二分图
在图论中，二分图是一类特殊的图，又称为双分图、二部图、偶图。二分图的顶点可以分成两个互斥的独立集 U 和 V 的图，使得所有边都是连结一个 U 中的点和一个 V 中的点。顶点集 U、V 被称为是图的两个部分。等价的，二分图可以被定义成图中所有的环都有偶数个顶点 。(来源维基百科)
如果某个图为二分图，那么它至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数，任何无回路的的图均是二分图。
下面参考图 : javascript:void(0)
见上图 所示，其存在回路。如：1-4-2-5-1，长度为4，偶数。任意一种都为偶数，证明略。如果在1和2之前添一条边，那就不是二分图了，如下图。
添了1--2的边后，回路就存在了1--4--2--1，长度为3，奇数，所以图3就不是二分图。
定理 : 一张无向图是二分图,当且仅当图中不存在长度为奇数的环 。
根据该定理, 我们可以用染色法进行二分图的判定。大致思想是 : 尝试用黑白两种颜色标记图中的节点, 当一个节点被标记后,它的所有相邻节点应该被标记与它相反的颜色。若标记过程中产生冲突,则说明图中存在奇环。
伪代码:
void dfs(int x ,int color)
赋值 v[x] <- color
对于与 x 顶点相邻的边 y ,
if(v[y] == 0 ) then
dfs(y, -color )
else if(v[y] ≠ color)
判断无向图不是二分图,算法结束
int main (){
for i <- 1 to N
if(v[i] == 0 ) then dfs(i,1)
判断无向图是二分图
代码 :
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std ;
const int MAX = 100 ;
typedef long long LL ;
int m , n ; // m 边 , n 顶点
int color[MAX] ;
int edge[MAX][MAX] ;
bool dfs(int v ,int c) {
color[v] = c ; // 把当前节点染色
for(int i = 0; i<n ; i++) {
if(edge[v][i]) { // 遍历相邻的顶点
if(color[i] == c ){
return false ; // 产生冲突
}
if(color[i] == 0){//如果还未涂色，就染上相反的颜色-c,并dfs这个顶点，进入下一层
if(!dfs(i,-c)){
return false ;
}
}
}
}
return true ;
}
void solve(){
for(int i = 0 ; i<n ; i++ ) {
if(color[i] == 0 ) {
if(!dfs(i,1)){
cout<<"Not"<<endl ; // 不是二分图
return ;
}
}
}
cout<<"Yes"<<endl ; // 是二分图
}
int main(){
while(cin >>n >>m ){
memset(color,0,sizeof(color)) ;
memset(edge,0,sizeof(edge)) ;
for(int i = 0 ; i<m ; i++ ) {
int u , v ;
cin >> u >> v ;
edge[u][v] = 1 ;
edge[v][u] = 1 ;
}
solve() ; // 判断是否是二分图
}
return 0 ;
}
二分图匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配 (匹配是一个边的集合)。
图中加粗的边是数量为2的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边,而图三只有2条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
交替路 : 从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
(增广路)交错路: 如果在二分图中存在一条连接两个非匹配点的路径 path , 使得非匹配边与匹配边在 path 上交替出现, 那么称 path 是匹配 (边的集合) 的增广路 。
例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路显然具有以下性质 :
1 . 长度 len 是奇数 .
2 . 路径上的第 1 , 3 , 5 , .... len , 条边是非匹配边 , 第 2 , 4 , 6 .... len -1 条边是匹配边 。
正是因为以上的性质,如果我们把路径上的所有边的状态取反,原来的匹配边变成非匹配边 , 原来非匹配边变成 匹配边, 那么
我们就可以得到新的边集 仍然是一组匹配,并且匹配边数增加了1 。
进一步可以得到推论 :
二分图的一组最大匹配 S 是 最大匹配 ,当且仅当图中不存在 S 的增广路 .
