【面试高频题】难度 2.5/5，多解法经典面试笔试题-CFANZ编程社区

题目描述

这是 LeetCode 上的 786. 第 K 个最小的素数分数 ，难度为中等。

Tag : 「优先队列（堆）」、「多路归并」、「二分」、「双指针」

给你一个按递增顺序排序的数组 arr 和一个整数 k 。

数组 arr 由和若干素数组成，且其中所有整数互不相同。

对于每对满足的和，可以得到分数

那么第个最小的分数是多少呢? 以长度为的整数数组返回你的答案, 这里且

示例 1：

输入：arr = [1,2,3,5], k = 3

输出：[2,5]

示例 2：

输入：arr = [1,7], k = 1

输出：[1,7]

提示：

是一个素数，
中的所有数字互不相同，且按严格递增排序

优先队列（堆）

数据范围只有，直接扫描所有点对的计算量不超过。

因此我们可以使用「扫描点对」+「优先队列（堆）」的做法，使用二元组进行存储，构建大小为

根据「堆内元素多少」和「当前计算值与堆顶元素的大小关系」决定入堆行为：

若堆内元素不足
若堆内元素已达个，根据「当前计算值与堆顶元素的大小关系」进行分情况讨论：

如果当前计算值比堆顶元素大，那么当前元素不可能是第
如果当前计算值比堆顶元素小，那么堆顶元素不可能是第

代码：

class Solution {
    public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] arr, int k) {
        int n = arr.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->Double.compare(b[0]*1.0/b[1],a[0]*1.0/a[1]));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                double t = arr[i] * 1.0 / arr[j];
                if (q.size() < k || q.peek()[0] * 1.0 / q.peek()[1] > t) {
                    if (q.size() == k) q.poll();
                    q.add(new int[]{arr[i], arr[j]});
                }
            }
        }
        return

时间复杂度：扫描所有的点对复杂度为；将二元组入堆和出堆的复杂度为。整体复杂度为
空间复杂度：

多路归并

在解法一中，我们没有利用「数组内元素严格单调递增」的特性。

由于题目规定所有的点对必须满足，即给定后，其所能构建的分数个数为个，而这个分数值满足严格单调递增：。

问题等价于我们从个（下标作为分母的话，不存在任何分数）有序序列中找到第小的数值。这

问题彻底切换为「多路归并」问题，我们使用「优先队列（堆）」来维护多个有序序列的当前头部的最小值即可。

代码：

class Solution {
    public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] arr, int k) {
        int n = arr.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->{
            double i1 = arr[a[0]] * 1.0 / arr[a[1]], i2 = arr[b[0]] * 1.0 / arr[b[1]];
            return Double.compare(i1, i2);
        });
        for (int i = 1; i < n; i++) q.add(new int[]{0, i});
        while (k-- > 1) {
            int[] poll = q.poll();
            int i = poll[0], j = poll[1];
            if (i + 1 < j) q.add(new int[]{i + 1, j});
        }
        int[] poll = q.poll();
        return new int[]{arr[poll[0]], arr[poll[1]]};
    }
}

时间复杂度：起始将个序列的头部元素放入堆中，复杂度为；然后重复次操作得到第小的值，复杂度为。整体复杂度为
空间复杂度：

二分 + 双指针

进一步，利用递增，且每个点对满足，我们可以确定对应的分数必然落在

假设最终答案为，那么以为分割点的数轴（该数轴上的点为

小于等于的值满足：其左边分数值个数小于
大于的值不满足：其左边分数值个数小于个（即至少有

而当确定时，利用有序，我们可以通过「双指针」快速得知，满足的分子位置在哪（找到最近一个满足

另外，我们可以在每次 check 的同时，记录下相应的和。

代码：

class Solution {
    double eps = 1e-8;
    int[] arr;
    int n, a, b;
    public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] _arr, int k) {
        arr = _arr;
        n = arr.length;
        double l = 0, r = 1;
        while (r - l > eps) {
            double mid = (l + r) / 2;
            if (check(mid) >= k) r = mid;
            else l = mid;
        }
        return new int[]{a, b};
    }
    int check(double{
        int ans = 0;
        for (int i = 0, j = 1; j < n; j++) {
            while (arr[i + 1] * 1.0 / arr[j] <= x) i++;
            if (arr[i] * 1.0 / arr[j] <= x) ans += i + 1;
            if (Math.abs(arr[i] * 1.0 / arr[j] - x) < eps) {
                a = arr[i]; b = arr[j];
            }
        }
        return