特征值和特征向量

前置定理 1　 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 。

证明见 “​​线性方程组与矩阵的秩​​”。

定义 1（特征值和特征向量）　设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量

成立，那么，这样的数 称为矩阵 的 特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的 特征向量。

上式 也可以写成

这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组，根据前置定理 1 可知，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 ，即系数行列式

上式 是以 为未知数的一元 次方程，称为矩阵 的 特征方程，其左端 是 的 次多项式，记作 ，称为矩阵 的 特征多项式。显然， 的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此， 阶矩阵 在复数范围内有

性质 1　设 阶矩阵 的特征值为 ，则 。

证明见 “​​【证明】矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和​​”。

性质 2　设 阶矩阵 的特征值为 ，则 。

证明见 “​​【证明】矩阵特征值之积等于矩阵行列式的值​​”。

由性质 2 可知， 是可逆矩阵的充分必要条件是它的

设 为矩阵 的一个特征值，则由方程

可求得非零解 ，那么 便是 的对应于特征值 的特征向量。（若 为实数，则 可取实向量；若 为复数，则

性质 3　若 是 的特征值，则 是

证明见 “​​【证明】矩阵特征值的k次幂是矩阵k次幂的特征值​​”。

根据性质 3 可知， 是 的特征值（其中 是 的多项式， 是矩阵

性质 4　若 是 的特征值，当 可逆时， 是

证明见 “​​【证明】矩阵特征值的倒数是其逆矩阵的特征值​​”。

定理 1　设 是方阵 的 个特征值， 依次是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则

证明见 “​​【证明】矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关​​”。

推论　设 和 是方阵 的两个不同特征值， 和 分别是对应于 和 的线性无关的特征向量，则

证明见 “​​【证明】不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍然线性无关​​”。

上述推论表明：对应于两个不同特征值的线性无关的特征向量组，合起来仍是线性无关的。这一结论对