费马小定理学习整理

费马小定理学习整理

PS：费马小定理碰到了好几次了，决心在此刻把它解决。若有问题请私信或者评论区留言，我都会给予回复。

定理展示

假如是一个整数，是一个质数，那么就是的倍数。我们可以记为：

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这个式子其实就是，如果不是的倍数的话，即那么我们还可以写为：

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其中用的最多的就是式，为什么呢？我们两边再同时除以，即可得到，这个式子自然可以表示为在取余的情况下，的倒数可以等价于。（这个在组合数学中用的非常多，组合问题求解)

是不是感到很疑惑？这个费马小定理为什么可以这样？别急，我们来看证明。

定理证明

预备知识：

• 若不能整除，存在，且和互质（），那么也就不能整除。
• 完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。完全剩余系常用于数论中存在性证明。这个完全剩余系其实就是，因为这个特性是这个完全剩余系的任意两个数对取余都不相等。

证明开始：

我们现在已知一个整数，和一个质数，其中。我们可以设为的完全剩余系，让，即中的每个元素都乘以，我们知道是质数，那么中的任意两个元素之差都不可能被整除，则也同样如此。集合共个数，我们对进行取余。得到的余数为，这个余数其实就是重排列，因为这是因为对于任两个相异而言，其差不是p的倍数（所以不会有相同余数），且任一个亦不为的倍数（所以余数不为0）。则有如下：

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那么我们整理一下即可得到：

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应用场景

• 组合大数取余
  我们知道求解为：，若有个题目是这样要求的，求在下的余数。我们该怎么办？我们只知道乘法间接取余不会影响结果（即，针对许多数相乘结果依然成立（除法运算不满足还请读者自己去思考））。那么我们就会想到进行费马小定理来转换了，即利用（使用条件限制为为质数），那么我们就可以对其进行转换:
  
  那么这个结果自然可以得解。
• 指数爆炸部分求解
  例如有一个这样的题，要你求解：对13取余的结果。你会怎么做？直接让计算机去跑吗？又或者利用快速幂？这些都行。当然，在这里我们肯定是介绍费马小定理来解决这个问题。
  我们知道是一个质数，那么我们找到一个与互质的整数，尝试去构建，这个自然好办，这里的底数为，指数为，为13，我们则需要寻找这样的数。那么我们的步骤即是如下：
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是不是感觉很神奇，没错，费马小定理就是这么强大，它虽然出现的比较少，但是一旦出现如果你不了解的话，可是很做出来的哦！