经典算法题每日演练——第十四题 Prim算法

仔细的把图论全部过一遍。

一：最小生成树

       图中有一个好玩的东西叫做生成树，就是用边来把所有的顶点联通起来，前提条件是最后形成的联通图中不能存在回路，所以就形成这样一个

推理：假设图中的顶点有n个，则生成树的边有n-1条，多一条会存在回路，少一路则不能把所有顶点联通起来，如果非要在图中加上权重，则生成树

中权重最小的叫做最小生成树。

对于上面这个带权无向图来说，它的生成树有多个，同样最小生成树也有多个，因为我们比的是权重的大小。

二：Prim算法

求最小生成树的算法有很多，常用的是Prim算法和Kruskal算法，为了保证单一职责，我把Kruskal算法放到下一篇，那么Prim算法的思想

是什么呢？很简单，贪心思想。

如上图：现有集合M={A,B,C,D,E,F}，再设集合N={}。

第一步：挑选任意节点（比如A),将其加入到N集合，同时剔除M集合的A。

第二步：寻找A节点权值最小的邻节点（比如F），然后将F加入到N集合，此时N={A,F}，同时剔除M集合中的F。

第三步：寻找{A,F}中的权值最小的邻节点（比如E），然后将E加入到N集合，此时N={A,F,E}，同时剔除M集合的E。

。。。

最后M集合为{}时，生成树就构建完毕了，是不是非常的简单，这种贪心做法我想大家都能想得到，如果算法配合一个好的数据结构，就会

如虎添翼。

三：代码

1. 图的存储

  图的存储有很多方式，邻接矩阵，邻接表，十字链表等等，当然都有自己的适合场景，下面用邻接矩阵来玩玩，邻接矩阵需要采用两个数组，

①. 保存顶点信息的一维数组，

②. 保存边信息的二维数组。

1 public class Graph
 2         {
 3             /// <summary>
 4             /// 顶点个数
 5             /// </summary>
 6             public char[] vertexs;
 7 
 8             /// <summary>
 9             /// 边的条数
10             /// </summary>
11             public int[,] edges;
12 
13             /// <summary>
14             /// 顶点个数
15             /// </summary>
16             public int vertexsNum;
17 
18             /// <summary>
19             /// 边的个数
20             /// </summary>
21             public int edgesNum;
22         }

 2：矩阵构建

 矩阵构建很简单，这里把上图中的顶点和权的信息保存在矩阵中。

1 #region 矩阵的构建
 2         /// <summary>
 3         /// 矩阵的构建
 4         /// </summary>
 5         public void Build()
 6         {
 7             //顶点数
 8             graph.vertexsNum = 6;
 9 
10             //边数
11             graph.edgesNum = 8;
12 
13             graph.vertexs = new char[graph.vertexsNum];
14 
15             graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];
16 
17             //构建二维数组
18             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
19             {
20                 //顶点
21                 graph.vertexs[i] = (char)(i + 65);
22 
23                 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++)
24                 {
25                     graph.edges[i, j] = int.MaxValue;
26                 }
27             }
28 
29             graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;
30             graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;
31             graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;
32             graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;
33             graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;
34             graph.edges[3, 2] = graph.edges[2, 3] = 100;
35             graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;
36             graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;
37             graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;
38         }
39         #endregion

3：Prim

要玩Prim，我们需要两个字典。

①：保存当前节点的字典，其中包含该节点的起始边和终边以及权值，用weight=-1来记录当前节点已经访问过，用weight=int.MaxValue表示

      两节点没有边。

②：输出节点的字典，存放的就是我们的N集合。

当然这个复杂度玩高了,为O(N²)，寻找N集合的邻边最小权值时，我们可以玩玩AVL或者优先队列来降低复杂度。

1 #region prim算法
 2         /// <summary>
 3         /// prim算法
 4         /// </summary>
 5         public Dictionary<char, Edge> Prim()
 6         {
 7             Dictionary<char, Edge> dic = new Dictionary<char, Edge>();
 8 
 9             //统计结果
10             Dictionary<char, Edge> outputDic = new Dictionary<char, Edge>();
11 
12             //weight=MaxValue:标识没有边
13             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
14             {
15                 //起始边
16                 var startEdge = (char)(i + 65);
17 
18                 dic.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });
19             }
20 
21             //取字符的开始位置
22             var index = 65;
23 
24             //取当前要使用的字符
25             var start = (char)(index);
26 
27             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
28             {
29                 //标记开始边已使用过
30                 dic[start].weight = -1;
31 
32                 for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)
33                 {
34                     //获取当前 c 的 邻边
35                     var end = (char)(j + index);
36 
37                     //取当前字符的权重
38                     var weight = graph.edges[(int)(start) - index, j];
39 
40                     if (weight < dic[end].weight)
41                     {
42                         dic[end] = new Edge()
43                         {
44                             weight = weight,
45                             startEdge = start,
46                             endEdge = end
47                         };
48                     }
49                 }
50 
51                 var min = int.MaxValue;
52 
53                 char minkey = ' ';
54 
55                 foreach (var key in dic.Keys)
56                 {
57                     //取当前 最小的 key(使用过的除外)
58                     if (min > dic[key].weight && dic[key].weight != -1)
59                     {
60                         min = dic[key].weight;
61                         minkey = key;
62                     }
63                 }
64 
65                 start = minkey;
66 
67                 //边为顶点减去1
68                 if (outputDic.Count < graph.vertexsNum - 1 && !outputDic.ContainsKey(minkey))
69                 {
70                     outputDic.Add(minkey, new Edge()
71                     {
72                         weight = dic[minkey].weight,
73                         startEdge = dic[minkey].startEdge,
74                         endEdge = dic[minkey].endEdge
75                     });
76                 }
77             }
78             return outputDic;
79         }
80         #endregion

