算法：概率数学相关题目-CFANZ编程社区

随机数发生器。

给定一个随机数发生器构造另一个随机数发生器；
给定一个随机数发生器对数列进行采样。

给定一个等概率随机产生1~5的随机函数f()。除此之外，不能使用任何额外的随机机制，请实现等概率随机产生1 ~ 7的随机函数。
解答：将f()通过乘和加的运算构造自然数序列。
步骤1 g() = f()-1 -> 0,1,2,3,4
步骤2 g()*5 + g() -> 0,1,2,3,4,5,6,7,…,24
步骤3 若步骤2产生的数大于20，重复步骤2；若小于等于20，%7，即可等概率产生0-6
步骤4 步骤3结果+1.

def randomInt5():
    # 生成1-5的随机函数
    return int(random.random()*5) + 1
def randomInt7():
    res = (randomInt5()-1)*5 + (randomInt5()-1)  #0,1,2,..,24
    if res <= 20:
        return res % 7
    else:
        return randomInt7()
if __name__ == "__main__":
    dic  = {}
    for i in range(100000):
        res = randomInt7()
        if res not in dic:
            dic[res] = 1
        else:
            dic[res] += 1
    print(dic)

给定一个以p概率生成0，以1-p概率产生1的随机函数f()，p是固定的值，但是你并不知道是多少。除此之外也不能使用任何额外的随机机制，请用f()实现等概率随机产生0和1的随机函数。
解答：虽然p未知，但是连续调用f()2次，产生01和10序列的概率均为p(1-p)。基于这点可以等概率随机产生0和1。

import random
def f(p:float=0.3):
    # 以p的概率产生0，以1-p的概率产生1
    if random.random()<p:
        return 0
    else:
        return 1
def generate(p:float=0.3):
    first = f(p)
    second = f(p)
    if first==0 and second==1:
        return 0
    elif first==1 and second==0:
        return 1
    else:
        return generate(p)
if __name__ == "__main__":
    cnt = 0
    for i in range(500000):
        if generate()==1:
            cnt += 1
    print(cnt)

3 假设函数f()等概率随机返回一个在[0,1)范围上的浮点数，那么我们知道，在[0,x)区间上的数出现的概率为x(0<x<=1)。给定一个大于0的整数k，并且可以使用f()函数，请实现一个函数依然返回在[0,1)范围上的数，但是在[0,x)区间上的数出现的概率为x的k次方。
解答：调用K次f()，返回较大的数即可。

def randomK(k:int=3):
    max_value = -1
    for i in range(k):
        tmp = random.random()
        max_value  = max(max_value, tmp)
    return max_value

if __name__ == '__main__':
    for i in range(100):
        print(randomK())

给定一个长度为 N 且没有重复元素的数组 arr 和一个整数 M，实现函数等概率随机打印 arr 中的 M 个数。
解答：有很多思路去实现题中的"随机"，这里介绍一种代价较低的方案。
步骤1：在0-N-1中随机得到一个index，将index的值输出，并与数组最后一个位置交换
步骤2：在0-N-2中随机得到一个index，将index的值输出，并与数组倒数第二个位置交换。
如此操作，直到输出M个数。

def selectM(arr, m:int=5):
    n = len(arr)
    for i in range(m):
        idx = int(random.random() * (n-i)) - 1
        print(arr[idx])
        arr[idx], arr[n-i-1] = arr[n-i-1], arr[idx]

if __name__ == '__main__':
    arr = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
    selectM(arr)
    print(arr)

