(伴随矩阵)
数学
线性代数
伴随矩阵
伴随矩阵的定义
将行列式 $|A|$ 的 $n^2$ 个元素的代数余子式按如下形式排列的矩阵称为 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^*$，即
$$ A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \ \end{bmatrix} $$
且有 $AA^* = A^*A = |A|E$
伴随矩阵的性质与重要公式
- 对任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，都有伴随矩阵 $A^*$ ，且有公式：
$$ AA^* = A^A = |A|E, |A^| = |A|^{n-1} $$
当 $|A| \neq 0$ 时，有：
$$ A^* = |A|A^{-1}, A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^， A = |A|(A^)^{-1}; \ (kA)(kA)^=|kA|E \ A^T(A^T)^ = |A^T|E \ A^{-1}(A^{-1})^* = |A^{-1}|E \ A^(A^)^= |A^|E $$
- $(A^T)^* = (A^)^T, (A^{-1})^ = (A^)^{-1}, (AB)^ = B^A^, (A^)^ = |A|^{n-2}A$
PS: $(A+B)^* \neq A^* +B^* , \ |A+B| \neq |A| + |B|, \ (A +B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}, \ (A +B)^T = A^T +B^T$
用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵
步骤：
- 判断 $|A|$ 是否为 0
- 写出 $A^*$
- $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\end{bmatrix}$
注意 $A_{ij}$ 的位置及正、负号。
求伴随矩阵的方法
方法一：用定义，先求 $A_{ij}$，再拼成 $A^$ 方法二：用公式，若 $A$ 可逆，则 $A^ = |A|A^{-1}$
习题演练
设$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$，$A^$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则$(A^)^{-1}=$
分析 根据公式 $AA^* = |A|E$ 可得，当 $|A| \neq 0$ 时，有 $\frac{A}{|A|}A^* = E$，由逆矩阵的定义可知 $(A^*)^{-1} = \frac{A}{|A|}$，因此我们只需要求出 $|A|$ 即可。
$$ |A|= \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 3 & 4 & 5 \end{array} \right | \xRightarrow{第二行的-1倍加到第1行} \left | \begin{array}{cc} -1 & 0 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 3 & 4 & 5 \end{array} \right | = -10 $$
现在我们就得到了 $(A^*)^{-1} = -\frac{1}{10}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$
英语
每日一句
When there is rapid improvement in the price and performance of technology, jobs that were once thought to be immune from automation suddenly become threatened.(2014. Reading Comprehension, Part A Text 3)
词汇
performance: n. 性能，工作情况，表现；表演，演出 be immune from …: 对……免疫；不受……影响 immune: adj. 免疫的，有免疫力的；不受影响的 automation: n. 自动化，自动化技术 threatened: adj. 受到威胁的，感到威胁的 threaten: v. 威胁，恐吓 threat: n. 威胁，恐吓
第一步：找谓语
When there ==is== rapid improvement in the price and performance of technology, jobs that ==were== once ==thought== to be immune from automation suddenly ==become== threatened.
第二步：断句
原句中存在3处谓语，包含3件事，其谓语分别分布在以下分句中：
- is 为 when 引导的时间状语从句中的谓语
- were thought 为 that 引导的定语从句中的谓语
- become 为主句谓语
按照标点、引导词以及谓语，可以将原句分为以下分句：
- When there is rapid improvement in the price and performance of technology, —— 时间状语从句
- jobs …… become threatened —— 主句
- that were once thought to be immune from automation suddenly —— 定语从句
第三步：简化
时间状语从句
When there is rapid improvement in the price and performance of technology,
- 从句引导词：when 引导时间状语从句，修饰主句，表明主句发生的时间
- 从句形式主语：there 为 there be 句式中的形式主语
- 从句为 there be 结构，属于全部倒装，因此谓语动词后的名词才是句子的主语
- 从句逻辑主语：rapid improvement
- 形容词：rapid 修饰名词：improvement
- 名词：improvement 为从句主语核心词
- 从句谓语：is 为系动词，后接表语
- 在 there be 句式中，并无显性表语，be 动词后的部分为 there be 句式的逻辑主语
- 介词短语：in the price and performance of technology, 为后置定语，修饰名词：improvement，表示名词的范围
- 定冠词：the 修饰名词：price
- 名词：price 和 performance 由并列连词：and 构成并列结构
- 介词短语：of technology 为后置定语，修饰名词：performance ，说明名词的范围
去掉主句扩展部分，就得到了主句的核心：
- when there is …… improvement …… —— 当有 …… 进步时
主句
jobs …… suddenly become threatened
- 主句主语部分：jobs
- 主句谓语部分：suddenly become
- 副词：suddenly 修饰动词：become
- 动词：become 为系动词，后接表语
- 主句表语部分：threatened
去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：
- jobs …… become threatened —— …… 工作变的受到威胁的
定语从句
that were once thought to be immune from automation
- 从句引导词：that 引导定语从句，修饰主句主语 jobs，进一步解释说明主句主语 jobs
- that 在从句中充当从句主语
- 从句谓语部分：were once thought 为被动语态，从句主语为动作的承受者
- 副词：once 修饰动词：were thought 表示动作发生的频率
- 从句补足语部分：to be immune from automation
- 非谓语动词词组：to be immune 为主语补足语，补充说明主语
- 介词短语：from automation 修饰形容词 immune，补充说明 immune 的对象
去掉扩展成分，就得到了从句的核心：
- that were …… thought to be immune …… —— 工作被……认为是不受影响的
