目录

• 1. 计算条件
• 2. 解题步骤
• • 2.1 建立增广泛函
  • 2.2 建立增广变量向量
  • 2.3 欧拉方程
• 3. 例题
• 4. 一个tip

1. 计算条件

这里直接给出拉格朗日问题必需的条件：

1. 数学模型
   $$\{\begin{array}{ll}{\dot{x}}_1& =f_1\left(t,x,u\right)\\ {\dot{x}}_2& =f_2\left(t,x,u\right)\\ ⋮& \\ {\dot{x}}_n& =f_n\left(t,x,u\right)\end{array}$$值得注意的是，这里的$x$和$u$都是向量：
   $$x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{cccc}{u}_1& u_2& \cdots & u_n\end{array}\right]$$，且$x_i,u_i$均为时间的函数。
2. 给定时间区间
   $$t\in \left[t_0,t_k\right]$$
3. 边界条件
   $$Start=\{\begin{array}{ll}{x}_1(t_0)& =x_{10}\\ x_2(t_0)& =x_{20}\\ ⋮& \\ x_n(t_0)& =x_{n0}\end{array}$$$$End=\{\begin{array}{ll}{x}_1(t_k)& =x_{1k}\\ x_2(t_k)& =x_{2k}\\ ⋮& \\ x_n(t_k)& =x_{nk}\end{array}$$应注意，左边界和右边界各自有$n$个边界条件，故一共$2n$个边界条件。
4. 性能指标
   $$J={\int }_{t_0}^{t_k}F\left(t,x,\dot{x},u\right)dt\to extr.$$

2. 解题步骤

2.1 建立增广泛函

对于拉格朗日问题，应当先列出增广泛函：
$$F_p={\lambda }_0\cdot F\left(t,x,\dot{x},u\right)+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(t)\cdot \left({\dot{x}}_i-f_i\left(t,x,u\right)\right)$$其中${\lambda }_0$为一未确定参数，其性质满足：
$$\{\begin{array}{l}若{\lambda }_0>0,则J\to min\\ 若{\lambda }_0<0,则J\to max\end{array}$$且${\lambda }_0\ne 0$。
同时还需有：${\lambda }_i(t)$中不可以所有${\lambda }_i$都等于0。

2.2 建立增广变量向量

现在建立增广变量向量：
$$\left[\begin{array}{cccccccccccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n& u_1& u_2& \cdots & u_m& {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$共$2n+m$个元素，其中$x_i$与${\lambda }_i$个数相同，均为$n$个，而$u$有$m$个。

此时，如果把上述向量中的每个元素都看成一个单独的变量，则拉格朗日问题就转化为了多变量问题。

2.3 欧拉方程

对于泛函$F_p$写出欧拉方程：
$$共(2n+m)个:\{\begin{array}{ll}{F}_{p{x}_1}-\frac{d}{dt}{F}_{p{\dot{x}}_1}& =0\\ ⋮& \\ F_{p{x}_n}-\frac{d}{dt}{F}_{p{\dot{x}}_n}& =0\\ F_{p{u}_1}-\frac{d}{dt}{F}_{p{\dot{u}}_1}& =0\\ ⋮& \\ F_{p{u}_m}-\frac{d}{dt}{F}_{p{\dot{u}}_m}& =0\\ F_{p{\lambda }_1}-\frac{d}{dt}{F}_{p{\dot{\lambda }}_1}& =0\\ ⋮& \\ F_{p{\lambda }_n}-\frac{d}{dt}{F}_{p{\dot{\lambda }}_n}& =0\end{array}\text{\hspace{1em}(*)}$$利用欧拉方程组可以解出向量$u$的表达式：
$$\{\begin{array}{ll}{u}_1& ={\phi }_1(x,\lambda )\\ ⋮& \\ u_m& ={\phi }_m(x,\lambda )\end{array}$$并能够同时得出最优的$x$与相应的指标$J$。

3. 例题

$\square$给出条件

1. 数学模型$$\{\begin{array}{ll}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =u\end{array}$$
2. 时间区间
   $$t\in \left[0,1\right]$$
3. 性能指标
   $$J={\int }_0^1\left(4x_1^2+5x_2^2+u^2\right)dt\to min$$
4. 边界条件
   $$Start=\{\begin{array}{ll}{x}_1(0)& =5\\ x_2(0)& =0\end{array}$$$$End=\{\begin{array}{ll}{x}_1(1)& =0\\ x_2(1)& =0\end{array}$$
   解：
   根据数学模型有
   $$f_1=x_2,f_2=u$$写出增广泛函
   $$\begin{array}{rl}{F}_p& ={\lambda }_{0}F\left(t,\dot{x},x,u\right)+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(t)\left(x_i(t)-f_i\left(t,x,u\right)\right)\\ & ={\lambda }_{0}F+{\lambda }_1(t)\left({\dot{x}}_1-f_1\right)+{\lambda }_2(t)\left({\dot{x}}_2-f_2\right)\\ & ={\lambda }_0\left(4x_1^2+5x_2^2+u^2\right)+{\lambda }_1(t)\left({\dot{x}}_1-x_2\right)+{\lambda }_2(t)\left({\dot{x}}_2-u\right)\end{array}$$增广变量为
   $$\left[\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& u& {\lambda }_1& {\lambda }_2\end{array}\right]$$代入(*)式可有
   $$\{\begin{array}{ll}8{\lambda }_0{x}_1-{\dot{\lambda }}_1(t)& =0\\ \left(10{\lambda }_0{x}_2-{\lambda }_1\right)-{\dot{\lambda }}_2(t)& =0\\ \left(2{\lambda }_{0}u-{\lambda }_2(t)\right)-0& =0\\ \left({\dot{x}}_1-x_2\right)-0& =0\\ \left({\dot{x}}_2-u\right)-0& =0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$由于题目要求$J\to min$，因此${\lambda }_0>0$，不妨取${\lambda }_0=1$，则(1)式可解出
   $$\{\begin{array}{ll}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =\frac{{\lambda }_2}{2{\lambda }_0}=\frac{{\lambda }_2}{2}\\ {\dot{\lambda }}_1& =8{\lambda }_0{x}_1=8x_1\\ {\dot{\lambda }}_2& =10{\lambda }_0{x}_2-{\lambda }_1=10x_2-{\lambda }_1\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$将(2)写成标准柯西形式$\dot{X}=AX$有
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{\lambda }}_1\\ {\dot{\lambda }}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{2}\\ 8& 0& 0& 0\\ 0& 10& -1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ {\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right]$$用$\det \left(pI-A\right)=0$解得
   $$p^4-5p^2+4=0,⟹p_1=2,p_2=-2,p_3=1,p_4=-1$$进而
   $$\begin{array}{rl}{x}_1(t)& =C_1{e}^{-t}+C_2{e}^t+C_3{e}^{-2t}+C_4{e}^{2t}\\ x_2(t)& ={\dot{x}}_1(t)=-C_1{e}^{-t}+C_2{e}^t-2C_3{e}^{-2t}+2C_4{e}^{2t}\end{array}$$再代入边界条件有
   $$\begin{gathered} C_1=25.098,C_2=-7.303, \\ {C}_3=-14.498,C_4=1.703.\square \end{gathered}$$

4. 一个tip

回顾性能指标$J$的表达式可以看出，被积函数$F$中在$x_i,u$前都有系数，这个系数可以看做各个变量的权重。某一项的权重越大，该变量对$J$的影响越大。因此，可以人为地增大某一项的权重系数来提高该项对整个系统的影响力。