记杨老师的开学第一课（欧拉公式）

初一的第一堂数学课，杨老师给出这么一个题：

Q：正多面体一共有多少种？为什么？

A：
首先有欧拉公式

即

证明：
将一个多面体在平面上拍扁

引理1：多面体的某一个 边形拍扁后还是一个 边形
引理2：拍扁后 均不变
考虑利用内角和恒等关系证明
假设 个多边形分别有 条边，那么内角和为

注意到

所以内角和为
接下来换一种方式计算内角和
多边形中的每一个点有 的贡献，设最大的多边形点数为 ，那么内点数为
于是对内角和有 的贡献
并且注意到最外面的 有 的贡献，因为每个角要算两次
所以内角和为
于是有 ，得证

回到这一道题：
设正多面体的每一个面为正 边形，每个顶点有 条棱
于是有


所以有


寻找 的限制条件，显然 不同大于 3
由 本身的定义，，所以 中至少有一个为 3

当 时，
当 时，
验证可得存在以下解

所有共存在 5 种正多面体

晚上划水的时候偶然翻到了初一时记下的稚嫩的笔记。
决定把这道巧妙的题记录下来。
感谢杨老师对我们的辛勤培育与费心操劳！
初中毕业快大半年了，时常梦想到自己回到初中的校园。
真的非常思念您，您是我人生中遇见的非常非常重要的老师！