匈牙利算法(增广路算法)
主要的过程是 :
1 . 设 S =
, 即所有的边都是非匹配边 .
2 . 寻找增广路 path , 把路径上所有边的状态取反 ,得到一个更大的匹配 S' .
3 . 重复第二步 , 直到图中不存在增广路 .
该算法的关键在于如何找到一条增广路。匈牙利算法依次尝试给每一个左部节点 x 寻找一个匹配的右部节点 y . 右部点 y 能与左部点 x 匹配 ,需要满足以下两个条件之一 :
1 y 本身就是非匹配点
2 y 已经和左部边另一个点 x' 匹配 ,但从 x' 出发能找到另一个右部点 y' 与之匹配.
此时路径 x ~y ~x' ~ y~ 为一条增广路 .
寻找增广路
红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4开始，找一条路径：
x4 -> y3-> x2->y1->x1->y2
因为y2是Y部中未匹配的顶点，故所找路径是增广路径。
其中有属于匹配M的边为{x2,y3},{x1,y1}
不属于匹配的边为{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}
可以看出：不属于匹配的边要多一条！
如果从M中抽走{x2,y3},{x1,y1}，并加入{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}，也就是将增广路所有的边进行”反色”,则可以得到四条边的匹配M’={{x3,y4}, {x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}}
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对。另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.
可知四条边的匹配是最大匹配.
找增广路径的算法
我们采用DFS的办法找一条增广路径：
从X部一个未匹配的顶点u开始，找一个未访问的邻接点v（v一定是Y部顶点）。对于v，分两种情况：
1 如果v未匹配，则已经找到一条增广路 .
2 如果v已经匹配，则取出v的匹配顶点w(w一定是X部顶点)，边(w,v)目前是匹配的，根据“取反”的想法，要将(w,v)改为未匹配， (u,v)设为匹配，能实现这一点的条件是看从w为起点能否新找到一条增广路径P’。如果行，则u-v-P’就是一条以u为起点的增广路 径。
P3386 【模板】二分图匹配
题目描述
给定一个二分图，结点个数分别为n,m，边数为e，求二分图最大匹配数
输入输出格式
输入格式：
第一行，n,m,e
第二至e+1行，每行两个正整数u,v，表示u,v有一条连边
输出格式：
共一行，二分图最大匹配
输入输出样例
输入样例#1： 复制
1 1 1
1 1
输出样例#1： 复制
1
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std ;
const int MAX = 1005 ;
typedef long long LL ;
int cx[MAX] , cy[MAX] ;
int vis[MAX] ;
int e[MAX][MAX];
int ans ;
int m ; // 边数
int nx ,ny ; // 左部顶点个数 ,右部顶点个数 .
bool dfs(int u){
for(int v = 1 ; v<=ny ; v++) { // 遍历右部顶点集
if(e[u][v]&&!vis[v]){ // 如果u 到 v 有边 ,且没访问过
vis[v] = 1 ;
if(cy[v] == -1 || dfs(cy[v])){
// 如果v没有匹配,则已经找到一条增广路,结束算法
// 否则 继续 dfs(它的匹配点)
cx[u] = v ;
cy[v] = u ;
return true ;
}
}
}
return false ;
}
void Maxmatch(){ // 二分图最大匹配
memset(cx,-1,sizeof(cx)) ;
memset(cy,-1,sizeof(cy)) ; // 初始化为都是分匹配
for(int i = 1 ; i<= nx ; i ++) { // 遍历二分图左边顶点
if(cx[i] == -1) {//如果左边的i顶点还没有匹配的点，就对i顶点进行匹配
memset(vis,0,sizeof(vis)) ;
ans+=dfs(i) ;
}
}
}
int main(){
cin >> nx >> ny >> m ;
for(int i = 1 ; i<=m ;i++ ) {
int x , y ;
scanf("%d%d",&x,&y);
e[x][y] = 1 ;
}
Maxmatch() ;
cout<<ans<<endl;
return 0 ;
}
