【蓝桥杯】省赛真题—K倍区间（前缀和，数学，思维）

🌻🌻在之前的几篇文章中介绍了前缀和，以及同余定理这几个知识点，正好就在这道题派上用场了，一起来看看吧~

☕K倍区间：

题目链接：https://www.lanqiao.cn/problems/97/learning/

⭐题目要我们找区间，所以无脑使用前缀和数组sum[]预处理输入。

⭐如果枚举所有区间和，即便使用了前缀和，时间复杂度可以到$O(N^2)$，依然会有几个样例超时。

⭐回忆一下同余定理，题目让我们寻找k倍区间，即$(sum[r]-sum[l-1])\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k=0$，移项可得$sum[r]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k=sum[l-1]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$，换句话说就是让我们找有多少个前缀和$sum[i]$模$k$后相等，比如模$k$后相等的$sum[i]$有n个，那么从中任取两个代入前面的公式都可以找出一个k倍区间。

⭐同时对于任意$sum[i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$，其结果只可能是0 ~ k-1，因此可以用一个哈希表记录$sum[i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$相等的个数，由组合数$C_n^2$ (0 <= n <= k-1)可以求出模相等的前缀和可以得到几个k倍区间，这样，我们遍历哈希表，将所有可以由结果相同的前缀和求模得到的k倍区间累加起来就是最终答案。

🍦AC代码（Java）:

import java.util.Scanner;

public class Main {

    // 后面用不到原数列，所以只存储前缀和
    public static int[] sum = new int[100005];
    // 用来统计相同余数的的个数
    public static long[] remainder = new long[100005];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long ans = 0;
        // 前0项和是0，注意余数为0开始就出现一次
        remainder[0] = 1;
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int num = sc.nextInt();
            sum[i] = (sum[i - 1] + num) % k;
            remainder[sum[i]]++;
        }
        sc.close();
        for (int i = 0; i < k; i++)
            ans += (remainder[i] * (remainder[i] - 1)) >> 1;
        System.out.println(ans);
    }
}