4：最后我们来测试一下，看看找出的最小生成树。

1     public static void Main()
 2         {
 3             MatrixGraph martix = new MatrixGraph();
 4 
 5             martix.Build();
 6 
 7             var dic = martix.Prim();
 8 
 9             Console.WriteLine("最小生成树为：");
10 
11             foreach (var key in dic.Keys)
12             {
13                 Console.WriteLine("({0},{1})({2})", dic[key].startEdge, dic[key].endEdge, dic[key].weight);
14             }
15 
16             Console.Read();
17         }

View Code

1 using System;
  2 using System.Collections.Generic;
  3 using System.Linq;
  4 using System.Text;
  5 using System.Diagnostics;
  6 using System.Threading;
  7 using System.IO;
  8 using SupportCenter.Test.ServiceReference2;
  9 using System.Threading.Tasks;
 10 
 11 namespace ConsoleApplication2
 12 {
 13     public class Program
 14     {
 15         public static void Main()
 16         {
 17             MatrixGraph martix = new MatrixGraph();
 18 
 19             martix.Build();
 20 
 21             var dic = martix.Prim();
 22 
 23             Console.WriteLine("最小生成树为：");
 24 
 25             foreach (var key in dic.Keys)
 26             {
 27                 Console.WriteLine("({0},{1})({2})", dic[key].startEdge, dic[key].endEdge, dic[key].weight);
 28             }
 29 
 30             Console.Read();
 31         }
 32     }
 33 
 34     /// <summary>
 35     /// 定义矩阵节点
 36     /// </summary>
 37     public class MatrixGraph
 38     {
 39         Graph graph = new Graph();
 40 
 41         public class Graph
 42         {
 43             /// <summary>
 44             /// 顶点个数
 45             /// </summary>
 46             public char[] vertexs;
 47 
 48             /// <summary>
 49             /// 边的条数
 50             /// </summary>
 51             public int[,] edges;
 52 
 53             /// <summary>
 54             /// 顶点个数
 55             /// </summary>
 56             public int vertexsNum;
 57 
 58             /// <summary>
 59             /// 边的个数
 60             /// </summary>
 61             public int edgesNum;
 62         }
 63 
 64         #region 矩阵的构建
 65         /// <summary>
 66         /// 矩阵的构建
 67         /// </summary>
 68         public void Build()
 69         {
 70             //顶点数
 71             graph.vertexsNum = 6;
 72 
 73             //边数
 74             graph.edgesNum = 8;
 75 
 76             graph.vertexs = new char[graph.vertexsNum];
 77 
 78             graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];
 79 
 80             //构建二维数组
 81             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
 82             {
 83                 //顶点
 84                 graph.vertexs[i] = (char)(i + 65);
 85 
 86                 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++)
 87                 {
 88                     graph.edges[i, j] = int.MaxValue;
 89                 }
 90             }
 91 
 92             graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;
 93             graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;
 94             graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;
 95             graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;
 96             graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;
 97             graph.edges[3, 2] = graph.edges[2, 3] = 100;
 98             graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;
 99             graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;
100             graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;
101         }
102         #endregion
103 
104         #region 边的信息
105         /// <summary>
106         /// 边的信息
107         /// </summary>
108         public class Edge
109         {
110             //开始边
111             public char startEdge;
112 
113             //结束边
114             public char endEdge;
115 
116             //权重
117             public int weight;
118         }
119         #endregion
120 
121         #region prim算法
122         /// <summary>
123         /// prim算法
124         /// </summary>
125         public Dictionary<char, Edge> Prim()
126         {
127             Dictionary<char, Edge> dic = new Dictionary<char, Edge>();
128 
129             //统计结果
130             Dictionary<char, Edge> outputDic = new Dictionary<char, Edge>();
131 
132             //weight=MaxValue:标识没有边
133             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
134             {
135                 //起始边
136                 var startEdge = (char)(i + 65);
137 
138                 dic.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });
139             }
140 
141             //取字符的开始位置
142             var index = 65;
143 
144             //取当前要使用的字符
145             var start = (char)(index);
146 
147             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)
148             {
149                 //标记开始边已使用过
150                 dic[start].weight = -1;
151 
152                 for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)
153                 {
154                     //获取当前 c 的 邻边
155                     var end = (char)(j + index);
156 
157                     //取当前字符的权重
158                     var weight = graph.edges[(int)(start) - index, j];
159 
160                     if (weight < dic[end].weight)
161                     {
162                         dic[end] = new Edge()
163                         {
164                             weight = weight,
165                             startEdge = start,
166                             endEdge = end
167                         };
168                     }
169                 }
170 
171                 var min = int.MaxValue;
172 
173                 char minkey = ' ';
174 
175                 foreach (var key in dic.Keys)
176                 {
177                     //取当前 最小的 key(使用过的除外)
178                     if (min > dic[key].weight && dic[key].weight != -1)
179                     {
180                         min = dic[key].weight;
181                         minkey = key;
182                     }
183                 }
184 
185                 start = minkey;
186 
187                 //边为顶点减去1
188                 if (outputDic.Count < graph.vertexsNum - 1 && !outputDic.ContainsKey(minkey))
189                 {
190                     outputDic.Add(minkey, new Edge()
191                     {
192                         weight = dic[minkey].weight,
193                         startEdge = dic[minkey].startEdge,
194                         endEdge = dic[minkey].endEdge
195                     });
196                 }
197             }
198             return outputDic;
199         }
200         #endregion
201     }
202 }