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LeetCode 训练场:1137. 第 N 个泰波那契数


1. 题目

​​1137. 第 N 个泰波那契数​​

2. 描述


泰波那契序列 Tn 定义如下:

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n,请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1:

输入:n = 4

输出:4

解释:

T_3 = 0 + 1 + 1 = 2

T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2:

输入:n = 25

输出:1389537

提示:

0 <= n <= 37

答案保证是一个 32 位整数,即 answer <= 2^31 - 1。


3. 实现方法

3.1 方法 1

3.1.1 思路

F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2) + F(N - 3), 其中 N > 1

利用递归的方法, 把 f ( n ) f(n) f(n) 问题的计算拆分成 f ( n − 1 ) f(n−1) f(n−1) , f ( n − 2 ) f(n−2) f(n−2) 和 f ( n − 3 ) f(n-3) f(n−3)三个子问题的计算,并递归,以 f ( 0 ) f(0) f(0) , f ( 1 ) f(1) f(1)和 f ( 2 ) f(2) f(2) 为终止条件,虽然能求出结果,但是最终会超时;

3.1.2 实现

public int tribonacci(int n) {
if (n == 0 || n == 1) {
return n;
}
if(n == 2){
return 1;
}

return tribonacci(n - 1) + tribonacci(n - 2) + tribonacci(n - 3);
}

3.2 方法 2

3.2.1 思路

减少暴力递归中的重复运算,可以将子问题的答案存放到备忘录,进行下次运算时先从备忘录中查询,如果已经有对应答案,直接取出用就行,这样就可以大大减少运算的时间。

通过添加备忘录,将原来的递归树进行了剪枝,大大减少了子问题,此时的子问题个数变成了 n n n,此时的时间复杂度变成了 O ( n ) O(n) O(n);

3.2.2 实现

// 用一个哈希表来当备忘录
HashMap<Integer, Integer> hashMap = new HashMap<>();

public int tribonacci(int n) {
// Base Case
if (n == 0 || n == 1) {
return n;
}

if(n == 2){
return 1;
}

// 如果计算过了,就直接返回对应答案
if (hashMap.containsKey(n)) {
return hashMap.get(n);
} else {
// 没计算过的进行计算,同时存入备忘录
int val = tribonacci(n - 2) + tribonacci(n - 1) + tribonacci(n-3);
hashMap.put(n, val);
return val;
}
}

3.3 方法 3

3.3.1 思路

T(0) = 0, T(1) = 1, T(2) = 1

$T_{N+3} =T_N+T_{N+1}+T_{N+2} $, 其中 N > = 0

利用上述条件,利用动态规划的思想;


  • 状态定义: 设 d p dp dp 为一维数组,其中 d p [ i ] dp[i] dp[i] 的值代表泰波那契序列第 i i i 个数字 。
  • 转移方程: d p [ i + 1 ] = d p [ i ] + d p [ i − 1 ] + d p [ i − 2 ] dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1] + dp[i-2] dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1]+dp[i−2],即对应数列定义 f ( n + 1 ) = f ( n ) + f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) +f(n-2) f(n+1)=f(n)+f(n−1)+f(n−2);
  • 初始状态: d p [ 0 ] = 0 dp[0] = 0 dp[0]=0, d p [ 1 ] = 1 dp[1]=1 dp[1]=1 , d p [ 2 ] = 1 dp[2]=1 dp[2]=1,即初始化前三个数字;
  • 返回值: d p [ n ] dp[n] dp[n] ,即泰波那契序列的第 n n n 个数字
  • 时间复杂度:此时主要进行循环操作,时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n);

3.3.2 实现

public int tribonacci(int n) {
// base case
if(n == 0 ){
return 0;
}

if(n==1||n==2){
return 1;
}

int prev = 0;
int midd = 1;
int curr = 1;
for(int i =3;i<=n;i++){
int sum = prev + midd + curr;
prev = midd;
midd = curr;
curr = sum;
}
return curr;
}



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