3737: 礼物
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题目描述
热情好客的小猴请森林中的朋友们吃饭，他的朋友被编号为 1∼N，每个到来的朋友都会带给他一些礼物：香蕉。其中，第一个朋友会带给他1个香蕉，之后，每一个朋友到来以后，都会带给他之前所有人带来的礼物个数再加他的编号的K次方那么多个。所以，假设 K=2，前几位朋友带来的礼物个数分别是：
1,5,15,37,83,…
假设 K=3，前几位朋友带来的礼物个数分别是：
1,9,37,111,…
现在，小猴好奇自己到底能收到第 N 个朋友多少礼物，因此拜托于你了。
已知 N,K，请输出第 N 个朋友送的礼物个数 mod 1000000007。
输入
第一行，两个整数 N,K。
输出
一个整数，表示第N个朋友送的礼物个数 mod 1000000007。
样例输入
4 2样例输出
37提示
100% 的数据：N≤1018，K≤10。
【解析】：
由题意可以看出：an = S(n-1) + n^k ；
数据量太大，直接递推会超时。
所以用这个递推式，构造矩阵，然后利用矩阵快速幂，从而将时间复杂度从O(n)降到O(log n)
利用二项式分解n^k可得：
（注意注意： Sn = S(n-1) + an）
然后设两个矩阵Xn和Xn+1，令他们：
那么一定存在这样的矩阵A。
手算构造这个矩阵A。其中多次用到二项式分解。
特别注意区分Sn和an
构造结果：
然后，X(n+1) = A * Xn;
则 Xn = A^(n-2) * X2；
A^(n-2)通过矩阵快速幂秒求，然后直接通过X2推出Xn
【代码】：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
struct zhen{
int r,c;//行列始于1
ll a[16][16];
zhen(int R=0,int C=0){
memset(a,0,sizeof(a));
r=R;c=C;
}
};
ll Cf[15][15];//组合数打表
zhen operator*(zhen A,zhen B)//矩阵A*B
{
zhen C(A.r,B.c);
for(int i=1;i<=A.r;i++)
for(int j=1;j<=B.c;j++)
for(int k=1;k<=A.c;k++){
C.a[i][j]+=(A.a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
C.a[i][j]%=mod;
}
return C;
}
zhen qpow(zhen A,ll m)//方阵A的m次幂
{
zhen ans(A.r,A.c);
for(int i=1;i<=A.r;i++) ans.a[i][i]=1;//单位矩阵
while(m)
{
if(m%2)ans=ans*A;
A=A*A;
m/=2;
}
return ans;
}
ll qpow(ll n,ll m)
{
n%=mod;
ll ans=1;
while(m)
{
if(m%2)
ans=(ans*n)%mod;
m/=2;
n=(n*n)%mod;
}
return ans;
}
void output(zhen A)
{
for(int i=1;i<=A.r;i++){
for(int j=1;j<=A.c-1;j++)
cout<<A.a[i][j]<<' ';
cout<<A.a[i][A.c]<<endl;
}
}
void init()//组合数打表
{
Cf[0][0]=1;//特殊
for(int i=1;i<=13;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
Cf[i][j]=(j==0)?1:(Cf[i-1][j]+Cf[i-1][j-1])%mod;
}
int main()
{
init();//初始化组合数
ll n,k;
cin>>n>>k;
if(n==1){
puts("1");return 0;
}
zhen A(k+2,k+2);//构造矩阵A
A.a[1][1]=2;
for(int i=2;i<=A.c;i++)//第一二行
A.a[2][i]=A.a[1][i]=Cf[k][i-2];
for(int i=3;i<=A.r;i++)//三行往后
for(int j=i;j<=A.c;j++){
A.a[i][j]=Cf[A.r-i][j-i];
}
//矩阵A构造完毕
//所以 Xn = A^(n-2) * X2;
zhen X2(A.r,1),Xn;
for(int i=1;i<=X2.r;i++)
X2.a[i][1]=1;
Xn=qpow(A,n-2)*X2;
ll ans=Xn.a[1][1]+qpow(n,k);//an = S(n-1) + n^k
cout<<ans%mod<<endl;
}矩阵快速幂解决递推题 推荐博文：点击打开链接
要点：将an利用二项式展开，要含有n-1
