生成器近似

Monte Carlo Algorithms_人工智能_03

假设平面上点

可以知道在园内的概率

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_07

Monte Carlo Algorithms_人工智能_08

由大数定律可知,当样本足够大时,满足条件的点

因此

Monte Carlo Algorithms_算法_12

我们可以求出误差界限在,说明当越大时,该方法求解的值会越近似

总结

Monte Carlo Algorithms_定积分_16

2.布封头针问题

Monte Carlo Algorithms_人工智能_17

该问题同样用来近似

Monte Carlo Algorithms_人工智能_19

随机在画有平行线的平面抛掷长为的头针,与平行线相交的概率

总结

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_22

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_23

头针问题的误差同样是,可以看到Lazzerini精确到小数点后七位,与时的误差不符,说明可能存在作假。

3.阴影面积计算

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_26

计算灰色区域面积。

Monte Carlo Algorithms_算法_27

可以分别判断点是否在扇形或者圆内。

Monte Carlo Algorithms_python_28

通过1,2两个不等式便可以确定点是否在阴影内。

Monte Carlo Algorithms_python_30

我们可以知道点落在阴影内的概率为:

总结

Monte Carlo Algorithms_定积分_32

Monte Carlo Algorithms_python_33

4.定积分

Monte Carlo Algorithms_人工智能_34

对于不可积的函数,我们可采用蒙特卡洛近似该区间的积分。

Monte Carlo Algorithms_定积分_35

随机抽样个点从区间中。

等区间长度乘上个点的均值。

根据大数定律,当

实例

Monte Carlo Algorithms_算法_42

多维函数的积分

Monte Carlo Algorithms_定积分_43

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_44

在空间下对多维x积分。

等于空间的体积乘上均值。

从另一个角度解释的近似。

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_49

Monte Carlo Algorithms_定积分_50

5.求期望

Monte Carlo Algorithms_算法_51

Monte Carlo Algorithms_算法_52

Monte Carlo Algorithms_概率密度函数_53

按照概率密度函数随机抽样个样本,然后求均值可以近似期望

6.蒙特卡洛算法的背景

Monte Carlo Algorithms_定积分_58

由叫Nicholas Metropolis的第一次提出。

蒙特卡洛是一个赌城之都。

Monte Carlo Algorithms_python_59

上面的拉斯维加斯等算法都是以赌场之都命名。


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