SAEM算法介绍-CFANZ编程社区

引言

SAEM（Stochastic Approximation Expectation-Maximization）算法是一种在统计学和机器学习中广泛应用的方法，尤其适用于处理含有隐变量的模型。它通过迭代地优化模型参数来逼近真实数据分布，特别适合处理复杂的、非凸优化问题。本文将详细介绍SAEM算法的基本原理、应用场景，并提供Python实现代码示例。

SAEM算法概述

1.1 背景

在许多现实世界的问题中，数据往往包含不可观测的隐变量。例如，在基因表达数据分析中，某些基因可能受到未观测到的环境因素的影响。传统的最大似然估计方法在这种情况下可能无法找到全局最优解。SAEM算法通过引入随机近似和期望最大化步骤，有效地解决了这些问题。

1.2 基本原理

SAEM算法结合了随机近似（Stochastic Approximation, SA）和期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法的思想。具体步骤如下：

初始化：随机初始化模型参数 \(\theta\)。
E步（期望步）：给定当前参数 \(\theta\)，计算隐变量的条件期望 \(Q(\theta | \theta^{(t)})\)。
M步（最大化步）：最大化 \(Q(\theta | \theta^{(t)})\)，更新模型参数 \(\theta\)。
SA步（随机近似步）：通过随机采样来近似 \(Q(\theta | \theta^{(t)})\)，并更新参数 \(\theta\)。

SAEM算法的数学描述

假设我们有一个观测数据集 \(\{y_i\}{i=1}^N\) 和对应的隐变量 \(\{z_i\}{i=1}^N\)。我们的目标是最大化联合概率 \(P(y, z; \theta)\) 关于参数 \(\theta\) 的对数似然函数 \(L(\theta)\)。

E步： \[ Q(\theta | \theta^{(t)}) = \mathbb{E}_{z|y, \theta^{(t)}}[\log P(y, z; \theta)] \]
M步： \[ \theta^{(t+1)} = \arg\max_{\theta} Q(\theta | \theta^{(t)}) \]
SA步： \[ \theta^{(t+1)} = \theta^{(t)} + \alpha_t (g(y, z^{(t)}; \theta^{(t)}) - \theta^{(t)}) \] 其中，\(z^{(t)}\) 是从 \(P(z|y, \theta^{(t)})\) 中采样的隐变量，\(\alpha_t\) 是步长参数，通常选择为 \(\alpha_t = \frac{1}{t}\)。

应用场景

SAEM算法在多个领域都有广泛的应用，包括但不限于：

生物统计学：基因表达数据分析、药物动力学模型。
计算机视觉：图像分割、目标跟踪。
自然语言处理：主题模型、情感分析。

Python实现

下面是一个简单的Python实现示例，用于演示如何使用SAEM算法拟合一个混合高斯模型（Gaussian Mixture Model, GMM）。

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

class SAEM_GMM:
    def __init__(self, n_components, n_iter=1000, tol=1e-5):
        self.n_components = n_components
        self.n_iter = n_iter
        self.tol = tol
        self.means_ = None
        self.covariances_ = None
        self.weights_ = None

    def fit(self, X):
        n_samples, n_features = X.shape
        self.means_ = np.random.randn(self.n_components, n_features)
        self.covariances_ = np.array([np.eye(n_features)] * self.n_components)
        self.weights_ = np.ones(self.n_components) / self.n_components

        for t in range(self.n_iter):
            # E-step: Compute responsibilities
            responsibilities = self._compute_responsibilities(X)

            # M-step: Update parameters
            N_k = responsibilities.sum(axis=0)
            self.means_ = (X.T @ responsibilities) / N_k
            self.covariances_ = np.array([
                (X - self.means_[k]).T @ (responsibilities[:, k] * (X - self.means_[k])) / N_k[k]
                for k in range(self.n_components)
            ])
            self.weights_ = N_k / n_samples

            # SA step: Update with stochastic approximation
            alpha_t = 1 / (t + 1)
            self.means_ = (1 - alpha_t) * self.means_ + alpha_t * self._sample_means(X, responsibilities)
            self.covariances_ = (1 - alpha_t) * self.covariances_ + alpha_t * self._sample_covariances(X, responsibilities)
            self.weights_ = (1 - alpha_t) * self.weights_ + alpha_t * N_k / n_samples

            # Check convergence
            if t > 0 and np.linalg.norm(self.means_ - prev_means) < self.tol:
                break
            prev_means = self.means_.copy()

    def _compute_responsibilities(self, X):
        log_likelihoods = np.array([
            multivariate_normal.logpdf(X, mean=self.means_[k], cov=self.covariances_[k]) + np.log(self.weights_[k])
            for k in range(self.n_components)
        ]).T
        log_sum = logsumexp(log_likelihoods, axis=1)[:, np.newaxis]
        return np.exp(log_likelihoods - log_sum)

    def _sample_means(self, X, responsibilities):
        sampled_means = np.zeros((self.n_components, X.shape[1]))
        for k in range(self.n_components):
            sampled_means[k] = np.average(X, weights=responsibilities[:, k], axis=0)
        return sampled_means

    def _sample_covariances(self, X, responsibilities):
        sampled_covariances = np.zeros((self.n_components, X.shape[1], X.shape[1]))
        for k in range(self.n_components):
            centered_X = X - self.means_[k]
            weighted_centered_X = responsibilities[:, k][:, np.newaxis] * centered_X
            sampled_covariances[k] = weighted_centered_X.T @ centered_X / responsibilities[:, k].sum()
        return sampled_covariances

# 示例数据
np.random.seed(0)
X = np.concatenate([
    np.random.multivariate_normal([0, 0], [[1, 0], [0, 1]], 100),
    np.random.multivariate_normal([5, 5], [[1, 0], [0, 1]], 100)
])

# 拟合模型
model = SAEM_GMM(n_components=2)
model.fit(X)

# 输出结果
print("Means:\n", model.means_)
print("Covariances:\n", model.covariances_)
print("Weights:\n", model.weights_)