Infinite Set（dp/数论/dfs）

题目
题意：给定一个数组$a$和$p$。数组中每个元素互不相同。给定无限合S，$x\in S$如果
$y\in a$或$y=2\ast x+1,x\in S$或$y=4\ast x,x\in S$
问S有多少元素，小于$2^p$。$1<=n,p<=10^5$

参考官方
思路：定义$f(x)$表示$x$的最高二进制位，那么有$f(2\ast x)=f(x)+1,f(4\ast x)=f(x)+2$。
定义dp[x]表示最高二进制位为$x$的元素有多少个。那么有$dp[x]=dp[x-1]+dp[x-2]+g(x)$，其中$g(x)$表示最高二进制位为$x$的$a$元素个数。
注意，由于某些$a_i$可能由其他的$a_j$衍生而成，我们需要去重。
将$a$数组排序，然后检查当前元素$a_i$是否可能由$a_1,...,a_{i-1}$的通过$2\ast x+1,4\ast x$生成。递归校验即可。
详见代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 200010;
const int mod = 1000000007;

int n, p, a[maxn];
set<int> st;
int dp[maxn];
bool check(int x) {
	if (st.find(x) != st.end()) {
		return false;
	}
	if ((x - 1) % 2 == 0 && (x - 1) / 2 > 0 && !check((x - 1) / 2)) {
		return false;
	}
	if (x % 4 == 0 && x / 4 > 0 && !check(x / 4)) {
		return false;
	}
	return true;
}
int cal(int x) {
	int count = -1;
	while (x) {
		++count;
		x >>= 1;
	}
	return count;
}
int Add(int x, int y) {
	return (x * 1LL + y) % mod;
}
void solve() {
	scanf("%d%d", &n, &p);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	sort(a + 1, a + n + 1);
	st.clear();
	memset(dp, 0, sizeof(dp));

	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (check(a[i])) {
			st.insert(a[i]);
			++dp[cal(a[i])];
		}
	}
	if (p == 1) {
		printf("%d\n", dp[0]);
		return;
	}

	dp[1] = Add(dp[1], dp[0]);

	int res = Add(dp[0], dp[1]);
	for (int i = 2; i < p; ++i) {
		dp[i] = Add(Add(dp[i], dp[i-1]), dp[i-2]);
		res = Add(res, dp[i]);
	}
	printf("%d\n", res);
}
int main() {
	int t;
//	scanf("%d", &t);
	t = 1;
	while (t--) {
		solve();
	}
}
/*
1 3 4 7 9 12 15 16 19 25 28
*/