关于『基本算法』:高精度

~~建议缩放90%食用~~

在 C2024XSC717 小姐姐的再三恳求下，在下码了这篇模板。但确凿高精度这玩意儿实在是太太太……（此处省略10086字）常用了，十道题有三道用高精，还是高精加减乘除混着用的那种。。。~~（（蒟蒻无语~~

~~高精度! No face! Every day！1~~

以下为在下编写的高精模板，有误请指出谢谢（￣︶￣）↗　
~~(蒟蒻大鸽子要掏出它的代码了！！1)~~

~~（奇怪的知识又增加了呢~)~~

基本算法向你发起进攻，请注意防守🔫🔫🔫

~~废话 is over.~~

~~a + b 真的等于 a + b 吗?~~

注：本篇主要集合了个人见解，在某些地方也许弥天大雾，敬请指出

~~正文 is begin.~~

高精度算法，属于处理大数字的数学计算方法
在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几千亿几百亿的大数字
一般这类数字我们统称为 “高精度数” ，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘，开方等运算

一、高精度加法 $(High\ precision\ addition)$

1.题目运用（#419. 简单高精度加法）

/*
#419. 简单高精度加法　
题目描述:
计算两个非负整数A、B的和，其中A和B的位数在5000位左右。

输入格式:
共两行数据，第一行为一个非负整数A，第二行为一个非负整数B，A、B的位数均在5000以内。

输出格式:
输出一个非负数，即两数之和。

样例输入:
11111111111
22222222222
样例输出:
33333333333
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int M = 5e3 + 5;
char s1[M], s2[M];
int a[M], b[M], c[M];
int main() {
	scanf("%s\n%s", s1, s2);
	int l1 = strlen(s1), l2 = strlen(s2);
	for (int i = 1; i <= l1; i++) { //因为加法涉及进位问题，比如99+3=102，这个1就是进位，在数组最后插入元素是很方便的，所以倒序存放
		a[i] = s1[l1 - i] - '0';
	}
	for (int i = 1; i <= l2; i++) {
		b[i] = s2[l2 - i] - '0';
	}
	//高精加算法部分
	int l3 = 1, x = 0; //记录进位
	while(l3 <= l1 || l3 <= l2) { //将两数所有位相加
		c[l3] = a[l3] + b[l3] + x; //答案的这一位 等于 a数组的这一位 加上 b数组的这一位 再加上进位
		x = c[l3] / 10; //记录进位
		c[l3] %= 10; //进位后该位的值
		l3++; //答案的长度加一
	} 
	c[l3] = x; //答案的最高位是最后一次进位的数
	while (c[l3] == 0 && l3 > 1) { //删除前导零
		l3--;
	}
	
	for (int i = l3; i >= 1; i--) {
		printf("%d", c[i]);
	} 
	return 0;
}

3.习题演练

(1). 基础框架

#419. 简单高精度加法
#6365. 高精度加法
#8119. 高精度加法
#8487. 基础题十高精度加法

(2). 实际运用

#329. 铺砖2
#411. 求n累加和
#416. 被限制的加法

二、高精度减法 $(High\ precision\ subtraction)$

1.题目运用（#420. 简单高精度减法）

/*
#420. 简单高精度减法
题目描述:
求出A-B的值，其中A和B均为非负整数，其位数不超过5000。

输入格式:
共两行数据，第一行为一个非负整数A，第二行为一个非负整数B，A、B的位数均在5000以内。

输出格式:
输出一个整数，即A-B的值。

样例输入：
2
1
样例输出:
1
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 5e3 + 5;
char s1[M], s2[M];
int a[M], b[M], c[M];
int main() {
	scanf("%s\n%s", s1, s2);
	int l1 = strlen(s1), l2 = strlen(s2);
	if (l1 < l2  || (l1 == l2 && strcmp(s1, s2) < 0)) { //判断被减数是否小于减数
		printf("-");  //判定值为负
		swap(s1, s2); //交换被减数和减数（使其转化为绝对值相减）
		swap(l1, l2); //交换长度
	}
	for (int i = 1; i <= l1; i++) { 
		a[i] = s1[l1 - i] - '0';
	}
	for (int i = 1; i <= l2; i++) {
		b[i] = s2[l2 - i] - '0';
	}
	//高精减算法部分
	int l3 = 1, x = 0;
	while (l3 <= l1 || l3 <= l2) {
		if (a[l3] < b[l3]) { //不够减时借位
			a[l3] += 10; //借一着十
			a[l3 + 1]--; //被借位要退位
		}
		c[l3] = a[l3] - b[l3]; //数位相减
		l3++; 
	} 
	while (c[l3] == 0 && l3 > 1) { //删除前导零
		l3--;
	}
	
