学习目标：

我太急切的想要一个答案。想要风光的学位，瞬间的博学，想要意气风发，想闪着金光走向喜欢的人。但现实告诉我,操之过急便会败北，他要我等，要我耐得住不断延长的时间线，要我交付出足够的努力堆砌在沉闷、晦涩的时光里，才肯将一切"我想要"一点一点递送至我手里。每日一题，一起逐梦。

学习内容：

我们今天的内容是背包问题的进阶版——多重背包。

先来了解一下什么是多重背包：

与01背包、完全背包相比，多重背包的不同就在于物品的数目是有限的，在有限的物品中挑选出最优的方案，是不是和01背包有些相似，也就是说，我们可不可以把n个相同的物品看作是分散的n个物品，他们只是体积和价值都相同。有些化整为零的思想，这样转化以后，我们是不是就能当作01背包的问题来做，没错，看下代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1005;
int f[N];
int main() {
	int n, m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int v,w,s;
		scanf("%d%d%d",&v,&w,&s);
		for(int k=0; k<s; k++) { //k个相同的物品分成k个体积和价值都相同的物品
			for(int j = m; j >= v; j--) {
				f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
			}
		}

	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

当然，这是再数据量较少的时候，及时我们优化了空间复杂度，它的时间复杂度依旧很高，当数据量增加的时候，我们还是会超时，这就需要我们来思考一下有没有什么优化的方法。思考一下

我们的时间复杂度主要是因为k的重复，很多个相同的物品我们要重复去算，而最后只要知道k个物品需要几个，我们除了一个一个的去算，还有没有更好的方法，减少k的循环。想想我们的二进制，可以把一个很大的数转化成32位以内，是不是可以再减少循环的同时保护我们最终的结果不变呢？

我们一开始是把每一个物品分成一堆，这时，我们可以把物品分成1、2、4、8、16...2^n，这样就能大大减少我们的运算时间，而且每个数，都可以用二进制来表示，我们先对物品进行分堆，然后再用01背包的方法去解决，就能将时间复杂度讲到O（n*m）。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000000;
int f[N];
struct good {
	int w;
	int val;
};
int main() {
	int n, m;
	vector<good> a;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int v,w,s;
		scanf("%d%d%d",&v,&w,&s);
		for(int k=1; k<=s; k=k*2) {
			s-=k;//注意s需要不断减少
			a.push_back({k*v,k*w});
		}
		if(s>0) {//最后s只能是0或1，因为二进制的原因。
			a.push_back({s*v,s*w});
		}
	}
	n=a.size();
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j = m; j >= a[i].w; j--) {
			f[j] = max(f[j], f[j - a[i].w] + a[i].val);
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

有问题的朋友欢迎评论区留言讨论，小编近几天会陆续更新背包问题的文章，希望大家多多鼓励，共同进步！

每天坚持是一件很累的事，即使很慢，但也不要停止。

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