Monte Carlo Algorithms
1.计算Pi
我们采用随机数生成器近似
假设平面上点
可以知道在园内的概率
由大数定律可知,当样本足够大时,满足条件的点
因此
我们可以求出误差界限在,说明当
越大时,该方法求解的值会越近似
总结
2.布封头针问题
该问题同样用来近似。
随机在画有平行线的平面抛掷长为的头针,与平行线相交的概率
总结
头针问题的误差同样是,可以看到Lazzerini精确到小数点后七位,与
时的误差不符,说明可能存在作假。
3.阴影面积计算
计算灰色区域面积。
可以分别判断点是否在扇形或者圆内。
通过1,2两个不等式便可以确定点是否在阴影内。
我们可以知道点落在阴影内的概率为:
总结
4.定积分
对于不可积的函数,我们可采用蒙特卡洛近似该区间的积分。
随机抽样个点从区间
中。
等区间长度乘上
个点的均值。
根据大数定律,当,
实例
多维函数的积分
在空间下对多维x积分。
等于空间
的体积乘上均值。
从另一个角度解释的近似。
5.求期望
按照概率密度函数随机抽样
个样本,然后求均值
可以近似期望
6.蒙特卡洛算法的背景
由叫Nicholas Metropolis的第一次提出。
蒙特卡洛是一个赌城之都。
上面的拉斯维加斯等算法都是以赌场之都命名。