AcWing 1929. 镜子田地（环图）

【题目描述】
农夫约翰在屋子外面放了一些旧镜子，他的奶牛们像往常一样调皮地偷走了它们！
奶牛们将镜子放置在了一个矩形田地中，该田地可被划分为$N\times M$个方格区域。
在每个方格区域中，奶牛在其某对对角之间放置一个双面镜，因此，共有两种放法，一种为/放置（镜子连接方格左下角和右上角），另一种为\放置（镜子连接方格左上角和右下角）。
一天晚上，奶牛贝茜将激光发射器带到了该田地中。
她站在田地外面，沿着田地的行或列水平或垂直照射光束，使光束反射一定数量的镜子。
由于镜子都是沿对角线摆放，因此经反射镜反射的水平光束最终将垂直传播，反之亦然。
贝茜想知道从田地之外射入的水平或垂直光束最多可以在田地中被反射多少次。
给定镜子田地的布局，请帮助贝茜计算这个数字。

【输入格式】
第一行包含$N$和$M$。
接下来$N$行，每行包含$M$个/或\字符，表示田地中镜子的具体摆放方式。

【输出格式】
输出田地之外的水平或垂直光束能够被反射的最大次数。
如果可以无限反射，则输出$-1$。

【数据范围】
$1\le N,M\le 1000$

【输入样例】

3 3
/\\
\\\
/\/

【输出样例】

3

【样例解释】
贝茜可以从上向下沿中间列上方发射激光。
共可以反射$3$次。

【分析】

首先可以将被镜子分割成两半的每一部分都看成一个点，田地最外围的点我们称其为外部点，度数为$0$或$1$，度数的定义为该点的入射光与反射光所连接的下一个点的个数（在图外的不计入）。度数为$0$的点只可能在图的四个角出现，此外在最外围的其它点度数均为$1$，即一边是图外的入射光，一边是折射后连接的图内的下一个点。

所有的内部点度数均为$2$，因此整个图只有两种通路，一种是链式的，另一种是环状的。链式的即为从图外射入的光线，由于起点$s$度数为$1$，其反射光射到点$x_1$，若$x_1$是外部点，说明度数为$1$，因此只能射出图外；若$x_1$是内部点，说明度数为$2$，但是不能反射到起点$s$，因为与$s$度数为$1$冲突，因此一定是反射到另一个点$x_2$。同理，若$x_2$是外部点，说明度数为$1$，因此只能射出图外；若$x_2$是内部点，说明度数为$2$，但其不能反射到$s$与$x_1$，因为$s$与$x_1$的度数均饱和了，所以$x_2$一定是反射到$x_3$，以此类推，直至反射出图外。环状的通路只可能由内部点组成，每个点度数均为$2$，已经饱和，因此从外围射入的光线不可能会进入图内已存在的环路，所以我们从最外围的每个点都入射一遍，找出最长路即可，每个点最多被访问$2$次。

如何表示反射的方向呢？我们将上右下左四个方向分别用$d=1,2,3,4$来表示，通过画图与观察即可找到两种镜子摆放方式的入射光与反射光方向变化的规律，如下图所示：

通过观察可以发现当镜子为\的时候，反射光的方向是入射光方向异或$3$得到；当镜子为’/'的时候，反射光的方向是入射光方向异或$1$得到，那么本题就可以很轻松地做出来了。

【代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
char g[N][N];
int n, m, res;
int dx[4] = { -1, 0, 1, 0 }, dy[4] = { 0, 1, 0, -1 };

int dfs(int x, int y, int d)
{
    if (x < 0 || y < 0 || x >= n || y >= m) return 0;
    if (g[x][y] == '/') d ^= 1;
    else d ^= 3;
    return dfs(x + dx[d], y + dy[d], d) + 1;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> g[i];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res = max(max(res, dfs(i, 0, 1)), dfs(i, m - 1, 3));
    for (int i = 0; i < m; i++)
        res = max(max(res, dfs(0, i, 2)), dfs(n - 1, i, 0));
    cout << res << endl;
    return 0;
}