(矩阵的逆)
数学
线性代数
矩阵的逆
逆矩阵的定义
$A、B$ 是n阶方阵，$E$ 是n阶单位矩阵，若 $AB = BA = E$ ，则称 $A$ 是可逆矩阵，并称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作 $A^{-1}$
$A$ 可逆的充分必要条件是 $A\neq0$
逆矩阵的性质与重要公式
设 $A、B$ 是同阶可逆方阵，则：
- $(A^{-1})^{-1}=A$
- 若 $k\neq0$，则 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
- $AB$ 也可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- $A^T$ 也可逆，且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
- $|A^{-1}| = |A|^{-1}$
PS: $A+B$ 不一定可逆，且 $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$
用定义法求可逆矩阵的逆矩阵
方法一 定义法：依定义进行求解，即求一个矩阵 $B$ ，使 $AB = E$ ，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = B$。
方法二 将 $A$ 分解成若干个可逆矩阵的乘积，因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若 $A = BC$ ，其中 $B、C$ 均可逆，则 $A$ 可逆，且：
$$ A^{-1} =(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1} $$
习题演练
设 $A, B$ 均是n阶矩阵，且 $AB = A+B$ ，则（）
- A. $A - E$ 为可逆矩阵
- B. $A + E$ 为可逆矩阵
- C. $A - 2E$ 为可逆矩阵
- D. $B - E$ 为可逆矩阵
分析 根据定义法，我们只需要凑出 $XY = YX = E$ 即可证明矩阵 $X$ 为可逆矩阵，且 $X^{-1} = Y$
将原矩阵等式两边同时减去矩阵 $A, B$ 后，我们就得到了一个新的矩阵等式：$AB - A - B = 0$ ，其中 $0$ 表示的是n阶零矩阵。
按照矩阵的基本运算——矩阵乘法的分配律，我们可以得到$A(B-1)-B = 0$，其中 $1$ 为n阶单位矩阵，这里我们改写为 $E$，即得到了新的矩阵等式： $$ A(B-E)-B = 0 $$
现在我们如果在等式两侧同时加上一个单位矩阵 $E$ 我们就得到了一个新的等式： $$ A(B-E)-B+E = E $$
根据矩阵的基本运算——结合律，我们可以将上述等式转化为： $$ A(B-E)-(B- E) = E $$
接下来我们就可以继续根据矩阵乘法的分配律，将等式进一步转化为： $$ (A - E)(B - E) = E $$
这样我们就得到了定义法中的 $XY = E$ 的基本形式，根据定义法，我们可以知道，矩阵 $A-E$ 是可逆矩阵，矩阵 $B-E$ 是可逆矩阵，因此该题选 $A$
英语
每日一句
Buying gifts or giving to charity is often more pleasurable than purchasing things for oneself, and luxuries are most enjoyable when they are consumed sparingly.(2014, Reading Comprehension, Part A Text 1)
词汇
pleasurable: adj. 令人愉快的；快乐的，心情舒畅的 pleasure: n. 快乐，愉快；令人高兴的事 sparingly: adv. 节俭地；慎用地；爱惜地
第一步：找谓语
Buying gifts or giving to charity ==is== often more pleasurable than purchasing things for oneself, and luxuries ==are== most enjoyable when they ==are consumed== sparingly.
第二步：断句
原句中存在3处谓语，包含3件事，其谓语分布在以下分句中：
- is 为主句谓语
- are 为主句并列句谓语
- are consumed 为when引导的时间状语从句中的谓语
按照标点、引导词以及谓语，可以将原句划分为以下分句：
- Buying gifts or giving to charity ==is== often more pleasurable than purchasing things for oneself, —— 主句1
- and luxuries ==are== most enjoyable —— 主句2
- when they ==are consumed== sparingly. —— 时间状语从句
第三步：简化
主句1
Buying gifts or giving to charity is often more pleasurable than purchasing things for oneself,
- 主句主语部分：Buying gifts or giving to charity
- 动名词短语：buying gifts 作主语
- 并列连词：or 连接两个动名词：buying和giving 组成并列结构
- 介词短语：to charity 修饰动名词：giving，表示动作的对象
- 主句谓语部分：is often
- 动词：is 为系动词，后接表语
- 程度副词：often 修饰动词：is 表示动作发生的频率
- 主句表语部分：more pleasurable than purchasing things for oneself,
- 副词：more 修饰形容词：pleasurable 构成形容词比较级
- 比较连接词：than 连接比较状语从句，补充说明 比较级：more pleasurable，表示比较的对象
- 动名词短语：purchasing things for oneself 为比较对象
- 介词短语：for oneself 为目的状语，修饰动词：purchasing 表示动作发生的目的
去掉主句拓展部分，就得到了主句核心：
- Buying gifts or giving …… is …… pleasurable …… —— 买礼物或者给……是……令人愉快的
主句2
and luxuries are most enjoyable
- 并列句引导词：and 连接两个主句
- 主句主语部分：luxuries
- 主句谓语部分：are 为系动词，后接表语
- 主句宾表语部分：most enjoyable
- 副词：most 修饰形容词：enjoyable 构成最高级
去掉主句拓展部分，就得到了主句核心：
- and luxuries are …… enjoyable —— 并且奢侈品是……令人满意的
时间状语从句
when they are consumed sparingly.
- 从句引导词：when 引导时间状语从句修饰主句，表示主句2发生的时间
- 从句主语部分：they 代指的是主句2中的奢侈品
- 从句谓语部分：are consumed sparingly 为被动语态，从句主语为动作的承受者
- 副词：sparingly 修饰从此：are consumed
去掉从句拓展部分，就得到了从句的核心：
- when they are consumed …… —— 当它们被……消费时
