（4.3）树与二叉树之哈夫曼树-CFANZ编程社区

文章目录

1.哈夫曼树
2.如何构造最优树
3.哈夫曼编码

1.哈夫曼树

结点的路径长度：从根节点到该节点的路径上分支的数目
树的路径长度：树中每个节点的路径长度之和
树的带权路径长度：树中所有叶子节点的权值和路径长度的乘积的总和

假设树中有m个叶子节点，每个叶子节点的权值为Wi，从根到叶子节点的路径长度为Li
称树的带权路径长度最短的一类树为“最优树“，即：哈夫曼树
有4个结点，权值分别为7， 5， 2， 4，构造有4个叶子结点的二叉树

（4.3）树与二叉树之哈夫曼树_子节点

2.如何构造最优树

例如: 已知权值 W={ 5, 6, 2, 9, 7 }
eg：在解决某些判定问题时，利用哈夫曼树可以得到最佳的判定算法，例如，要编制一个将百分制转换为五级分制的程序。

3.哈夫曼编码

如：需将文字“ABACCDA” 转换成电文。
文字中有四种字符，用2位二进制便可分辨。
编码方式1：电文长度为14位
编码方式2：无法译码。
00是A，还是B？
哈夫曼编码：既能译码，编码的长度还短，电文长度总共13位
哈夫曼编码具体过程
哈夫曼编码的算法
在构造哈夫曼树时，可以设置一个结构数组HuffNode保存哈夫曼树中各结点的信息，根据二叉树的性质可知， 具有n个叶子结点的哈夫曼树共有2n－ 1个结点，所以数组HuffNode的大小设置为2n－ 1，数组元素的结构形式如下：

#define MAXBIT 10//哈夫曼编码的最大长度
#define MAXVALUE 1000//哈夫曼树叶子节点的权值的最大值
typedef struct HNode//定义节点结构
{
  int weight;
  int parent,child,rchild;//双亲域，左孩子域，右孩子域
}HNode;

typedef struct HCode//哈夫曼编码结构
{
  int bit[MAXBIT];
  int start;//哈夫曼编码的开始位置
}HCode;

//构造哈夫曼树，以及求出n个字符对应的哈夫曼编码
void HuffmanCoding(HNode *HT, HCode *C, int *w, int n)
{
  //w存放n个字符的权值，构造哈夫曼树HT，并求出n个字符的哈夫曼编码HC
  if (n<=1)
    return;
  m=2*n-1;//包含：n个叶子节点和n-1个非叶子节点
  //哈夫曼树的构造
  HT=(HNode *)malloc(m)*sizeof(HNode);
  for(p=HT,i=1;i<n;++i,++p,++w)//初始化叶子节点信息
  {
    (*p)->weight=*w;//叶子节点对应的权值
    (*p)->lchild=-1;//叶子节点没有左孩子和右孩子
    (*p)->rchild=-1;
    (*p)->parent=-1;//初始情况下，叶子节点的双亲未知
  }
  for (;i<m;++i,++p)//初始化分支节点信息
  {
    (*p)->weight=0;
    (*p)->lchild=-1;
    (*p)-rchild=-1;
    (*p)->parent=-1;
  } 
  
  //寻找根节点权值最小和次小的两棵子树
  for (i=n;i<m;++i)
  {
    m1=m2=MAXVALUE;//用m1和m2才存放具有最小和次小根节点权值的两颗子树，权值初始化为最大值
    x1=x2=0;//存放根节点在这个结构数组中的下标地址
    for (j=0;j<i;++j)
    {
      if (HT[j].parent==-1 && HT[j].weight<m1)//找到权值最小的两颗子树
      {
        m2=m1;
        x2=x1;//根节点对应的位置用x1和x2来存放，对应两个根节点x1和x2
        m1=HT[j].weight;//节点对应的权值用m1和m2来存放
        x1=j;
      }
      else if(HT[j].parent==-1 && HT[j].weight<m2)
      {
        m2=HT[j].weight;
        x2=j;
      }
      //合并成一颗子树
      //i是x1和x2的双亲节点
      HT[x1].parent=i;
      HT[x2].parent=i;
      HT[i].lchild=x1;
      HT[i].rchild=x2;
      HT[i].weight=m1+m2;
    }
  }
  //字符编码，从叶子节点找到到根节点的一条路径，左分支=0，右分支=1，从根节点到叶子节点的0 1串构成了哈夫曼编码
  HC=(HCode *)malloc(n)*sizeof(HCNode);
  for(i=0;i<n;i++)//对n个叶子节点
  {
    start=n-1;//最后一个非叶子节点的位置
    for(c=i,f=HT[i].paent;f!=-1;c=f,f=HT[f].parent)
    {
      if(HT[f].lchild=c)
        HC[i].bit[start--]=0;//若发现为左分支，就将响应的哈夫曼编码置为0
      else
        HC[i].bit[start--]=1;//若发现为右分支，就将响应的哈夫曼编码置为1
      HC[i].start=start+1;//记录编码的起始位置
    }
  }

}

（4.3）树与二叉树之哈夫曼树_子节点_02