DP(二）装箱问题-CFANZ编程社区

题目描述
有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积（正整数）。

要求 n 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入格式
第一行是一个整数 V，表示箱子容量。

第二行是一个整数 n，表示物品数。

接下来 n 行，每行一个正整数（不超过10000），分别表示这 n 个物品的各自体积。

输出格式
一个整数，表示箱子剩余空间。

数据范围
0<V≤20000,
0<n≤30

样例
输入样例：
24
6
8
3
12
7
9
7
输出样例：
0

思路一：DP
那么显而易见我们要让物品的体积尽量大，所以体积就是价值。
但是我们选一个物品，首先我们收获了价值，但箱子的体积也相应的减少了容量，所以体积还是价值。
意味着我们在让箱子剩余体积减少时，还能装的容量减少了（怎么这么不通顺）。
那就是01背包了。
只不过这里体积也是价值

时间复杂度 O(n*m)
参考文献
C++ 代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 40, M = 10010;
int n, m;
int a[N];
int f[N][M * 2];
//f[i][j]表示考虑前i个物品，总体积不超过j的最大体积。
int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            //不选当前物品
            if (j >= a[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - a[i]] + a[i]);
            //选当前物品，但体积必须足够
        }
    }
    cout << m - f[n][m] << endl; //注意是剩余体积
    return 0;
}

//优化
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int f[N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>m>>n;
    memset(f,0,sizeof f);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v;
        cin>>v;
        for (int j = m; j>=v; j -- )
         f[j]=max(f[j],f[j-v]+v);
    }
    return cout<<m-f[m],0;
}

Java代码

import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static int m,n;
    static int f[]=new int [100010];
    public static void main(String[] args){
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        m=cin.nextInt();
        n=cin.nextInt();
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int a=cin.nextInt();
            for(int j=m;j>=a;j--)
            f[j]=Math.max(f[j],f[j-a]+a);
        }
        System.out.println(m-f[m]);
        return ;
    }
}

思路二：逆序求最大容量
01背包f[j]表示容量为j的背包最多能装多少价值的物品
而下面的f[j]表示容量为j的背包是否能被装满
能想到这个也是非常nb的

时间复杂度 O(n*m)
参考文献
C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int m,n;
int f[N];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    f[0]=1;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v;
        cin>>v;
        for (int j = m; j >=v; j --)
         f[j]|=f[j-v];
    }
    for (int j = m; j; j --)
        if(f[j])
            return cout<<m-j,0;
    return 0;
}

Java代码

import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static int m,n;
    static int f[]=new int [100010];
    public static void main(String[] args){
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        m=cin.nextInt();
        n=cin.nextInt();
        f[0]=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int a=cin.nextInt();
            for(int j=m;j>=a;j--)
            f[j]|=f[j-a];
        }
        for (int j = m; j>=0; j --)
          if(f[j]==1)
          {
              System.out.println(m-j);
              return ;
          }
        return ;
    }
}

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