习题整理
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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考
一、诱人的宝藏
题目：勇敢的小明来到一个失落的村庄。他非常幸运，找到了很多宝藏和一个空的大铁箱，但是失落的村庄里有很多愤怒的僵尸。小明非常勇敢，他决定打败僵尸，然后把所有的宝藏都带回来。一场旷日持久的残酷战斗从早到晚持续，最后小明发现僵尸是不死的，不可战胜的。
但是，这些宝藏不应该留在这里。不幸的是，由于大铁箱容量的限制，小明无法携带所有宝藏。村庄里的宝藏只有两种：祖母绿宝石和蓝宝石。所有的宝石在大小和价值上都是相等的，数量是无穷的。
聪明得你，能不能考虑到箱子的大小、每种宝石的价值和大小，计算出我们的勇士小明能带回的宝藏的最大价值。
输入输出格式
输入格式
输入只有一行，包含五个整数 N，S1，V1 ，S2，V2
，表示宝箱的大小为 N，祖母绿宝石的大小和价值为 S1
和V1，蓝宝石的大小和价值为 S2和 V 2。所有整数都是正整数。整数之间以空格间隔。
输出格式
针对输入，打印出小明可以随身携带的所有宝藏的最大总值。
输入输出样例1
输入
100 1 1 2 2
输出
100
1.思路
- 这道题本身其实是弱化的01背包问题，但我们不用动态规划做。而是换一个思路。 我们只需要考虑两种情况
- 第一种先装绿宝石装到装不下，剩余的空间去装蓝宝石
- 第二种先装蓝宝石装到装不下，剩余的空间去装绿宝石 然后我们比较这两种情况，哪一种的价值最大？输出即可
2.代码
a=input() #输入的那一行就是背包容量，绿宝石重量和价值，蓝宝石的重量和价值
a=a.split() #以空格作为分隔符，将整个字符串分割成列表返回
a=[int(i) for i in a]
b=max((a[0]//a[1])*a[2]+((a[0]%a[1])//a[3])*a[4],(a[0]//a[3])*a[4]+((a[0]%a[3])//a[1])*a[2])#这一句就是判断那两种情况，哪一种的价值更大？
#(a[0]//a[1])*a[2]+((a[0]%a[1])//a[3])*a[4]先装绿宝石，再装蓝宝石
print(b)
二、晚宴
题目：今天是小明的生日，他邀请了很多朋友。到了吃晚饭的时间，小明想知道他至少需要多少张桌子。你必须知道，并不是所有的朋友都认识彼此，而且所有的朋友都不想和陌生人待在一起。
这个问题的一个重要规则是，如果我告诉你 A 认识 B，B 认识 C，这意味着 A，B，C 相互认识，所以他们可以待在一张桌子上。
例如：如果我告诉你 A 知道 B，B 知道 C，D 知道 E，那么 A，B，C 可以待在一张桌子上，而 D，E 必须待在另一张桌子上。所以小明至少需要两张桌子。
输入输出格式
输入格式
第一行有两个整数 n 和 m，分别表示朋友的数量和朋友之间关系的数量，朋友标记为从 1 到 n；
然后是 m 行。每一行由两个整数 A 和 B（A！=B） 组成，这意味着朋友 A 和朋友 B 彼此认识。
整数之间以空格间隔。
输出格式
针对输入，打印出小明最少需要多少张桌子。
输入输出样例1
输入
5 3
1 2
2 3
4 5
输出
2
1.思路
- 这道题理清逻辑后还是比较简单的
- 首先要先确定一点，最初始有n个朋友就需要有n张桌子，因为我们不确定他们认不认识？
- 接下来会有n对关系，只分两种情况
- 第一种是两个元素，之前都没出现过，再给出这段关系后，他们两个就可以坐一张桌子，原本两个人要两张桌子，现在两个人要一张桌子，所以桌子数量减一
- 第二种是两个元素，之前出现过一个元素，然后又有一个新的元素，这个时候我们就要新的元素，跟那个老的元素去做一张桌子，所以也是桌子数量减一
- 根据这个关系，我们可以看出来，无论是哪一种情况，其实都是桌子的数量减一，所以我们直接拿朋友的总数减去出现的关系数目就可以了.