	for (int i = l3; i >= 1; i--) {
		printf("%d", c[i]);
	} 
	return 0;
}

2.习题

1.基础框架

#420. 简单高精度减法
#6364. 高精度减法
#8120. 高精度减法
#8488. 基础题十一高精度减法

2.实际运用

暂未找到相关题目

三、高精度乘法 $(High\ precision\ multiplication)$

1.题目运用（#417. 简单高精度乘法）

/*
#417. 简单高精度乘法　
题目描述：
铐住修罗王和邪狼的魔法手铐镌刻着两行数字，修罗王猜测其开启密码是这两行数字的乘积，为此他需要编写一
个简单高精度乘法的程序以验证其猜测。即已知A和B的值，其中A、B的位数不超过5000，试求出A×B的值。

输入格式：
为两行数字即A和B，A、B的倍数不超过5000位。

输出格式：
为一行数字，即A×B的值。

样例
样例输入
2
3
样例输出
6
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
char s1[5005], s2[5005];
int a[5005], b[5005], c[10005];
int main() {
	scanf("%s\n%s", s1, s2);
	int l1 = strlen(s1), l2 = strlen(s2);
	for (int i = 1; i <= l1; i++) {
		a[i] = s1[l1 - i] - '0';
	}
	for (int i = 1; i <= l2; i++) {
		b[i] = s2[l2 - i] - '0';
	}
	//高精乘算法部分
	for (int i = 1; i <= l1; i++) { //模拟手算过程
		for (int j = 1; j <= l2; j++) {
			c[i + j - 1] += a[i] * b[j]; 
			c[i + j] += c[i + j - 1] / 10; //进位
			c[i + j - 1] %= 10; //进位后该位的值
		}
	}
	int l3 = l1 + l2; //积可能的最大的位数是两因数位数之和
	while (c[l3] == 0 && l3 > 1) { //删除前导零
		l3--;
	}
	
	for (int i = l3; i >= 1; i--) {
		printf("%d", c[i]);
	} 
	return 0;
}

2.习题演练

(1). 基础框架

#417. 简单高精度乘法
#6363. 高精度乘法

(2). 实际运用

#359. 编程社买书
#410. 求n的阶乘
#412. 阶乘和
#421. 高精度阶乘
#422. 高精度幂

四、高精度除法 $(High\ precision\ Division)$

1.题目运用（#423. 高精度数除以低精度数1）

/*
#423. 高精度数除以低精度数1
题目描述：
输入一被除数（位数 <= 5000）,输入一除数（整型数据范围内），输出整数商，忽略小数。

输入格式：
输入共两行，第一行为一个数字字符串，即被除数，第二行为一个整数，即除数。

输出格式：
输出整数商，忽略小数。

样例
样例输入
20
5
样例输出
4
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
char s1[5005];
int a[5005], b, c[5005];
int main() {
	scanf("%s\n%d", s1, &b);
	int l1 = strlen(s1);
	for (int i = 1; i <= l1; i++) {
		a[i] = s1[i - 1] - '0';
	}
	//高精除算法部分
	long long x = 0; //记录余数
	for (int i = 1; i <= l1; i++) {
		c[i] = (a[i] + 10 * x) / b; //计算本步的商
		x = (a[i] + 10 * x) % b; //记录余数
	} 
	int begin = 1; //除法从开头去前导零
	while (c[begin] == 0 && begin < l1) {
		begin++;
	}
	
	for (int i = begin; i <= l1; i++) {
		printf("%d", c[i]);
	} 
	return 0;
}