洛谷P1590《失踪的7》题解报告

解法一，70分

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int times;
    cin >> times;
    while(times--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        int cnt = n;

        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int tmp = i;
            while(tmp)
            {
                //数的某位是7，要删除掉
                if(7 == tmp % 10)
                {
                    cnt--;
                    break;
                }
                tmp /= 10;
            }
        }
        cout << cnt << endl;
    }

    return 0;
}

解法二，100分

（一）n可否包含7

如果n包含了7，比如n = 7或n = 70，这类数是合法的吗？有些人可能对此有疑问。答案是不可以。理由有三：

（1）样例1中n = 10时，答案是9，即1 2 3 4 5 6 8 9 10共有9个数。显然10这个数是被包含在内的。n = 20时，答案是18，即1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20共有18个数，显然20这个数是被包含在内的。
如果输入的是n = 7，那么按照样例1，也会尝试去包含7这个数，但是Pascal数里不包含7。Pascal数压根不认得含7的数。

（2）在70分的程序中，测试点11、12和13通不过。下载第11个测试点的数据，这个测试点里有10000个数，没有一个包含7。

（二）思路

计算出每一位数对总方案数的贡献，并求和。

比如n = 4321 = 4000 + 300 + 20 + 1

1的贡献值：只有1这一种可能性。

2的贡献值：2在十位，贡献值是2∗9。

3的贡献值：3在百位，贡献值是3∗9^2。

4的贡献值：4在千位，贡献值是4∗9^3。

结论：

某一个数的第b位数为a，则贡献值是a∗9^(b−1)。

证明：

因为7不可用，每一位自然有9个选择。根据乘法原理，一位数随机排列为9种，两位数为81种，n位数就是​​9^n​​种，也就是说，0-99999…9就可以用乘法原理来算，如果去掉0这种情况，再加上100000…0这种情况，一加一减抵消了，总数没有变。就变成了1-100000…0的总数为9^n种。

（三）代码

#include<cstdio>

int main()
{
    //freopen("P1590.in", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);

    while(T--)
    {
        int p = 1, ans = 0;
        unsigned n;
        scanf("%u", &n);
        while(n)
        {
            int tmp = n % 10;
            if (tmp == 8 || tmp == 9)    //不用判断是否等于7，因为输入的数不包含7
            {
                tmp--;
            }
            ans += p * tmp;
            p *= 9;
            n /= 10;
        }

        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}