杨表与钩子公式

搬运 2019 袁方舟论文

我们先来简单认识一下杨表：
一个标准杨表是说，每一行严格上升，每一列严格上升
设杨表 表示有 行，
每行有 个数，并且
杨表的边角说的是 ，使得 都是空的
表示的是往形状为

• 杨表的插入：设插入，从第一行开始，找到的最小的，设为，若不存在，就把放到最后，否则令
• 杨表的删除：删除一个边角位，若在第一行，则直接删除，否则在上一行找到一个小于它的最大的，然后重复这个过程，杨表删除后任然是杨表



• 杨表，排列，双射：
  将一个排列插入杨表，并且整一个记录表，设第次将插入时多出来的位置为，那么我们在上写一个，这样的形状相同且也为一个杨表



• 现在一个排列可以对应一对形状相同的杨表
  接着我们考虑操作，找到的最大值的位置，在中删除这个位置，删除的数为
  也就是说，一对杨表可以对应唯一一个排列，于是我们知道：
  
• 钩子公式
  我们希望对一个，求出它的填数方式
  有公式：
  其中表示在杨表中或的点的个数
  我们尝试归纳证明，首先是成立的，我们只需要证明：（枚举当前表上一步的表是啥）
  
  我们考虑需要重新计算的点，首先是只有插入点那行那列的点
  接着注意到一些点是可以约去的：



• 比如说这个图中，绿色的等于蓝色的（红色的是需要重新计算的点）



• 即算上，红色的为边角位
  我们定义，为一直往下的点，为一直往右的点
  那么
  我们设边角位的坐标为，然后将需要用到的点画出来，对一些特殊的点进行编号



• 其中
  那么只需计算（设插入的点是），这个等于
  以及，这个等于
  后面的还有，这个等于，以及
  所以 （不枚举，枚举插入的是哪一行的）
  
  接着（）



• 
  



• 这个算的就是杨表的大小
• 可以用来做计数，枚举的划分就可以做到
• 钩子公式的另一个形式：
  
  考虑一行的可以去到，将不合法的去掉即可