有一个机器按自然数序列的方式吐出球，1号球，2号球，3号球等等。你有一个袋子，袋子里最多只能装下K个球，并且除袋子以外，你没有更多的空间，一个球一旦扔掉，就再也不可拿回。设计一种选择方式，使得当机器吐出第N号球的时候，你袋子中的球数是K个，同时可以保证从1号球到N号球中的每一个，被选进袋子的概率都是K/N。
更具体的例子：
有一个只能装下10个球的袋子，当吐出100个球时，袋子里有10 球，并且1 ~ 100号中的每一个球被选中的概率都是10/100。
然后继续吐球，当吐出1000个球时，袋子里有 10 个球，并且1 ~ 1000号中的每一个球被选中的概率都是10/1000。
继续吐球，当吐出i个球时，袋子里有10个球，并且1 ~ i号中的每一个球被选中的概率都是10/i。也就是随着N的变化，1~N号球被选中的概率动态变化成k/N。
解答：蓄水池抽样算法
基本过程：
步骤1）处理1-K号球时，直接放进袋子里；
步骤2）处理第 i 号球时，以 k/i 的概率决定是否将第 i 号球放进袋子里。如果不决定将第 i 号球放进袋子，直接扔掉第 i 号球；如果决定将第 i 号球放进袋子，
那么就从袋子里的 k 个球中随机扔掉一个，然后把第 i 号球放入袋子。
步骤3）处理第 i+1 号球时，重复步骤1或步骤2。
证明：
情形一）假设第 i 号球被选中，并且 1 <= i <= k，那么第 i 号球最终留在袋子中的概率是 K/N。
在选 k+1 号球之前，第i号球留在袋子中的概率为1。
在选 k+1号球时，只有决定将k+1号球放入袋子，同时在袋子中的第i号球被随机选中并决定扔掉，这两个事件同时发生时第i号球才会被淘汰，第i号球被淘汰的概率是 $\frac{k}{k+1} \times \frac{1}{k} = \frac{1}{k+1}$ ，所以第i号球留下来的概率是是 $\frac{k}{k+1}$ ；
在选 k+2 号球时，只有决定将 k+2 号球放入袋子，同时在袋子中的第i号球被随机选中并决定扔掉，这两个事件同时发生时第i号球才会被淘汰，第i号球被淘汰的概率是 $\frac{k}{k+2}\times\frac{1}{k}=\frac{1}{k+2}$ ，所以第i号球留下的概率是 $\frac{k+1}{k+2}$
依次类推，在选N号球时，从1号到N号的全部过程中，第i号球最终留在袋子中的概率是
$\frac{k}{k+1}\times\frac{k+1}{k+2}∗\frac{k+2}{k+3}∗\frac{k+3}{k+4}....∗\frac{N−1}{N}=\frac{k}{N}$
情形二) 假设第i号球被选中，并且 k < i <= N。那么第 i 号球最终留在袋子中的概率是 K/N。
第 i 号球被选中留下的概率是 $\frac{k}{i}$ 。
第 i+1 号球被选中，并且i号球淘汰的概率是 $\frac{k}{i+1} * \frac{1}{k} = \frac{1}{i+1}$ , 第 i 号球留下的概率是 $\frac{i}{i+1}$ 。
依次类推，在选N号球时，第i号球最终留在袋子中的概率是：
$\frac{k}{i} * \frac{i}{i+1} * \frac{i+1}{i+2}... * \frac{N-1}{N} = \frac{k}{N}$

基本概率题

三只蚂蚁从正三角形的三个定点沿着边移动，速度是相同的，它们碰头的概率是多少？
解答：只要两个碰头就算碰头。答案是 $\frac{3}{4}$
假设某地区重男轻女，一个家庭如果生出一个女孩就一直生，知道生出男孩就停止生育。假设一胎只出生一个孩子，问时间足够长后，男女比例是会变为多少？
解答：1:1
8只球队，3个强队，其余都是弱队。随机把它们分成4组比赛，每组两个队。问两强相遇的概率是多大？
解答：
8只球队的分组数：
$\frac{C_{8}^{2}*C_{6}^{2}*C_{4}^{2}*C_{2}^{2}}{4*3*2*1}$
8只球队中，让3个强队中两强一组的分组数： $C_{3}^2$ ，其他6队随机分组：
$\frac{C_{6}^{2}*C_{4}^{2}*C_{2}^{2}}{3*2*1}$
8只球队中，两强相遇概率：
$\frac{f(6)*C_{3}^2}{f(8)} = \frac{3}{7}$
注：不能直接 $C_{8}^{2}*C_{6}^{2}*C_{4}^{2}*C_{2}^{2}$ 计算分组数的原因是会将分组重复计算。
参考：
链接1
链接2