目录

• 1.概念
• 2.要求
• 3.算法描述
• 4.算法实现
• 5.解决整数溢出问题
• 6.相关题目
• 7.注意

1.概念

《数据结构》严蔚敏版 语

折半查找（Binary Search）：也称二分查找，它是一种效率较高的查找方法。

但是二分查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

折半查找的过程是：

从表的中间记录开始，如果给定值和中间记录的关键字相等，则查找成功。

如果给定值大于或小于中间记录的关键字，则在表中大于或小于中间记录的那一半中查找。

这样重复操作，直到查找成功，或者在某一步中查找区间为空，则代表查找失败。

2.要求

• 能够用自己语言描述二分查找算法
• 能够手写二分查找代码
• 能够解答一些变化后的考法

3.算法描述

1. 前提：有已排序数组 A（假设已经做好）

2. 定义左边界 L、右边界 R，确定搜索范围，循环执行二分查找（3、4两步）

3. 获取中间索引 M = Floor((L+R) /2)

4. 中间索引的值 A[M] 与待搜索的值 T 进行比较

   ① A[M] == T 表示找到，返回中间索引

   ② A[M] > T，中间值右侧的其它元素都大于 T，无需比较，中间索引左边去找，M - 1 设置为右边界，重新查找

   ③ A[M] < T，中间值左侧的其它元素都小于 T，无需比较，中间索引右边去找， M + 1 设置为左边界，重新查找

5. 当 L > R 时，表示没有找到，应结束循环

4.算法实现

实现方法

public static int binarySearch(int[] a, int t) {
    int l = 0, r = a.length - 1, m;
    while (l <= r) {
        m = (l + r) / 2;
        if (a[m] == t) {
            return m;
        } else if (a[m] > t) {
            r = m - 1;
        } else {
            l = m + 1;
        }
    }
    return -1;
}

测试代码

public static void main(String[] args) {
    int[] array = {1, 5, 8, 11, 19, 22, 31, 35, 40, 45, 48, 49, 50};
    int target = 47;
    int idx = binarySearch(array, target);
    System.out.println(idx);
}

5.解决整数溢出问题

当 l 和 r 都较大时，l + r 有可能超过整数范围，造成运算错误，解决方法有两种：

int m = l + (r - l) / 2;

还有一种是：替换成无符号的移位运算（只对正数起作用）

int m = (l + r) >>> 1;

6.相关题目

• 问题

1. 有一个有序表为 1,5,8,11,19,22,31,35,40,45,48,49,50 当二分查找值为 48 的结点时，查找成功需要比较的次数 （4次）

2. 使用二分法在序列 1,4,6,7,15,33,39,50,64,78,75,81,89,96 中查找元素 81 时，需要经过（ ）次比较（4次）

3. 在拥有128个元素的数组中二分查找一个数，需要比较的次数最多不超过多少次（2⁷=128，7次）

• 方法

1. 对于前两个题目，记得一个简要判断口诀：奇数二分取中间，偶数二分取中间靠左。(都是指索引)
2. 对于后一道题目，需要知道以下公式（其中 n 为查找次数，N 为元素个数）：

$$n=lo{g}_{2}N=lo{g}_{10}N/lo{g}_{10}2$$

• 若为整数，则该整数是最终结果
• 若为小数，则舍去小数部分，整数加一位最终结果

7.注意

1. 目前介绍的二分查找是以 JDK 中 Arrays.binary 的实现作为讲解示范，后续选择题的答案的解答思路也是以此为准。
2. 实际上，二分查找有诸多变体，一旦使用变体的实现代码，则左右边界的选取会有变化，进而会影响之前选择题的答案选择。