1. 图的逻辑结构

2. 图的表示方法

2.1 邻接矩阵（数组）表示法（AMG — Adjacency Matrix Graph）

无向图

有向图

网

创建无向网的邻接矩阵AMG的算法（伪代码）

邻接矩阵表示法的优缺点

2.2 邻接表（链表）表示法（ALG — Adjacency List Graph）

2.3 补充：邻接表的改进存储结构—十字链表与邻接多重表

有向图：十字链表

无向图：邻接多重表

1. 图的逻辑结构

图的逻辑结构是多对多的关系。图没有顺序存储结构，但仍然可以用二维数组表示元素之间的关系

这就是邻接矩阵（数组）表示法

思考

如果使用链式存储结构，一个结点需要多少个指针域呢？

由于不好确定，图很难用多重链表的形式表现。一般使用邻接表，邻接多重表，十字链表来表示。

2. 图的表示方法

下面介绍邻接矩阵表示法和邻接表表示法。

2.1 邻接矩阵（数组）表示法（AMG — Adjacency Matrix Graph）

无向图

存储顶点的叫顶点表,是一维数组Vexs[n]。（顶点英文为Vertex
存储边（顶点之间的关系）的是邻接矩阵，是一个二维数组arcs[n][n]。（弧英文为arc
邻接矩阵中，如果两个顶点间存在关系，则记作1，否则为0（只考虑直接连线，非路径）

无向图的邻接矩阵的特点：

1. 主对角线上都是0。因为自己对自己没有邻接关系。

2. 矩阵关于主对角线对称。因为某两点之间的关系是相互的。（~~有没有联想到对角矩阵(带状矩阵），如三对角，五对角与七对角及压缩存储哈哈~~）

3. 任一顶点的度为该行1的个数。

4. 完全图的邻接矩阵除了主对角线为0都是1。

例子：

有向图

有向图的邻接矩阵的特点：

1. 主对角线上都是0，并不一定对称。

2. 图中有多少条边，矩阵中就有多少个1，也可以逆推。

3. 某一结点 Vi 的度= 第 i 行数字和+第 i 列数字和；某一结点的出度=该横行的数字和；某一结点的入度=该纵列的数字和。因为横着看，每一行是出度边，描述该顶点能通往哪里。竖着看，每一列是入度边，描述哪些顶点能来到这里。

网

与之前不同的是，网中的每一条边都带有权。所以我们定义结点间关系不再用0和1表示，改为：

即两结点间如果有关系，则定义为权值而不是1；没关系，就定义为无穷大而不是0。

例：

创建无向网的邻接矩阵AMG的算法（伪代码）

定义部分

第一行定义是针对网的，因为没有关系时记为无穷，无法直接定义，所以用一个很大的数代替。

结构体内共四个元素，一个一维数组（顶点表），一个二维数组（邻接矩阵），两个int整形元素记录顶点数和边数。

初始化

思路（以无向网为例可以推广）

*如果要创建不是网，是图（即边没有权值），则初始化的时候不置无穷改为置0；构造邻接矩阵时不置为权改为置1；

**如果要创建的是有向网，则邻接矩阵中不加对称的那一条（更省事了）就可以了

算法部分

注意：G不是一个指针，定义时不是*AMGraph。所以用点引用成员，如G.vexs, G.arcs。（当然，在vs编译器里会自动改）

实现思路第1~3步（输入顶点数和总边数两个int，输入顶点的信息，初始化邻接矩阵为极大值）：

实现思路第4步：构造邻接矩阵

注意：无向网具有对称性，记得要改对应的。

补充第4步：根据输入的顶点获取数组下标的算法Locate：

思路为用for i++ =0遍历数组，if相等则返回i

邻接矩阵表示法的优缺点

优点

注意：无向图直接看一横行就是顶点的度，有向图的话还要记得加上纵列（出度）。

缺点

不利于增加删除顶点：传统的数组结构经典的缺点，一旦确定大小就不能改变了。
空间复杂度：空间复杂度O(n²)，跟边数无关（边多合适，但边少就浪费很多空间）
遍历时间复杂度：统计总边数的时间复杂度为O(n²)，即必须遍历邻接矩阵内所有元素