- 以这道题的输出样例来解释，刚开始输入有五个朋友，所以初始有五张桌子
- 然后有三对关系，第一对出现了1和2，所以1和2可以坐一张桌子。两个人去坐一张桌子，省去了一张桌子，所以桌子数量减一。
- 第二对关系，是2和3。2之前出现过3是新的朋友，根据题里的规则，3可以去和1，2坐一张桌子，所以又省去了一张桌子。
- 第三对关系，4和5就同第一对关系一样减去一张桌子。所以就是，五个人减去三对关系，得两张桌子
2.代码
b=input()
b=b.split()
b=[int(i) for i in b]
print(b[0]-b[1]) #无论是哪一种情况，其实都是桌子的数量减一，所以我们直接拿朋友的总数减去出现的关系数目
三、医师之路
题目：
小明从小的梦想就是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是小明，你能完成这个任务吗？
输入输出格式
输入格式
输入第一行包含 2 个整数 t 和 m，t 表示总共能够用来采药的时间，m 表示山洞里的草药的数目。
接下来输入 m 行，每行包括 2 个整数 c 和 v，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
整数之间以空格间隔。
输出格式
针对输入，打印出小明在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。
输入输出样例1
输入
70 3
71 100
69 1
1 2
输出
3
1.思路
这道题的题型主要就是01背包问题，他只不过是把01背包问题里面的体积换成了时间。
接下来我会分别介绍如何用动态规划解这道题和01背包问题的模板。
动态规划简单来说就是我们利用历史数据去推出新的数据来，减少我们的计算量。
我也不会着重介绍，最优子结构跟重复子问题，我就简单讲一下，怎么解题？
动态规划的题可以分为三部：
第一步我们要确定我们数组里的每个元素代表的是什么含义
第二步，我们要确定初始值该怎么设立？
第三步，我们要确定如何用历史数据去推出新的数据。
我会以下面这道题为例，讲一下上面三个步骤该如何去做。
第一步，我们设一个二维数组dp，dp[i][j]代表的元素就是在我时间j范围内，采集i个药草，所能采集到的最大价值。
第二步，由于我一开始i=0的时候，我的价值肯定是零，所以我的初始值就是零。
第三步，我们如何从历史数据中推出新的数据呢？我们要分两种情况。就是我第i个药材采还是不采？在此之前，我们首先要判断我们现在的时间j是否大于采集第i个药材所需的时间。如果小于的话，我肯定是不能踩的了。所以我的最大价值肯定是，在相同时间内，前i-1个药材的最大价值。
如果我的时间大于了第i个草的时间我会去比较，我采第i个药草和不采第i个药草，那个价值哪个更高？取最大的就ok。可能有同学认为采第i个药草，肯定价值要更大呀。
但我们要注意一点，我们采摘药草是有时间限制的，所以如果我们要采第i个药草，我们就要去把空出第i个药草时间。采第i个药草价值，就是减j减去采第i个药草的时间下标的价值，加上第i个药草价值。
2.扩展知识
（1）np.zeros()的作用
返回来一个给定形状和类型的用0填充的数组
zeros(shape, dtype=float, order=‘C’)
shape：表示形状
dtype:数据类型，可选参数，默认numpy.float64
order:可选参数，c代表行优先；F代表列优先
（2）01背包问题
- 在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量
j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。 - 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)； - 还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即
V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；
由此可以得出递推关系式：
j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i)
V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
- 这里需要解释一下，为什么能装的情况下，需要这样求解（这才是本问题的关键所在！）：
可以这么理解，如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式？ - 肯定是两种，第一种是第i件商品没有装进去，第二种是第i件商品装进去了。没有装进去很好理解，就是V(i-1,j)；装进去了怎么理解呢？如果装进去第i件商品，那么装入之前是什么状态，肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最优性原理（上文讲到），V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态，后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较，得出最优。
3.代码
import numpy as n
dp=n.zeros((1000,1000),dtype=int)#这一步是创建一个int类型二维的dp数组，1000行1000列。
yao=n.zeros((100,2),dtype=int)
a=input()
a=a.split()#以空格为分隔，符将字符串分割成一个列表返回
t=int(a[0])
m=int(a[1])
for i in range(1,m+1):#这一部是输入所有药材采集的时间和价值
a=input()
a=a.split()
yao[i][0]=int(a[0])
yao[i][1]=int(a[1])
for i in range(1,m+1):#01背包模板
for j in range(1,t+1):
if(j<yao[i][0]):
dp[i][j]=dp[i-1][j]
else:
dp[i][j]=dp[i-1][j] if dp[i-1][j]>dp[i-1][j-yao[i][0]]+yao[i][1] else dp[i-1][j-yao[i][0]]+yao[i][1]#if的紧凑形式
print(dp[m][t])
总结
提示：技术太菜，后期补充，恳请大佬指正
