R-B Tree，全称是Red-Black Tree，又称为“红黑树”，它一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。
红黑树的特性:
（1）每个节点或者是黑色，或者是红色。
（2）根节点是黑色。
（3）每个叶子节点（NIL）是黑色。 [注意：这里叶子节点，是指为空(NIL或NULL)的叶子节点！]
（4）如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。
（5）从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。
注意：
(01) 特性(3)中的叶子节点，是只为空(NIL或null)的节点。
(02) 特性(5)，确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而，红黑树是相对是接近平衡的二叉树。
红黑树示意图如下：
红黑树的应用
红黑树的应用比较广泛，主要是用它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(lgn)，效率非常之高。
例如，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。
红黑树的时间复杂度和相关证明
红黑树的时间复杂度为: O(lgn)
下面通过“数学归纳法”对红黑树的时间复杂度进行证明。
定理：一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1).
证明：
"一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)" 的逆否命题是 "高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2h/2-1个"。
我们只需要证明逆否命题，即可证明原命题为真；即只需证明 "高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2h/2-1个"。
从某个节点x出发（不包括该节点）到达一个叶节点的任意一条路径上，黑色节点的个数称为该节点的黑高度(x's black height)，记为bh(x)。关于bh(x)有两点需要说明：
第1点：根据红黑树的"特性(5) ，即从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点"可知，从节点x出发到达的所有的叶节点具有相同数目的黑节点。这也就意味着，bh(x)的值是唯一的！
第2点：根据红黑色的"特性(4)，即如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的"可知，从节点x出发达到叶节点"所经历的黑节点数目">= "所经历的红节点的数目"。假设x是根节点，则可以得出结论"bh(x) >= h/2"。进而，我们只需证明 "高度为h的红黑树，它的包含的黑节点个数至少为 2bh(x)-1个"即可。
到这里，我们将需要证明的定理已经由
"一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)"
转变成只需要证明
"高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2bh(x)-1个"。
下面通过"数学归纳法"开始论证高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2bh(x)-1个"。
(01) 当树的高度h=0时，
内节点个数是0，bh(x) 为0，2bh(x)-1 也为 0。显然，原命题成立。
(02) 当h>0，且树的高度为 h-1 时，它包含的节点个数至少为 2bh(x)-1-1。这个是根据(01)推断出来的！
下面，由树的高度为 h-1 的已知条件推出“树的高度为 h 时，它所包含的节点树为 2bh(x)-1”。
当树的高度为 h 时，
对于节点x(x为根节点)，其黑高度为bh(x)。
对于节点x的左右子树，它们黑高度为 bh(x) 或者 bh(x)-1。
根据(02)的已知条件，我们已知 "x的左右子树，即高度为 h-1 的节点，它包含的节点至少为 2bh(x)-1-1 个"；
所以，节点x所包含的节点至少为 ( 2bh(x)-1-1 ) + ( 2bh(x)-1-1 ) + 1 = 2^bh(x)-1。即节点x所包含的节点至少为 2bh(x)-1。
因此，原命题成立。
由(01)、(02)得出，"高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2^bh(x)-1个"。
因此，“一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)”。
红黑树的基本操作(一) 左旋和右旋
红黑树的基本操作是添加、删除。在对红黑树进行添加或删除之后，都会用到旋转方法。为什么呢？道理很简单，添加或删除红黑树中的节点之后，红黑树就发生了变化，可能不满足红黑树的5条性质，也就不再是一颗红黑树了，而是一颗普通的树。而通过旋转，可以使这颗树重新成为红黑树。简单点说，旋转的目的是让树保持红黑树的特性。
旋转包括两种：左旋 和 右旋。下面分别对它们进行介绍。
1. 左旋
对x进行左旋，意味着"将x变成一个左节点"。
左旋的伪代码《算法导论》：参考上面的示意图和下面的伪代码，理解“红黑树T的节点x进行左旋”是如何进行的。
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LEFT-ROTATE(T, x)
01 y ← right[x] // 前提：这里假设x的右孩子为y。下面开始正式操作
02 right[x] ← left[y] // 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”，即 将β设为x的右孩子