2.2 邻接表（链表）表示法（ALG — Adjacency List Graph）

存储顶点的仍然叫顶点表,是一维数组Vexs[n]。
存储边（顶点之间的关系）的是一个线性链表arcs，如果是有向图则是记录该点发出的弧。
表结点有2/3个域。第一个记邻接顶点在数组中的位置，如V1连接V2，V2是A[1]则为1，第二是指针域指向下一个结点，如果为网，有权值，则加第三个域info存放。

无向图的邻接表

特点：

邻接表不唯一 (联想，邻接矩阵是唯一的)：以图中V1，表中vexs[0]为例，与V4,V2相连，则链表中1,3/3,1均可
无向图的邻接表的存储空间：O(n+2e)，与O(n²)区别主要在边数上，利于存储稀疏图
邻接表中结点的度：就是链表中的结点数量

有向图的邻接表

根据用出度多还是入度多，选择使用邻接表还是逆邻接表。

例：

创建无向网的邻接表ALG的算法（伪代码）

定义部分

顶点表Vexs

记录头结点，是邻接表的表头

VerTexType取决于信息的类型，如果是简单的char,int就可以直接用。

ArcNode是指向边结点的，边结点在链表（邻接表）中。

其中，定义最后的AdjList，即说明部分可能不太好理解。AdjList可以看成是一个数组名：执行AdjList v，v不是一个常量，而是一个包含许多VNode的数组。

边结点表（邻接表）Arcs

三个组成部分：int记录指向的顶点（头结点），next指针，info记录sth like权

图的定义

共两项：一个头指针表，加两个int记录顶点数和弧数（都是附加信息视为一项）

PS：和邻接矩阵图AMG定义相比，之所以没有边的定义，是因为顶点就是边的头结点，只要知道头结点就能找到边。所以相当于两者一并包含在这个AdjList里了。加上顶点数和弧数，刚好也是三项：顶点表，边表，两个int（都是附加信息视为一项）。

例：常用操作

算法部分

思路

伪代码

*Locate函数不赘述，如果忘记烦请见上文构建无向网的代码部分

第三行稍微有点难理解，其实是用头插法。第一次执行是将p1.next=NULL, 然后插入，成为链表中除头结点外第一个也是最后一个结点；第二次执行p1.next就不是NULL了，而是上次的p1, 不懂的回去复习头插法，我把链接在下面贴出来（笑哭）

传送门：

【2月第四周学习记录】数据结构与算法王卓-第二章线性表-单链表（函数定义篇）_Finale_R的博客-CSDN博客

**见2-10 使用头插法创建链表

邻接表表示法的优缺点

优点

节约空间。对于n个结点的有向图：只需要n+e个结点；无向图则需要n+2e个结点。
在无向图中计算顶点的度很方便。
在无向图中方便找某一顶点的所有邻接点。

缺点

无向图中，增加/删除一条边要操作两次（不同的头结点处）~~这也是引出邻接多重表的原因~~
有向图中计算顶点的度比较麻烦。
找两顶点间是否有边比较麻烦。
...

邻接矩阵和邻接表的联系

相似

同一张图/网的邻接矩阵中有几个1或权，邻接表中就有几个结点

不同

唯一性不同。同一张图/网的邻接矩阵只有一个，邻接表可以有很多个（arcs链表中结点顺序可以不同）
空间复杂度不同。邻接矩阵空间复杂度固定为O(n²)，而邻接表的空间复杂度固定为为O(n+e)（有向图的空间复杂度为O(n+e)，无向图的空间复杂度为O(n+2e)，但2可以约掉）
适用性不同。邻接矩阵更适合存储稠密图，邻接表更适合存储稀疏图。