从单纯形联想到的一种简单线性规划的费用流做法

使用条件

观察一下单纯形中各项系数，假如对于所有$x_i$，其在线性规划中的系数只有$+1$或$-1$，并且两者至多出现一次，那么就可以用费用流来解决。

当然，如果在本身的线性规划中并不成立，但是在对偶问题中成立，也是可以做的。

使用方法

用费用流中的一个点来描述一个限制，一个限制形如：${\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i[\ge /=/\le ]c$（中间的符号三选一）；用一条边的流量来描述一个变量的取值，假如还有系数那么可以用费用来描述。

根据流量守恒，我们有$\text{flow-in}-\text{flow-out}=0$，对于一个描述限制的点，系数为$1$的$x_i$可以看作是流入流量，$-1$的就是流出流量。由于是不等式，所以可以通过从$S$连入或连向$T$来平衡流量，当然这些边就没有什么实际意义了，费用也为$0$。如果还要限制变量的取值可以直接套上下界费用流，总之各种问题都可以套费用流模板了。