03 p[left[y]] ← x // 将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”，即 将β的父亲设为x
04 p[y] ← p[x] // 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
05 if p[x] = nil[T]
06 then root[T] ← y // 情况1：如果 “x的父亲” 是空节点，则将y设为根节点
07 else if x = left[p[x]]
08 then left[p[x]] ← y // 情况2：如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
09 else right[p[x]] ← y // 情况3：(x是它父节点的右孩子) 将y设为“x的父节点的右孩子”
10 left[y] ← x // 将 “x” 设为 “y的左孩子”
11 p[x] ← y // 将 “x的父节点” 设为 “y”
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理解左旋之后，看看下面一个更鲜明的例子。你可以先不看右边的结果，自己尝试一下。
2. 右旋
对x进行左旋，意味着"将x变成一个左节点"。
右旋的伪代码《算法导论》：参考上面的示意图和下面的伪代码，理解“红黑树T的节点y进行右旋”是如何进行的。
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RIGHT-ROTATE(T, y)
01 x ← left[y] // 前提：这里假设y的左孩子为x。下面开始正式操作
02 left[y] ← right[x] // 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”，即 将β设为y的左孩子
03 p[right[x]] ← y // 将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”，即 将β的父亲设为y
04 p[x] ← p[y] // 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
05 if p[y] = nil[T]
06 then root[T] ← x // 情况1：如果 “y的父亲” 是空节点，则将x设为根节点
07 else if y = right[p[y]]
08 then right[p[y]] ← x // 情况2：如果 y是它父节点的右孩子，则将x设为“y的父节点的左孩子”
09 else left[p[y]] ← x // 情况3：(y是它父节点的左孩子) 将x设为“y的父节点的左孩子”
10 right[x] ← y // 将 “y” 设为 “x的右孩子”
11 p[y] ← x // 将 “y的父节点” 设为 “x”
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理解右旋之后，看看下面一个更鲜明的例子。你可以先不看右边的结果，自己尝试一下。
旋转总结：
(01) 左旋 和 右旋 是相对的两个概念，原理类似。理解一个也就理解了另一个。
(02) 下面谈谈如何区分 左旋 和 右旋。
在实际应用中，若没有彻底理解 左旋 和 右旋，可能会将它们混淆。下面谈谈我对如何区分 左旋 和 右旋 的理解。
3. 区分 左旋 和 右旋
仔细观察上面"左旋"和"右旋"的示意图。我们能清晰的发现，它们是对称的。无论是左旋还是右旋，被旋转的树，在旋转前是二叉查找树，并且旋转之后仍然是一颗二叉查找树。
左旋示例图(以x为节点进行左旋)：
z
x /
/ \ --(左旋)--> x
y z /
y
对x进行左旋，意味着，将“x的右孩子”设为“x的父亲节点”；即，将 x变成了一个左节点(x成了为z的左孩子)！。 因此，左旋中的“左”，意味着“被旋转的节点将变成一个左节点”。
右旋示例图(以x为节点进行右旋)：
y
x \
/ \ --(右旋)--> x
y z \
z
对x进行右旋，意味着，将“x的左孩子”设为“x的父亲节点”；即，将 x变成了一个右节点(x成了为y的右孩子)！ 因此，右旋中的“右”，意味着“被旋转的节点将变成一个右节点”。
红黑树的基本操作(二) 添加
将一个节点插入到红黑树中，需要执行哪些步骤呢？首先，将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入；然后，将节点着色为红色；最后，通过旋转和重新着色等方法来修正该树，使之重新成为一颗红黑树。详细描述如下：
第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入。
红黑树本身就是一颗二叉查找树，将节点插入后，该树仍然是一颗二叉查找树。也就意味着，树的键值仍然是有序的。此外，无论是左旋还是右旋，若旋转之前这棵树是二叉查找树，旋转之后它一定还是二叉查找树。这也就意味着，任何的旋转和重新着色操作，都不会改变它仍然是一颗二叉查找树的事实。
好吧？那接下来，我们就来想方设法的旋转以及重新着色，使这颗树重新成为红黑树！
第二步：将插入的节点着色为"红色"。
为什么着色成红色，而不是黑色呢？为什么呢？在回答之前，我们需要重新温习一下红黑树的特性：
(1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。
(2) 根节点是黑色。
(3) 每个叶子节点是黑色。 [注意：这里叶子节点，是指为空的叶子节点！]
(4) 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。
(5) 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。
将插入的节点着色为红色，不会违背"特性(5)"！少违背一条特性，就意味着我们需要处理的情况越少。接下来，就要努力的让这棵树满足其它性质即可；满足了的话，它就又是一颗红黑树了。o(∩∩)o...哈哈
第
