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算法基础(四)| 前缀和算法及模板详解


⭐写在前面的话:本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构,配以详细的图例解释,总结相应的代码模板,同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固,可参考:​​10min快速回顾C++语法​​,进行语法复习。

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算法基础(四)| 前缀和算法及模板详解_c++

前缀和

一维前缀和

原数组a[i]: a[1], a[2], a[3] ... a[n];

前缀和:S[i] = a[1] + a[2] + a[3] ...+a[n]

模板1:如何求S_i[n]?

算法基础(四)| 前缀和算法及模板详解_前缀和_02

模板2:求[l, r]

[l, r] = S_r - S_{l-1}

下标从1开始,为了定义为S_{0} = 0 ,这么定义的好处是可以将[l, r] = S_r - S_{l-1},这个公式应用在所有场景下,包括[1, x] = S[x] - S[0] 。

例题:前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问,每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问,输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数,表示整数数列。

接下来 m 行,每行包含两个整数 l 和 r,表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行,每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n, 1≤n,m≤100000 −1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例:

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例

3
6
10

代码模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N],s[N];

int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
int m , n;

scanf("%d%d", &n ,&m);
for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);

for(int i = 1; i <= n; i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];

while( m-- )
{
int l ,r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
}
return 0;
}

二维前缀和

S[i][j] : 两个方向的前缀和,左上角这一部分所有元素的和。

a[i][j] : 元素。

首先,写出计算前缀和的公式:

s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]

算法基础(四)| 前缀和算法及模板详解_c++_03

计算部分前缀和的公式如下所示:

s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

算法基础(四)| 前缀和算法及模板详解_算法模板_04

注意,这里把每个格子看成元素就好。

例题:子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵,再输入 q 个询问,每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,q。

接下来 n 行,每行包含 m 个整数,表示整数矩阵。

接下来 q 行,每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一组询问。

输出格式

共 q 行,每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000 1≤q≤200000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例:

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例:

17
27
21

代码模板

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N],s[N][N];

int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &a[i][j]);

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
//求前缀和
s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

while (q -- )
{
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
//算部分前缀和
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
}

return 0;
}


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