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归并排序求逆序对

小猪肥 2022-01-31 阅读 90

一. 归并排序

【下面是从小到大排序】

1. 【划分】序列a1~an,从中间分开;不断重复这个动作,知道这个序列的长度为为1时return;

2. 【定义】面对 从中间分开的 两段序列 x 和 y ,设 x序列 最左端的为 begin ,x序列最后一位为 mid ,y序列最左端的为 end;【到这一步骤前,序列 x 和 y 已经是从小到大排序的了


当前任务:要把 begin 到 end 的序列从小到大排序;


3. 【定义】设buf是存放begin到end的 从小到大的 数组;

4. 【定义】l 为 begin(x的起点),r为mid+1(y的起点),start为buf;

5. 【循环】        当  l<=mid&&r<=end

                                        如果 a[l]>=a[r] ,把a[r]放到 buf数组中,r++,start++;

                                        如果 a[r]>a[l] ,把a[l]放到 buf数组中,l++,start++;

出了上面这个循环后,肯定是一个序列扫描完了;

6. 【扫尾】       当 l<=mid 时,把a[l]放到buf数组中,l++,start++;

                         当 r<=end 时,把a[r]放到buf数组中,r++,start++;

7.【交还】把buf里面的数全都还到a序列begin到end中;

于是序列a就排列好了。


二. 求 a序列 中的逆序对

只要在上面的第五步循环中加上 :

如果 a[l]>=a[r] ,那么ans+=mid-l+1;

当a[r]小于a[l]时,那也说明a[r]比a[l+1]小,比a[l+2]小……比a[l+mid-l]小;

总共有mid-l+1个逆序对,所以加到ans里面;

代码:

long long ans=0;
void merge(int b,int e){
    if(b>=e)return;
    int mid=(b+e)>>1;
    merge(b,mid);merge(mid+1,e);
    int l=b,r=mid+1,start=b;
    while(l<=mid&&r<=e){
        if(data[r]<=data[l]){//从小到大
            buf[b++]=data[r++];
            ans+=mid-l+1;
        }
        else {buf[b++]=data[l++];}
    }
    while(l<=mid)buf[start++]=data[l++];
    while(r<=e)buf[start++]=data[r++];
    for(int i=b;i<=e;i++)data[i]=buf[i];
}

三. 例题:兔子的逆序对

题目:1008-兔子的逆序对

贴一下题解区的题解(第一篇):兔子的逆序对题目题解

简单来说, l 到 r 序列有r-l+r-l-1+……+1=(r-l+1)*(r-l)/2 个匹配对,设有x个逆序对;

(x不用求,先放着)

反转l 到 r 序列, l 到 r 序列中有(r-l+1)*(r-l)/2-x个逆序对;

(反转l 到 r 序列,l 到 r 序列之外的逆序对个数不会发生变化)

也就是说 逆序对总数new=原逆序对总数-x+(r-l+1)*(r-l)/2-x=原逆序对总数+(r-l+1)*(r-l)/2-2*x;

于是判断奇偶就只需要从原逆序对总数+(r-l+1)*(r-l)/2来判断就好了;

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