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【欧拉函数】(小于或等于n的数中与n互质的数的数目)


【欧拉函数】



​​数论​​​,对​​正整数​​​n,​​欧拉​​​函数是少于或等于n的数中与n​​互质​​​的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function、​​φ函数​​​、欧拉​​商数​​​等。 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8​​互质​​​。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和​​拉格朗日定理​​​构成了​​欧拉定理​​的证明。



【证明】:


设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集,据中国

​​剩余定理​​,A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用

​​算术基本定理​​便知,



n= ∏p^(α(下标p))p|n


则φ(n)=∏(p-1)p^(α(下标p)-1)=n∏(1-1/p)


p|n p|n


例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24,与欧拉定理、 ​​费马小定理​​​的关系,对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有a^φ(m)≡1(mod m)即欧拉定理:当m是质数p时,此式则为:a^(p-1)≡1(mod m)即费马小定理。(慢慢理解~~)
代码实现:(写一遍欧拉函数,加深印象!)
在线版:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int eular(int n)
{
int res=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
n/=i,res*=i-1;//保证i一定是素数
while(n%i==0)
n/=i,res*=i;
}
}
if(n>1)
res*=n-1;
return res;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
printf("%d\n",eular(n));
}
return 0;
}

预处理


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=le5+5;
int phi[N];
void pre_eular()
{
phi[1]=1;
for(int i=2; i<N; i++)
{
if(!phi[i])
{
for(int j=i; j<N; j+=i)
{
if(!phi[j]) phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
}

欧拉函数的和:phi_sum(n) = the sum of phi(i) where gcd(i,n) = 1 and 1 <= i <= n
1)phi_sum(n) = n * phi(n) / 2 (n >= 2)
2)phi_sum(n) = 1 (n == 1)




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