最短路
Dijkstra
Johnson全源最短路（如何用Dijkstra跑带负权的图）
- 通常带负环、负权边的最短路问题都是用 S p f a Spfa Spfa 或 F l o y d Floyd Floyd 求解，但两者的时间显然过大。普通 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 基于贪心思想，要求图中边都是正权。
- J o h n s o n 全 源 最 短 路 Johnson全源最短路 Johnson全源最短路 可以在预处理后在 O ( m l o g m ) O(mlogm) O(mlogm) 的时间内用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 跑带负权边的图
洛谷：P1875 佳佳的魔法药水（有向有环图 + Dijkstra变式）
- 虽然堆优化 Dijkstra 很好用，但也不要忽视了 朴素版 Dijkstra 的本质。
Floyd
2021辽宁省大学生程序设计竞赛 B. 阿强的路（多条件状态转移 + Floyd变式）
洛谷：P1730 最小密度路径（多条件状态维护 + Floyd变式 + 枚举维护最优子结构）
洛谷：P1476 休息中的小呆（Floyd求最短路 + 升序记录路径）
洛谷：P1613 跑路（倍增 + Floyd维护最短路）
P1119 灾后重建（基础Floyd原理的理解和运用）
P1522 [USACO2.4]牛的旅行 Cow Tours（Floyd多源最短路）
Spfa 求负环 / 01分数规划 / 差分约束
二分答案
P1462 通往奥格瑞玛的道路（图论二分答案）
分层图
牛客：小雨坐地铁
- 分层图入门 + Djikstra
洛谷：P1266 速度限制
- 图上dp，单层信息不足以存储，那就得分多层。
洛谷：P4568 [JLOI2011]飞行路线
正反图应用
洛谷：P5304 [GXOI/GZOI2019]旅行者（二进制暴力枚举 / 建反图染色法）
- 此题可以证明正反图处理的正确性，也有二进制枚举的暴力解法。
洛谷：P2685 [TJOI2012]桥（正反图、区间维护）
- 正反图跑出两个最短路树结构，在交织中观察出区间维护性质，用线段树处理，难度较高。
路径记录
洛谷：P2832 行路难（堆优化Dijkstra（错解）bfs（正解） + 记录路径）
- 此题的独特性质导致记录路径需要用 bfs （通常是维护 父节点 数组）
DP
洛谷：P3556 [POI2013]MOR-Tales of seafaring（拆点 + 奇偶最短路）
- 类似状态机 dp 去维护两种最短路。包含简单路径的定义。
洛谷：P2620 虫洞（离散化 + 最短路递归建边）
- 杂合了很多内容的最短路，难度较高，建图的过程用到 dp 思想，用递归处理非常巧妙。
Codeforces周赛 #765 (Div.2)：C. Road Optimization（线性DP / 图论）
- 图建好，跑最短路的过程也是 dp 的一种形式
染色法 —— 二分图
染色
洛谷：P1155 [NOIP2008 提高组] 双栈排序（二分图、模拟）
- 此题不仅要在题目中挖掘出二分图性质，还要模拟栈的运行过程，容易出错。
2021 ICPC 区域赛（沈阳）B-Bitwise Exclusive-OR Sequence（异或环、二分图染色变种、贪心）
- 不错的染色法应用题，涉及异或数学知识的染色，空间大小要注意。
洛谷：P1330 封锁阳光大学（二分图染色 + 最小同色点覆盖）
- 最小点覆盖是指：最小的点覆盖图中所有边，点集中的点有可能相邻。
牛客月赛：F-全体集合（二分图染色 + 性质）
- 二分图性质：没有奇数环存在，若有，必定有点可以通过走奇数环来变色。
二分图匹配
洛谷：P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏（二分图最大匹配）
- 对行列的建边处理
Acwing：泥地（二分图的匹配 —— 最小点覆盖）
- 思维上更巧妙的最小点覆盖应用
拓扑序列
P1347 排序（拓扑序列 / Floyd传递闭包）
- 用拓扑判断有无解。
强连通 / 双连通
洛谷：P1262 间谍网络（强连通缩点 + 拓扑序维护信息）
- 题目信息要考虑全，思考所有数据情况。
欧拉路径
洛谷：P2407 [SDOI2009]地图复原（标记欧拉回路）
图的遍历
P1363 幻象迷宫（图论 ? 搜索）
- 比较特别的一道搜索题（分类为图论？理论上也是图）
洛谷例题：图的遍历、记录（有自环/无自环）
- 遍历图时，可以通过标记已经走过的路径来减少时间，使得整个图只被走一次
洛谷：P3907 圈的异或（无向图找环 + 异或前缀和）
洛谷：P1444 [USACO1.3]虫洞 wormhole（找环 + 枚举暴搜）
- 搜索时，对点和边搜索的安排，和顺序安排会有奇效
洛谷：P1653 猴子（图存储、逆向思维 删边 --＞加边）
- 考察反向处理询问
洛谷：P2189 小Z的传感器（并查集染色）
- 不是染色法，但模拟染色的过程，用并查集维护使得时间可以接受。
杂项
洛谷：P1524 十字绣（图论中 (出 / 入) 度的应用）
