数据结构之二叉树（敲重点！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！）

计算机学术语

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二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。二叉树特点是每个节点最多只能有两棵子树，且有左右之分 ^[1] 

二叉树是n个有限元素的​​集合​​，该集合或者为空、或者由一个称为根（root）的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成，是有序树。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个节点 ^[1] 

中文名 二叉树 外文名 Binary Tree 概    述 计算机中数据结构的一种 简    介 每个结点最多有两个子树的树结构 应用学科 计算机科学 存储方式 顺序存储、链式存储

目录

1. 1​​定义​​
2. 2​​基本形态​​
3. 3​​特殊类型​​
4. 4​​相关术语​​
5. 5​​二叉树性质​​
6. 6​​二叉树遍历​​
7. 7​​线索二叉树​​

定义

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树 ^[2] 

基本形态

二叉树是递归定义的，其节点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态： ^[3] 

1、空二叉树——如图1（a） ^[3]  ；

2、只有一个根节点的二叉树——如图1（b） ^[3]  ；

3、只有左子树——如图1（c） ^[3]  ；

4、只有右子树——如图1（d） ^[3]  ；

5、​​完全二叉树​​——如图1（e） ^[3]  。

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特殊类型

1、满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的节点和度为2的节点，并且度为0的节点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树 ^[4]  。

2、完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的节点一一对应时，称为完全二叉树 ^[4]  。

完全二叉树的特点是叶子节点只可能出现在层序最大的两层上，并且某个节点的左分支下子孙的最大层序与右分支下子孙的最大层序相等或大1 ^[4]  。

相关术语

①节点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息 ^[5]  。

②节点的度：一个节点拥有子树的数目称为节点的度 ^[5]  。

③叶子节点：也称为终端节点，没有子树的节点或者度为零的节点 ^[5]  。

④分支节点：也称为非终端节点，度不为零的节点称为非终端节点 ^[5]  。

⑤树的度：树中所有节点的度的最大值 ^[5]  。

⑥节点的层次：从根节点开始，假设根节点为第1层，根节点的子节点为第2层，依此类推，如果某一个节点位于第L层，则其子节点位于第L+1层 ^[5]  。

⑦树的深度：也称为树的高度，树中所有节点的层次最大值称为树的深度 ^[5]  。

⑧有序树：如果树中各棵子树的次序是有先后次序，则称该树为有序树 ^[5]  。

⑨无序树：如果树中各棵子树的次序没有先后次序，则称该树为无序树 ^[5]  。

⑩森林：由m（m≥0）棵互不相交的树构成一片森林。如果把一棵非空的树的根节点删除，则该树就变成了一片森林，森林中的树由原来根节点的各棵子树构成 ^[5]  。

二叉树性质

性质1：二叉树的第i层上至多有2^i-1（i≥1）个节点 ^[6]  。

性质2：深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点 ^[6]  。

性质3：若在任意一棵二叉树中，有n₀个叶子节点，有n₂个度为2的节点，则必有n₀=n₂+1 ^[6]  。

性质4：具有n个节点的满二叉树深为log2n+1。

性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点： ^[6] 

当i=1时，该节点为根，它无双亲节点 ^[6]  。

当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2 ^[6]  。

若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点 ^[6]  。

若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点 ^[6]  。

二叉树遍历

遍历是对树的一种最基本的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有节点，使每一个节点都被访问一次，而且只被访问一次。由于二叉树是非线性结构，因此，​​树的遍历​​实质上是将二叉树的各个节点转换成为一个线性序列来表示 ^[7] 

线索二叉树

按照某种遍历方式对二叉树进行遍历，可以把二叉树中所有节点排列为一个线性序列。在该序列中，除第一个节点外，每个节点有且仅有一个直接前驱节点；除最后一个节点外，每个节点有且仅有一个直接后继节点。但是，二叉树中每个节点在这个序列中的直接前驱节点和直接后继节点是什么，二叉树的存储结构中并没有反映出来，只能在对​​二叉树遍历​​​的动态过程中得到这些信息。为了保留节点在某种遍历序列中直接前驱和直接后继的位置信息，可以利用二叉树的二叉链表存储结构中的那些空指针域来指示。这些指向直接前驱节点和指向直接后继节点的指针被称为线索（thread），加了线索的叉树称为​​线索二叉树​​ ^[8]  。

线索二叉树将为二叉树的遍历提供许多遍历 ^[8]  。

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