【算法基础——第二讲】前缀和-CFANZ编程社区

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【算法基础——第二讲】前缀和_前缀和

文章目录

一、前言
二、前缀和的介绍与运用

1.一维前缀和
2.二维前缀和

最后

一、前言

前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和。合理的使用前缀和预处理，能大大降低时间复杂度，构造前缀和数组需要O(n)时间复杂度和空间复杂度，查询操作只需要常数时间

二、前缀和的介绍与运用

1.一维前缀和

原数组: a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
前缀和 Si为数组的前 i项和
前缀和: s[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]

注意: 前缀和的下标一定要从 1开始, 避免进行下标的转换

s[0] = 0
s[1] = a[1]
s[2] = a[1] + a[2]

构建前缀和方法
s[i]=s[i-1]+a[i];

原理
s[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]…a[r];
s[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1];
s[r]-s[l-1]=a[l]+a[l+1]+…+a[r];

模板题如下

输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N = 1e6+7;
int a[N],sum[N];
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];// 初始化前缀和
    }
    int a,b;
    while (m -- )
    {
        cin>>a>>b;
          // 计算任一区间和
        cout<<sum[b]-sum[a-1]<<endl;
        
    }
    return 0;
}

2.二维前缀和

二维前缀和预处理公式

s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]

模板题如下

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

代码如下

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin>>a[i][j];
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和
        }

    while (q--) {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
       cout<<s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1])<<endl; // 计算任一矩阵和
    }

    return 0;
}